III. — Propriétés de la spirale

40. Désignons, dans le système des coordonnées polaires, par /• le rayon vecteur qui joint le pôle O à un point de la spirale, et par w l'angle compris entre ce rayon et l'axe polaire. On sait (36) qu'à des valeurs de w croissant en progression arithmétique correspondent des valeurs de /'croissant en progression géométrique. L'équation de la spirale en coordonnées polaires est donc

M rr: logr OU

si l'on désigne la base du système logarithmique par i.

Attribuons à co des valeurs successives telles que chacune diflfèn' de la précédente d'un angle constant «, et représentons par c Ir ravon vecteur qui fait avec l'axe polaire un premier angle égal à a. Nous aurons:

Pour w := o r^-z\

n r,t zjz. Oi . . r Tz.- c

u w z= 3 « /• rr. <•■'*

On voit par là que l'axe polaire est rencontré par la courbe à Tunilé de distance du pôle, et que la progression géométrique formée par les rayons vecteurs qui se succèdent avec le même écartcmenl angulaire a a pour raison le rayon vecteur c, qui fait avecl'axe polaire un angle égal à a.

En atlribuanl à co une suite de valeurs négatives, dont deux consécutives différent aussi entre elles de Tanglea, on détermine des rayons vecteurs plus petits que Tunité et décroissant suivant la même progression géométrique, qui a pour exj>ression générale

Les propriétés de la spirale équianglc sont indépendantes non seulement de l'angle «, mais encore du rayon c, qui est la seconde des deux quantités servant à construire le contour polygonal dont les côtés sous-tendent des angles égaux à «. Pour chaque nouvelle valeur attribuée à c on obtiendra une nouvelle spirale équianglc. caractérisée par une autre constante. On déterminera cette courbe, soit au moyen d'une construction, en se fondant sur ce que sa développée est une autre spirale équianglc, soit par le calcul. On obtiendra, par exemple, au moyen des logarithmes de Briggs, une spirale de progression rapide, dans laquelle on aura :

Pour oi z= — 45" /• - o, i63c)

>. w r r — 5" /-ir^ o,8i8o

'» w — : o" /• ^ I , GOGO

» w zr: -+- 45" /• z= 6, 0090