CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

le chemin (15) donne pour l'intégrale (13) une des cinq quantilés (22) I, Au, — I, By, — FE Cry — lE D, — f:

augmentée d'une somme de multiples entiers (positifs ou négatifs) des six différences

(23) Aus — Buy Au ENS Cu Aus — Du; B,, — Gus By, — D, Cry — Du

des quantités (18) prises deux à deux.

Dans un pareil chemin, toute paire de boucles identiques et contiguës n’a aucune influence sur la valeur de lintégrale, n1 sur la valeur initiale à attribuer au radical pour poursuivre l’intégration après leur parcours (IV).

Si donc les boucles restant après la suppression des paires de ce genre sont en nombre pair, elles donnent une parte de l’intégrale évidemment égale à une somme de multiples entiers des différences (23), ramènent le radical à la valeur R,,, après quoi le parcours du chemin (15) donne une dernière partie égale à I.

Si elles sont en nombre impair 24 + 1, les 2 À premières donnent, comme tout à l'heure des multiples entiers des différences (23) et ramènent le radical à R,,; puis (IL) la (24 + 1) suivie de [uw U] ajoute à cette somme quelqu'une des quatre dernières quantités (22).

VII. Actuellement représentons par II et Q deux des différences (23) ayant un terme commun, en posant, par exemple,

(24) Aus — By Æ IT, Au [UE LUN

On aura d’abord By, — Cu, = a Il — Q,

puis on trouvera successivement, en ayant égard à l'égalité (21),

Cu — Du, = — I, Au — D,,=—11+0, Bu — Du = — 21 +Q,

( Bu, = Auy — I, Ge Au, — Q, D At Il — ©,

moyennant quoi les valeurs ci-dessus (VI) de l'intégrale (13) prennent les formes

(26) I+mll+nQ et A,—I+mll+ng.

En ayant donc égard à la relation X = x, + I (1) et posant (27) 270 + Au =S,

il est évident que les valeurs de l’expression (12), c'est-à-dire les racines de l’équation (8), sont bien celles qu’assignent les formules (9), (ro).

Inversement, toutes les valeurs de x données par ces formules sont des racines de cette équation. Il est évident, en effet, qu’une soudure convenable de boucles (14), placée avant le chemin (19), peut faire acquérir à l'intégrale (13) une valeur égale à l’une quelconque des quantités (26).

VIT. Il nous reste à prouver qu'entre les éléments de II, Q on a l'inégalité

À cet effet, faisons mouvoir + sur un chemin [x,6] ne contenant aucun infini de E(x), ce qui est possible puisque cette foncton, étant indéfiniment méromorphe (301), ne peut offrir dans une aire limitée quelconque, que des infinis en nombre essentiellement limité (31). Le point u — E(x) décrira simultanément une ligne limitée [usu], de us — E(xs) à v — E(é); et inversement (1), l'intégrale (13) prise sur cette ligne est égale à £ = x4.

En appelant £"’— x, la valeur de la même intégrale prise sur quelque autre ligne [wçu |) tracée arbitrairement de w, à v, on pourra, d’après ce que nous avons remarqué à la fin de l’alinéa VIT, trouver pour les entiers m, n des valeurs donnant

(29) mU + nQ— soit £ — #0), soit Ë —[A,, — E()].

Maintenant la quantité Ë est arbitraire en module et en direction, sauf la minime restriction de n'être pas un infini de E(x); d’autre part, et cela parce que l'intégrale (13) est de première espèce (296, 1°), la quantité £(0) conserve, quelle que soit v, un module inférieur à une certaine limite qu’on peut assigner, pourvu seulement, ce que nous sous-entendons expressément, que la ligne [wov |, en s’allongeant, ne fasse jamais autour des points a, b, c, d, que des lacets en nombre limité. Il en résulte évidem-