CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

De ces quatre intégrales, la seconde et la dernière se détruisent ; car la substitution x — IT + #, d'où dx — dt, f(H +5) NO change la seconde en

[ra - [rot

La première a pour limite #I parce que, sur son chemin, x étant infinie dans la direction australe, on peut écrire f(x) = u+e, Où € est une quantité infiniment petite, d’où

—X-+IT —X+II —X-+ II lim f FULCORTAES 1 u dx + lim f PARU UM IONT —X +

La troisième ayant pour limite — w, IT pour une raison semblable, la relation (12) entraîne notre formule (11) dont on peut vérifier l'exactitude sur les fonctions tang x et cotx:

268. St deux fonctions uripériodiques (polarisées) de la méme variable, f(x), F(x), ont une période commune I, relativement à laquelle elles sont d'ordres m, M (266), 27 existe entre elles une identité entière trréductible, dont les degrés effectifs I, m en f(x) et F(x) sont les quotients des en-

tiers M, m par quelqu'un de leurs diviseurs communs.

La démonstration générale de ce théorème se fait exactement comme celle que nous donnerons pour les fonctions bipériodiques (331, inf.), sauf une légère complication naissant ici de la nécessité de considérer les valeurs infinies de la variable. Nous nous bornerons donc à l’établir par des moyens spéciaux et appropriés à nos besoins actuels, dans le cas paruculier de M— 1, le seul dont la considération nous soit présentement utile, en prouant qu’alors f(x) est une fonction composée rationnelle de F(x), contenant cette fonction au degré effectif m dans ses deux termes, ou bien au degré m dans l’un et à un degré moindre

dans l’autre.

2Ti er ; 1 Soit d'abord F(x)—e" , fonction d'ordre 1 relativement à sa période IT, etsupposons, pour commencer,qu’aucune des valeurs

polaires f,, f de f{æ) ne soit nulle ou infinie. Alors, dans une bande déterminée (266), cette dernière fonction possédera certainement, en nombres limités, des zéros et des infinis numérique-

ment distincts

(13) ÉL TN (14) Gi, Los We -2000Ts dont les degrés de multiplicité

(15) Mi, Ma UE (16) Lu; (as RE

donneront des sommes toutes deux égales à mn. Cela posé, il est évident, d’après les propriétés de l’exponenüelle F(x), que la foncuon

| [Fr Fa)" [Fr (a) = F(a)] 2: [F()— F(as)]"s (7) 8) CG) Fan [F@) = FC) 2 [F(@)— Fay

est indéfiniment méromorphe, qu’elle admet la période Il, que, dans la bande considérée, elle a pour seuls zéros et infinis les quanutés (13), (14) aux degrés de multiplicité (15), (16), qu'elle à

pour valeurs polaires, boréale et australe, les quantités

DH — [F(æ)1[F(a)}s... [F(ag)Pe, D [F()]Jm IF (a)lte -.. [EF Cay)]4r p— =],

dont aucune m'est nulle ou infinie. IL en résulte que dans cette

o(æx)

bande le rapport , indéfiniment méromorphe et de période IF,

est dépourvu de tout infini, de tout zéro, et qu'il a pour valeurs polaires les quantités non nulles, ni infinies,