I. — Ëlévation aux puissances
Fij;. 2.V
3o. On délcrmine la //'«^™<' puissance d'un rapport j en multipliant ce rapport n fois par lui-même. Pour effectuer cette opération conformcnienl aux règles graphiques déjà données (24), on fait passer par l'origine O d'un système d'axes [fig* a5) une droite L dont l'inclinaison satisfasse au rapport 75 on prend arbitrairement une abscisse initiale x^^ et l'on détermine Tordonnée y^ (lu point de L qui correspond à cette abscisse ; on prend ensuite
36 CILCUL GRAPIIIQUK. — CIIAPITEE II.
^2 =J)'i> et l'on détermine rortionnée j^'2 correspondant à x^', on prend comme nouvelle abscisse X3 = yj, et Ton détermine la nouvelle ordonnée correspondante j'3. Cette opération, répétée n fois, donne successivement
Multipliant toutes ces équations membre à membre, il vient
Mais on a vu que le produit d'un nombre quelconque de rapport est représenté par le rapport qui existe entre la dernière ordonner et Tabscisse initiale (25). On aura donc
expression dans laquelle le signe de la puissance cherchée estdrlerminé par celui de la dernière ordonnée. Si Ton avait pris pour
abscisse initiale Tunité, on aurait
On peut avoir j = i, et la distinction de ces trois cas donne
lieu à des remarques utiles au point de vue de Texécution du dessin.
Quand on a y ^ 1 , les ordonnées sont toujours plus grandes
que les abscisses, et les deux coordonnées croissent d'autant plus rapidement que a est plus grand par rapport à b, 11 peut arriver en ce cas que, par suite de la grandeur du rapport et du degré élevé d»* la puissance, la construction dépasse les limites assignées àTépurr. On échappe à celte difficulté en renversant le rapport donné. La
ÉLÉVATION AUX PUISSANCES. 87
construction se dirige alors vers Torigine des coordonnées, et Ton obtient comme résultat la /i'^"*^ puissance du rapport -• Ce résultat doit être renversé à son tour; c'est-à-dire que, si Ton a
Xn
on aura ainsi
W "Xn
Si T = 1 , chaque ordonnée est égale à Tabscisse qui lui correspond, et toutes les puissances du rapport ont même valeur que le i'a|)port lui-même.
Enfin, quand on a -<; i, la construction converge vers Tori-
gine O, et il faut donner à Tabscisse initiale Xi une longueur suffisante pour que l'ordonnée j„ puisse être facilement distinguée et mesurée.
Si le rapport donné - est négatif, la droite L est située au-dessous
de la partie positive et au-dessus de la partie négative de Taxe des X,
Les abscisses successives sont alors portées alternativement à droite et à gauche de Taxe des j, et la construction va se rapprochant ou s'éloignant de l'origine selon que 7 est plus petit ou plus grand que l'unité.
36. Parmi les différents cas que présente Télévation aux puissances, nous distinguerons celui qui est relatif à la multiplication
plusieurs fois répétée d'une droite / par un rapport y s c'est-à-dire
à la construction des produits
Ces produits peuvent être considérés comme résultant d'une suite
do (|iialriènies proporlionnelles. On a, par exemple.
On effectue ces construclions en déterminant dans un angle AOli (y*©* ^•^)' ^^* inovende deux arcs de cercle décrits du centre 0. Ic>
LHa^
deuxdirections dites antiparallèles qui projettent réciproquement, dans le rapport-? les segments de OA sur OB et ceux de OB sur
OA. On porte la longueur / sur OA, et par l'extrémité de / on mène à la première des deux directions une parallèle qui détermine sur OB Texlrémilé du segment /y Une antiparallcle, c'est-àdire une parallèle à la seconde direction, menée par rextréniilé de /y» fournil / lj\ sur OA, cl ainsi de suite.
ÉLÉVATION AU\ PUISSANCES. Bç)
Les longueurs déterminées ainsi sur OA el sur OB, et toujours comptées à partir du point O, forment deux progressions géométriques dont la raison est (-) y savoir:
et
ïï' '(i)'
Les transversales consécutives forment pareillement une pro grcssion géométrique
« .. /rt\ .. la^^
dont la raison est y
Si entre deux droites antiparallèles consécutives, par exemple
entre les deux premières qui se coupent en 0|, on continue la pro-
j^^ression /', /' j? ... au moyen de transversales alternativement parallèles à OB et à OA,on obtient une figure C0| D analogue à AOB, el dont les côtés forment les progressions
Les transversales antiparallèles forment en même temps la progression
Donc les segments de OA et de OB compris eiilrc la première cl la deuxième transversale, entre la deuxième el la troisième, etc., constituent aussi une progression géométrique; c'est là d'ailleurs une conséquence immédiate de la similitude des Irianglcs formés
sqr^ô
JO CALCl'L GEAPIIIQl'E. — ailPITAB II.
rliacun par Tun de ces segments et par deux transversales anlîparallèles successives.
