CHAPITRE X. — DÉVBLOPPBMSNT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUBS

selon que ff{u) est du troisième ou du quatrième degré. Dans le premier cas, C{x) a un infini double (305, I), et Tintégrale est mëromorphe. Dans le second, C{x) a deux infinis simples (incongrus) et l'intégrale a pour valeur A/ ^^ — "ErWs + ^î *? P désignent ici ces infinis de C(x), et A, — A, les résidus correspondants (328). De même pour la seconde de ces intégrales, dont la nature dépend en outre des valeurs des coefficients des premiers termes du développement de C{x) en série procédant suivant les puissances de (x — a) à exposants entiers, les premiers négatifs, différence où a représente un infini de la fonction.

Comme H n'est pas un zéro de f (</) (2S4), cette quantité n'est pas une valeur cardinale de C(x) (304, IV), la fonction figurant dans rintégrale (6) n'a que des infinis simples, et celle-ci a toujours des phases singulières logarithmiques.

Si II était un zéro de f{u)^ c'est-à-dire une valeur cardinale de C(x)j la fonction sous le signe / n'aurait que des infinis doubles, et l'intégrale serait méromorphe. Celte influence de la valeur de Cl sur la nature de l'intégrale, s'accorde avec la distinction analogue que nous avons dû faire dans la réduction de l'intégrale ultra-elliptique.

Plus tard (415 et suiv., inf.) nous achèverons cette solution, en transformant les intégrales elliptiques de façon à spécifier la fonction C{x) de la manière la plus avantageuse.