CAS PARTICULIERS DANS LA SURFACE CONIQUE

leurs directions, le troisième côté décrit, soit un faisceau de rayons parallèles, soit un faisceau de rayons du second ordre qui eni^e-

loppe une parabole.

En effety les deux premiers côtés du triangle décrivant des faisceaux de rayons parallèles, deux des trois ponctuelles situées sur les droites données sont projectives semblables à la troisième , et par conséquent projectives semblables entre elles.

Une ponctuelle u et un faisceau S de rayons étant situés dans le même plan et projectifs, si l'on mène par chaque point de u la parallèle au rayon correspondant de S, toutes ces droites se coupent en un point, ou bien elles enveloppent une parabole.

En coupant le faisceau S de rayons par la droite à l'infini du plan y on obtient une ponctuelle à l'infini projective à u. Si cette ponctuelle n'est pas perspective à m, elle engendre avec u un faisceau de rayons du second ordre qui contient la droite à l'infini et qui, par conséquent, enveloppe une parabole.

iOl. Le faisceau de rayons du second ordre, engendré par deux ponctuelles projectives, peut encore dégénérer :

1° En deux points distincts, si les ponctuelles sont superposées et ont deux éléments unis, ou si elles sont perspectives et non superposées (les deux points étant, en ce cas, le point uni et celui par lequel passent les droites qui joignent les couples de points correspondants).

2? En deux points coïncidents, si les ponctuelles sont superposées et ont un seul point uni.

VI. — Cas particuliers dans la surface conique. Cylindres du second degré.

102. La surface conique et le faisceau de plans du second ordre ne donnent pas lieu à des distinctions aussi essentielles que leurs sections; mais ils présentent, dans un cas particulier, des dégénérescences qui méritent un examen spécial.

La surface conique du second ordre peut être considérée comme engendrée par deux faisceaux projectifs de plans, a, ai (63). Lorsque

lOO GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE IX.

ces faisceaux deviennent perspectifs , la surface dégénère en deux plans, Tun contenant le faisceau de rayons dont les faisceaux de plans sont des projections, Tautre passant par les deux axes a, ai. Le faisceau de plans du second ordre peut être considéré comme engendré par deux faisceaux projectifs de rayons, S, Si (63). Lorsque ces faisceaux de rayons deviennent perspectifs, le faisceau de plans dégénère en un plan qui passe par leur axe de projection et par la droite d'intersection de leurs plans.

103. ktant donnés deux faisceaux de plans, a, ai, si Ton modifie leur position relative jusqu'à ce que les axes a et ai deviennent parallèles, tous les rayons de la surface conique deviendront parallèles à ces axes, et le centre de la surface passera à l'infini. La figure engendrée ne s'appelle plus alors une surface conique, mais un cylindre, et plus spécialement un cylindre du second degré. Dans cette position particulière des faisceaux de plans a et ai, on peut avoir deux couples de plans correspondants parallèles, ou un seul, ou enfin n'en avoir aucun; par suite, la surface cylindrique peut avoir deux rayons à l'infini, ou un seul, ou n'en avoir aucun. A ces trois cas correspondent respectivement trois espèces de cylindres : le cylindre hyperbolique, le parabo^ lique et Velliptique. Les conditions de génération de ces trois espèces de cylindres par les faisceaux de plans sont tout à fait analogues à celles que nous avons déjà établies pour les diverses espèces de courbes du second ordre engendrées par deux faisceaux projectifs de rayons.

Si le cylindre est coupé par un plan quelconque, les faisceaux de plans générateurs sont coupés suivant deux faisceaux de rayons, qui se trouvent nécessairement, par rapport aux rayons correspondants parallèles, dans les conditions où se trouvaient les faisceaux de plans par rapport aux plans correspondants parallèles . Le plan sécant coupera donc le premier cylindre suivant une hyperbole, le second suivant une parabole, le troisième suivant une ellipse. Quand le plan sécant est parallèle aux axes des faisceaux générateurs, et, par suite, aux rayons de la surface cylindrique, la section se réduit à deux de ces ravons.

On voit, d'autre part, que le faisceau de plans du second ordre enveloppant le cylindre ne peut être engendré que par deux