Si Von représente par

(10) aiX-^-atX^-^'. ..-^-akx^

quelque polynôme entier en x sans terme constant, par u^ une nouvelle variable et par

la série entière en x^ ua mise sous la forme (2), qu^on obtient en opérant dans f{x^ u) la substitution

la série 11^(0*) se réduit nécessairement à quelque polynôme entier [/jo/i identiquement nul puisque f* représente Vexposant de la plus haute puissance de x qui divise tous les termes effectifs de fk{x^ ua)].

Si en outre Inéquation (i) possède les g racines olotropes (6) aux degrés de multiplicité (5) et si dans tous leurs développements les termes de degrés ^ k forment le même polynôme (10), r équation numérique entière en u^

admet la racine a^ à un degré de multiplicité (3) qui est au moins égal à

Si enfin V équation (i3) n^ a point de racine égale à a*, r équation (i) ne possède aucune racine olotrope dont le développement commence par les termes du polynôme (10).