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Traçons effectivement de X à x, une ligne brisée [Xx,] dont la longueur de chaque côté soit inférieure à l’une et à l’autre des

ki ,’ 4 Là A S IT à distances de ses extrémités à l’origine O, et appelons F(2, x) nm la fonction f que l’on pourrait construire en prenant Zç— X, Lo —= U.

Il résulte du n° 71, IL, et de la théorie générale du cheminement (173*), que sur le chemin [Xx,] parcouru d’une manière

nm quelconque dans un sens ou dans l’autre, F (= Ù x) est une pseudo- /

fonction monodrome. Si donc on nomme w, sa valeur atteinte en Zo, cette quantité &, est racine de l’équation numérique (2), et, en rebroussant chemin jusqu’à X, on retrouve Ü pour valeur finale de la même pseudo-fonction. Or la dernière partie de ce cheminement équivaut évidemment à celui qu'on exécuterait de Zo à X,

sur le chemin dont il s’agit, pour la fonction fe &).

118. Il résulte de cette proposition que quand x varte, les m racines de l'équation (3) ur — pn

appartiennent respectivement à autant de pseudo-fonctions dont chacune est déterminée exactement par la connaissance

de celle des racines de l’équation numérique (2) qui constitue sa valeur initiale en x,, et par le chemin suivi à partir de xs. Nous appellerons ces »m pseudo-fonctions les déterminations

de la fonction radicale simple Vzx". Elles s'expriment immédiatement au moyen de la fonction 4 du n° 78 et des racines mime de l'unité (109). Car, en faisant x, — 1 dans la formule (13) du n° 77, et y prenant en conséquence pour w, quelque racine mire de l’unité, elle devient

V0) ) (4) u=wy( Ts).

Cette relation confère immédiatement à la fonctuüon radicale simple toutes les propriétés fondamentales de la fonction d (78 et suiv.), (103 et sute.). Pour rappeler la grande ressemblance de la plupart des autres (81 et suite.) avec celles du monome à exposant entier, on appelle aussi cette fonction le monome à exposant fractionnatre, et on la représente souvent par

Il faut toutefois retenir que celle notalion acquiert un sens précis, après spécification seulement, tant des valeurs initiales adoptées que du chemin suivi à partir de celle de x.

. n The Enfin le changement de la fraction - en une autre Pa égale n

+ , É mais à termes différents, en altérerait la signification; car x”! a m

déterminations, tandis que x”* en a m'.

à , Là . n

Sous le bénéfice de ces observations et en posant — = y, les nm

principales formules de la théorie de la fonction d conduisent aux

suivantes dP xt PAU (5) On = U(p—1)..:(u— 2 +I)THSPENSO RIRES puis s

(6) fatidee +. C — + C (83),