CHAPITRE IV. — PHASB8 CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

nous appelions (a) tout à Theure, il y a ici à en considérer une autre composée de ; i'* une ligne [^o**!] tracée delà valeur initiale Xo de x^ à une valeur a^ de module assez grand pour que le développement en question converge; a® un anneau [oo], maintenant de très grandes dimensions, conduisante; de fl^ à a^ par des valeurs qui tombent toutes aussi dans les limites de convergence de la même série, et enveloppant une seule fois l'origine, ou bien, comme on peut le dire encore, l'aire imperforée infinie qu'il limite intérieurement; 3** la ligne [tt^J?©]*

Nous fatiguerions inutilement le lecteur en insistant davantage, car nous n'aurions qu'à lui répéter avec d'autres mots les détails de la discussion de la racine u de l'équation auxiliaire (12), dans une aire limitée contenant la seule valeur critique x'^,

166. Toutes les considérations précédentes sont applicables aux équations entières, comme nous en avons déjà fait la remarque (150); c'est même pour elles qu'on a le plus souvent à les utiliser.

La plus intéressante pour nous des discussions de ce genre est celle de la racine u de l'équation binôme à second membre rationnel

(i3) 1*'"= Ho (ar — ûi )«!...( a? — a^)«ff,

que sa forme simple rendra très facile à traiter par des moyens spéciaux. On a Ho^ o, et les exposants m, /i|, . . ., /i^ sont des entiers, le premier positif, les derniers indistinctement positifs ou négatifs. Les valeurs critiques de x sont les quantités ûi, . . ., a^, que nous supposons toutes inégales; elles font acquérir à l'équation (i3) des racines (numériques) multiples, nulles ou infinies selon que la valeur correspondante de l'exposant n est ^o.

Pour Xo, X, extrémités du chemin simple, nous prendrons toujours deux valeurs de X non critiques. En représentant par /(x) le second membre de notre équation, nous prendrons pour Uq, valeur initiale de m, une des m déterminations numériques (inégales) du radical //(^o)? choisie à volonté une fois pour toutes, et nous appellerons U celle des déterminations du radical "i/fiX.) que le parcours du chemin simple donne en X pour valeur finale de u.

178 DEUXIÈME PARTIE. ^ FONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.

I. On obtient presque immédiatement les développements des racines pour des valeurs de x suffisamment voisines d^une même valeur critique d correspondant à ^exposant n. On peut effectivement écrire

et, comme la fonction rationnelle placée sous ce radical est olotrope et non nulle en ^ = (I, ce radical lui-même l'est aussi (ISS), partant développable en une série entière par rapport à a; — a,

^o-H Ai(a? — o)-+- Ai(a- — a)*-H.. .,

où Ao 7^0, qui donne

En appelant m! y n! les quotients des entiers m, n par leur plus grand commun diviseur d^ puis Q|, O27 * • "i^d les d racines ^èm«s jg l'unité, les m déterminations de cette expression rhizomorphe se partagent en les e/ groupes suivants

0,(37 — o)"»'[Ao -h Ai(ar — û)-4-. . .],

\ erf(a: — o)^'[Ao-h Ai(ar — o)-h. . .J,

qui chacun en contiennent ml ^ et où il n'y a plus de diviseur commun entre le dénominateur de chaque exposant et son numérateur.

II. Supposons maintenant qu'on place la boucle (a) avant le chemin simple, et soit i l'indice de Q dans celui des développements (i4) parmi les valeurs duquel potir :r = tt' se trouve la valeur b' acquise en ce point par u après le parcours de la ligne [xott'].

Une révolution faite par x dans le sens direct ou rétrograde sur

l'anneau [a] fait passer le radical (^ — o)'"', de sa valeur primitive en û', au produit de celle-ci par la puissance d'exposant db ri de a«' racine principale directe m'**"*® de l'unité (126); comme le premier facteur 8| est constant, comme le dernier Ao-l-A|(ar — a)