I. — Gonceptioii de la tangente et du point de contact
78. Nous avons appelé langenlc à la courbe du second ordre e» un point S| [Jig» 21) une droite px qui n'a que le point Sj commun avec la courbe, et nous avons trouvé qu'il n'existe qu'une seule tangente pour chaque point de la courbe (64).
(') La fécondité de Vhexagramme mystique est telle que Pascal a pu faire de cette propriété la base du Traité complet sur les coniques, dont nous avons précédemment parlé. Pascal, suivant le rapport du P. Mersenne, a ainsi déduit quatre cents corollaires d'un seul principe : « Unica propositione universalissima, 400 corollariis « armata, integrum ApoUonium. complexus est. » (Z)e mensuris, ponderibus, etc.^
11 est à remarquer que chacun des corollaires principaux exprimait une propriété déterminée de six points situés sur une conique. On comprend dès lors que Pascal ait pu déduire ces corollaires de Yhcxagramme mystique, qui est lui-même une propriété générale de six points. Chacun des corollaires principaux se présentait d'ailleurs sous une forme distincte et servait de point de départ pour la déduction de toute une classe de propriétés des coniques. Cet art éminemment utile de déduire d'un seul principe un très-grand nombre de vérités constitue la supériorité de no» méthodes sur celles des géomètrei^ anciens.
II résulte de la courte Notice précédemment consacrée à l'hexagrammc mystique (p. 69), que depuis i64o jusqu'à 1806, c'est-à-dire depuis l'époque où le célèbre
8o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE VIII.
Tout autre rayon a^ passant par Sj rencontre donc la courbe en un second point A. Quand on fait pivoter le rayon Ut autour de S|, le point A déccit la courbe, et il s'approche infiniment du point Si lorsque le rayon a^ s'approche infiniment de la tangente pi. La tangente représente donc la position limite de la droite qui joint
théorème a été découTert jusqu'à Brianclion, aucun géomètre n'a cherché k proOter d'une propriété si féconde. Dans le siècle présent, au contraire, un grand nombre de géomètres éminents se sont occupés du théorème de Pascal. Il nous paraft utile de signaler ici quelques-unes de leurs principales recherches.
L'attention des saTants a été d'abord attirée sur ce sujet par Steiner {Théorèmes sur r hexeigrammum mysticum^ dans les Annales de Mathématiques pures et appliquées de Gebgonne, t. XVIII, 1827-28, p. SSg. — Théorèmes sur Vhexagrammum mysticum, dans le Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Herausgegeben Ton A.-L. Crelle. Band 24, erstes Heft, p. /jo. — Srstematische Entivickelung, etc. Berlin, i832, pag. 3 1 1-3 12). Steiher a démontré que, six points d'une conique pouTant donner lieu à soixante hexagones distincts, les soixante droites de Pascal correspondantes se coupent trois à trois en vingt points G, appelés points de Steiner. Il a cru de plus que ces vingt points étaient distribués quatre à quatre sur cinq droites concourantes.
Plûcker a signalé l'inexactitude de cette dernière conclusion et affirmé que les vingt points G sont situés quatre à quatre sur quinte droites ( Ueber ein neues Princip der Géométrie und den Gebrauch allgemeiner Symbole und unbestimmter Coë^cienten, dans le Journal de A.-L. Crelle, t. V, i83o, pag. 275).
Hesse a repris ces recherches et trouvé que les vingt points de Steiser sont conjugués deux à deux par rapport à la conique fondamentale des six points. Il a fait voir que la figure de Steixer est identique h celle que forment trois triangles, perspectifs deux à deux par rapport à un même centre. Les neuf côtés des trois triangles, les trois droites qui concourent au centre commun et les trois droites de perspective représentent les quinze droites des vingt points G ( Ueber das geradlinige Sechseck au/ dem Hjrperboloid, dans le Journal de A.-L. Crelle, t. XIV, i8/|2, p. 4o. — Einige Bemerkungcn zum PascaVschen Theorem, dans le Journal de A.-L. Grelle, t. XLI, i85i, p. 369).
Cayley a repris la figure de Stei!1er et s'est préoccupe surtout de représenter les droites par des notations abrégées {Sur quelques théorèmes de la Géométrie de position, dans le Journal de A.-L. Crelle, t. XXXI, 1846, p. 216, et t. XXXIV, iS^;, p. 272).
Grosshann ( Ueber eine neue Eigenschaft der Steinerschen Gegenpunkte des PascaVschen Sechsecksj dans le ./oMr/ia/ de A.-L. Crelle, t. LVIII, 1861, p. 174-179) et Stacot {Ueber die Steiner'schen GegenpunktCf welche durch zwei in eine Curve zweiter Ordnung^ beschriebene Dreiecke bestimmt sind^ dans le Journal de A.-L. Crelle, t. LXII, 186J, p. i43-i5i) se sont aussi occupés des vingt points de Steiner, en partant Tun et l'autre de la considération de deux triangles inscrits dans la conique.
KiRKMA?! a démontré que les soixante droites de Pascal, fournies par les soixante hexagones, non-seulement se coupent trois à trois aux vingt points G, mais se rencontrent encore trois à trois en soixante autres points, qu'on a nommés points de KiRRHAN. 11 a démontré en outre que ces soixante points sont alignés deux à deux sur quatre-vingt-dix droites, qui concourent respectivement avec deux des quinze droites fournies par les six points de la conique fondamentale ( On the complète hexagon
CONXEPTION DE LA TANGENTE ET DU POINT DE CONTACT. 8l
deux points de la courbe se rapprochant infiniment l'un de Tautre. Une définition aussi générale est applicable, non-seulement aux courbes du second ordre, mais à des courbes quelconques.
Le point Pi [fig* aa), par lequel passe un seul rayon u^ d'un faisceau K du second ordre, a reçu le nom de point de contact du faisceau sur le rayon K| . On a vu que chaque rayon du faisceau K contient un seul point de contact (64), tandis qu'un second rayon a du faisceau passe encore par tout autre point Ai de Ui. Quand on fait mouvoir Ai sur Ui, a parcourt le faisceau K et s'approche infiniment du rayon Ux quand Ai devient infiniment voisin du point P] . Le point de contact sur le faisceau de rayons représente donc la position limite du point d'intersection de deux rayons du faisceau qui vont se rapprochant infiniment l'un de l'autre.
Cela posé, si dans l'hexagone inscrit à une courbe du second ordre deux sommets quelconques se rapprochent infiniment l'un de l'autre, le côté qui les joint se trouvera remplacé par une tangente à la courbe. Et si, dans un hexagone dont les côtés sont
inscribed in a conîc section^ dans le Cambridge and Dublin mathematical Journal, t. V, i85o, p. i85).
Salmo^i et Catlby ont établi en même temps que les soixante points de Kiakhan reposent trois à trois sur vingt droites ( Sur quelques théorèmes de la Géométrie de position, dans le Journal de A.-L. Crellb, t. XLI, iSSi, p. 66 et 8/|). — Sàlmox a démontré ensuite que ces vingt droites concourent quatre à quatre en quinze points, appelés points de Salmo:*, et que chacune d'elles passe par un seul point de STEiNEa ( A Treatise on conic sections ^ fifth éd., London, 1869, p. l'i^y a68, 289, 807, 36o, 36a).
Dans un autre travail très-important [Analytische Géométrie der Ebene, Bemerkung {Journal de A.-L. GasixE, t. LXVIII, 1868, p. igS)], Hesse a signalé une certaine correspondance de réciprocité entre les soixante droites de Pascal et les soixante points de KiEKMAN ; entre les vingt points de Steisier et les vingt droites indiquées par Salmon et Catlet; entre les quinze droites de Plûcker et les quinze points de Salmon; mais il n'est pas arrivé à établir cette correspondance d'une manière complète.
Il convient de citer encore, à ce dernier point de vue, les travaux de Bacr ( Ueber dos Pascatsche Tkeorem, dans les Abhandlungen der A. bayer, Akademie der tVissenschaften, II Cl., t. III, 1874) et les recherches de Veromesb {Nuovi teoremi suif hexagrammum mysticum, dans les Memorie délia classe di Scienze fisiche, matematiche e naturali délia Reale Accademia deilÀncei^ anno CCLXXIV (1 876-77), vol. I, Roma, 1877).
Voir aussi: Cbasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1887, P* 7^ ®^ '^oXe XIII. — WbissenboR!*, Die Projection in der Ebene, Berlin, 1862, Vorrede, p. XI. — G. Salmon, Traité de Géométrie analytique {sections coniques)^ traduit par H. Resal et V.Vau- CUERET, Paris, Gauthîer-Villars, 1870, p. S^o, 53o. — Quarterljr journal of pure and applied Jtîathematics, t. IX, p. 3/|8. — Grbmoxa, Teoremi stereometrici dai quali si deducono le propriété delVesagrammo di Pascal, dans les Atti délia R, Accademia dei Lincei, Roma, 1877.
des rayons d'un faisceau de second ordre, deux côtés voisins se rapprochent infiniment Tun de l'autre, le sommet sur lequel ils se coupent se trouvera remplacé par un point de contact du faisceau.
Suivant que un, deux ou trois couples d'éléments voisins coïncident, l'hexagone se transforme en un pentagone, en un quadrangle ou en un triangle.
II. — Modiflcatioii des théorèmes pour le pentagone, le quadrangle
et le triangle. Problèmes.
79. Pour le pentagone, les théorèmes de Pascal et de Brianchon s'énoncent ainsi :
Dans tout pentagone inscrit à une courbe du second ordre, les points d'intersection de deux couples de cdtés non consécutifs et le point d'inter^ section du cinquième côté et de la tangente au sommet opposé sont trois points situés sur une même droite.
Dans tout pentagone dont les côtés sont des rayons d'un faisceau du second ordre, les diagonales qui joignent deux couples de sommets non consécutifs et la droite qui joint le cinquième sommet au point de contact du côté opposé sont trois droites qui se coupent en un même point.
Cette double proposition permet de résoudre les problèmes suivants :
Étant donnes cinq points quelconques d'une courbe du second ordre, construire les tangentes en ces points en ne faisant usage que de la règle.
Étant donnés cinq rayons quelconques d'un faisceau du second ordre, construire les points de contact sur ces rayons en ne faisant usage que de la règle.
