On a enfin pour le triangle

Dans tout triangle inscrit à une courbe du second ordre, les points d'intersection des côtés avec les tangentes aux sommets respectivement opposés sont en ligne droite.

Dans tout triangle formé de rayons d'un faisceau du second ordre y les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés respectivement opposés concourent en un même point.

82. Les proposî tiens précédentes (79, 80, 81), qu'on peut considérer comme des corollaires des théorèmes de Pascal et de Brianchon, servent à résoudre les problèmes suivants :

Étant donnés^ dans un plan, cinq points d'une courbe du second ordre, ou quatre points et la tangente en l'un de ces points, ou trois points et les tangentes en deux de ces points, construire la courbe.

Étant donnés, dans un plan, cinq rayons d'un faisceau du second ordre, ou quatre rayons et le point de contact sur l'un d'eux, ou trois rayons et les points de contact sur deux d'entre eux, construire le faisceau.

III. — Application des théorèmes à la détermination des éléments correspondants dans les formes projectives simples.

83. On peut encore démontrer les théorèmes des n°*79, 80 et 81 directement, sans recourir à l'hexagone.

Nous donnerons, à titre d'exemple, la démonstration directe pour le quadrangle.

Deux faisceaux projectifs de rayons S et Sj {fig- 23) étant donnés, nous avons facilement déterminé le rayon du second, qui correspond à tout rayon du premier, en construisant un troisième faisceau de rayons Sj, perspectif à chacun des deux autres.

Nous rappelons qu'à cet effet (66) les faisceaux S et S^ ont été respectivement coupés suivant les ponctuelles u et Mj, au moyen de deux droites qu'on a fait passer par le point d'intersection A de deux rayons correspondants a et «,. Ces ponctuelles étant perspectives, le faisceau S,, dont elles étaient des sections, représentait le faisceau cherché.

Fie. ae.

84 OâOHÉTRIB DE POSITION. — CHAPITBE VIII.

Ces conclusions subsislent encore si u {fig- 28} coïncide avec a, et u, avec a, de telle sorte que les couples de points £a, et bia (Bet B,),cnj et c,b(C et Ci), etc., où deux rayons correspondants a et tti sont mutuellement coupés par deux autres quelconques A, et b ou c, et c, se trouvent en ligne droite avec un point fixe S,. Si nous faisons alors passer par S| une droite quelconque DD,, qui coupe les rayons a^ et a respectivement en D et D,, SD et StD, seront des rayons correspondants des faisceaux S et Si. Faisons maintenant coïncider D| avec S ; SD devient le rayon SSi ou q de S, auquel correspond, dans S,, le rayon S, S ou y, qui joint les centres des faisceaux S et S, . La droite SS^ est donc une tangente à la courbe du second ordre engendrée par S et S|. Il en est de même de SiSt ou p^. II suit de là que le point fixe S, est le point d'intersection des deux tangentes q et p, en S et Si, c'est-à-dire des deux rayons qui coiv respondent, dans chacun des deux faisceaux S et S,, au rayon commun SSi. On parviendra donc toujours au même point S,, soit que l'on fasse coïncider les droites u, et u respeclivement avec les rayons a et n,, soit qu'on mette ces droites en coïncidence avec tout autre couple {b et &, ou c et Cy) de rayons correspondants; par conséquent, toute droite, joignant deux points (6c, et i,c) où se coupent mutuellement deux couples quelconques [bb, et cci) de rayons co,rrespondants passe par le point S,.

Deux ponctuelles projectives ueLu, [fig- a4) étant données, nous avons facilement déterminé, pour chaque point de l'une, le point correspondant de l'autre (66) en construisant une troisième ponctuelle «,, perspective à chacune des deux premières.

Nous avons projeté respectivement u el «,, au moyen des faisceaux S et S, , dont les centres étaient pris sur la droite h de jonction de deux points correspondants quelconques, A et A,, des ponctuelles données. Ces faisceaux étant projectifs, la ponctuelle Ui, dont ils étaient des projections, résolvait le problème.

Faisons maintenant coïncider S avec Ai {fig- 29) et S|

APFltCATlOK DES TRiOKàMES A U DÉTBBlIINATiaN DES ÉLÉMENTS, ETC. 85

avec A; Uj vient passer par les points de u et de U| qui correspondent au point d'intersection uu,. Deux points correspondants quelconques, D et D,, sont projetés, de A, et de A, par deux rayons. A, D et ADj, qui se coupent sur la droite u,. Faisons ensuite coïncider D avec UU| ou Q,, de telle sorte que U| vienne passer par l'un (et par conséquent aussi par l'autre) des deu\ points Pi et Q , qui correspondent au ,!

point d'intersection PQ, de u et de Ui- Il est évident que le point d'intersection D, des rajons A, D et ADi coïncidera alors avec le point HiUj ou P,. En d'autres termes, u, est la droite de jonction des points de contact, sur u et u, , du faisceau de rayons du second

ordre engendré par ces deux ponctuelles. On parviendra donc toujours à la même droite u„ soit que l'on fasse coïncider les centres S, et S respectivement avec les points A et Aj, soit que l'on mette ces points en coïncidence avec tout autre couple (B et B, ou C et C|) de points correspondants; par conséquenl, tout point d'inter-

lyons {BCi etB, C), au moyen desquels deux

section de deux i

pies quelconques (B,B, et C,C,) de points correspondants sont

mutuellement projetés, est situé sur la droite u,.

Les résultats que nous venons d'obtenir peuvent être formulés en deux propositions de la manière suivante :

Les deux points ab, et n, 6, où se coupent mutuellement deux couples quelconques, a.aiCt b,bi, de rayons lorrespoadanls des faisceaux projecli/iS elS„ et le points,, où se coupent les deux rayons ^uî correspondent au rayon commun SSi des deux faisceaux, sont trois points situés sur une même droite.

Les deux dmiies AB, et A, B par lesquelles sont mutuellement projetés deux couples quelconques, A,A| et B,B], de points correspondants des ponctuelles projeaiees it et u, et la droite iti, qui Joint les deux points correspondant au point commun uu, des deux ponctuelles, sont trois droites qui te coupent au- même point.

Il est aisé de voir que :

Dans la courbe du second ordre engendrée par les faisceaux S et S}, les points S, #1^1, S| et bb^ forment un quadrangle inscrit dont a et bi, 17 1 et 6 sont les côtes opposés, S3 étant le point de concours des deux tangentes qui touchent la courbe aux sommets opposés S et Si .

Dans le faisceau de rayons du second ordre engendré par les ponctuelles u et «|, les rayons ic, AAi, Ui et BBi forment un quadrilatère circonscrit dont A et Bf, A| et B sont les sommets opposés, «, étant la droite qui joint les points de contact du faisceau de second ordre situés sur les côtés opposés u et k^

84. Les précédentes propositions se prêtent à la détermination facile de l'élément qui, dans Tune des deux formes fondamentales simples projectives, correspond à un élément quelconque de l'autre forme. En effet, si l'on donne, par exemple, trois couples de points correspondants dans deux ponctuelles projectives u et 1/, (Jig- 29), on peut construire immédiatement la ponctuelle u, qui permet de trouver très-simplement, pour tout point de u, le point correspondant de u^ .

IV. — Relations entre la courbe et le faisceau du second ordre.

85. Les propositions précédentes, relatives au quadrangle et au quadrilatère, dans la courbe et dans le faisceau de rayons du second ordre, peuvent être énoncées plus généralement dans la forme suivante :

Quatre points K, L, M, N d'une courbe de second ordre formant un quadrangle complet, et les tangentes Ay ly ntf n en ces points formant un quadrilatère complet, les sommets opposés du quadrilatère sont situés deux à deux sur les trois droites qui Joignent deux à eieux les trois points X, y, Z ou se coupent entre eux les côtés opposés du quadrangle.

Quatre rayons h, l^ m, n d'un faisceau du second ordre formant un quadrilatère complet, et les points de contact K, L, M, N de ces rayons formant un quadrangle complet, les côtés opposés du quadrangle passent^ deux à deux par les points X, Y, Z où se coupent deux à deux les trois droites qui joignent entre eux les sommets opposés du quadrilatère.

Nous sommes autorisés à généraliser ainsi les propositions établies plus haut (83), parce que ces propositions s'appliquent