Méthode de sectionnement de MM. Herzog et Stark
pour le calcul des réseaux. — Parfois , entre deux boîtes de jonction des feeders , il existe plusieurs distributeurs branchés ou formant des figures fermées. Pour arriver à calculer les courants circulant dans le réseau plus rapidement que par l'application des
PROJETS D ECLAIRAGE
lois de Kîrchhoff, MM. Herzog etStark (') emploient une méthode dite de sectionnement.
On suppose que chaque distributeur est coupé en un des branchements et on admet par la pensée que Tclectricité qui affluait par les deux tronçons ou retournait par Tun d'eux est absorbée ou développée par un moyen quelconque. Les points de séparation sont choisis de manière que toutes les branches sectionnées du réseau restent en communication avec Tun des feeders par lesquels arrive le courant. On considère comme inconnus les courants a, p, etc., qui affluent aux points de sectionnement ou qui s'en éloignent. On obtient des équations propres à déterminer ces courants en écrivant que la tension est la même des deux côtés de chaque section, c'est à dire que la chute de tension à partir d'un point de distribution jusqu'au point de séparation est égale le long des deux chemins qui relient ces points. Connaissant les courants a, p, etc., il est facile de déterminer les points de partage sur les distributeurs ; il suffit de suivre ceux-ci jusqu'à ce qu'on arrive à un branchement pour lequel les deux courants qui y aboutissent ont une valeur positive. On cherche alors les pertes de tension qui sont maxima aux points de partage.
Les valeurs de a, p, etc. permettent de déterminer les intensités maxima des courants dans les diverses branches du réseau, produites par la mise en train ou Tarrêt de récepteurs. En effet, ces variables sont exprimées par des sommes de termes positifs et de termes négatifs. En égalant les termes négatifs à zéro, on aura un maximum positif. Le maximum du courant inverse correspondra à une valeur nulle des termes positifs.
Afin d'élucider la méthode de MM. Herzog et Stark , nous donnons au complet l'application suivante qui en a été faite par M. Centurione (^).
Soit en A, fig. 5i5, le point d'arrivée du courant électrique dans un
(*) La Lumière Electrique, t. 36, lo mai 1890.
(2) Bull, de l'Ass. des Ingénieurs électriciens sortis de l'Institut Mon tefio re, 1890,
ECLAJRAGi: ELECTRIQUE.
réseau fermé de distributeurs raccordés cnir'cux en des points A, B, C, D, E.
Fig. 5i5.
Nous ne considérons que des conducteurs simples dont il suffit d'ailleurs de doubler la résistance pour tenir compte du circuit complet. Admettons que les longueurs soient exprimées en mètres et les sections en mm^.
On se donne arbitrairement une première distribution de courants dans le réseau d'après laquelle Ton choisit les sections des conducteurs de manière à ne pas dépasser une chute de potentiel égale à 3 pour 100 de la tension utile. On vérifie cette distribution par la méthode de sectionnement.
Soient a, p, y les points de sectionnement ; les flèches perpendiculaires aux conducteurs indiquent l'emplacement et les chiffres qui les accompagnent l'intensité, en ampères, des dérivations correspondant à des groupes de lampes.
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Comme nous avons choisi a précisément en un point où il y avait une dérivation de lo A , nous pouvons admettre que ces lo A étaient constitués d'une partie a venant de D et d'une partie lo — a émanant de A.
De même en 8, le courant dérivé de i5 A provient d'une somme de deux parties, p issue de B et i5 — p de E. La même chose existe pour le point y-
De A jusqu'au sectionnement a, nous pouvons calculer les pertes de potentiel le long des deux chemins A , lo — a et A, B, C, D, a, et poser qu'elles sont égales.
La conductibilité du métal et le facteur de multiplication 2 qui tient compte du distributeur de retour intervenant dans les deux membres , nous nous abstiendrons de les écrire ; en outre , au lieu des' longueurs et des sections , nous indiquerons directement les valeurs du rapport de ces quantités.
En admettant que les longueurs, en mètres, soient celles inscrites sur la figure et que les conducteurs aient les sections suivantes, exprimées en mm^,
A a D =50, ABC —70, C D F = 5o, F Y = 3o, B p E Y =20, CE = 3o
pour les 80 premiers et les 100 derniers mètres, et 5o pour les i5o mètres intermédiaires, nous pouvons écrire pour le point a Téquation ;
2,6 (10 — a) = 1,71 X P -i- 2,42 X 3 4- 3,7 (7 + 10 -{- 19 + i5 — Y + i5-p) + 5,7X4,54-7.7(20 + 7) f 10,1 X 16+ 14,1 Xa.
Vers p, nous avons, à partir de B, les deux chemins B, S et B, C, E, (i5 — p) qui nous fournissent l'équation
De môme, pour y, en partant de C,
2 X4,5-i-4(i6 + a)+6,2 X20+ 12,2 Xt=2,66X7 + 5,66X 10 +
En résolvant ces trois équations, nous obtenons
La valeur négative représentant une intensité de sens contraire à celui supposé, le courant a s'éloigne du point désigné par la même lettre.
A Taide de ces trois données, la répartition des courants est précisée. On connaît ainsi le sens et l'intensité de ceux-ci dans chaque portion du réseau; les valeurs sont inscrites sur la figure à côté des flèches parallèles aux conducteurs. On en déduit les pertes de charge en volts. Si celles-ci ou les densités de courant sont trouvées trop fortes dans quelques conducteurs, on modifiera convenablement les sections et recommencera les calculs de vérification.
Mais un réseau ne -se trouve pas toujours dans les conditions de pleine charge que nous avons supposées. A certaines heures de la journée, une partie seulement du réseau est utilisée, et il arrive que, pendant qu'un conducteur travaille à plein débit, le conducteur voisin n'est parcouru que par un courant très faible. II faut donc rechercher l'influence qu'exerce sur le réseau entier la fluctuation du courant dans ses différentes parties. MM. Herzog et Stark ont mis à profit dans ce but le principe de la superposition des effets, en remarquant que le courant engendré dans une partie du réseau par la fermeture simultanée de plusieurs circuits d'utilisation est égal à la somme des courants qui y seraient déterminés par Tadjonction successive de ces circuits.
Pour appliquer ce principe, considérons une dérivation d'une valeur convenable , de 10 A par exemple, et établissons-la successivement aux différents nœuds du réseau : pour chacune de ces positions , nous aurons dans les différents conducteurs une certaine répartition de courants et, pour connaître les valeurs de ceux-ci ; nous pouvons employer la méthode de sectionnement précédemment décrite.
Nous obtiendrons ainsi autant de systèmes d'équations qu'il y a de nœuds et leur résolution nous permettra de déterminer le courant qui circule dans l'un quelconque des conducteurs, quand la dérivation occupe l'un quelconque des nœuds du réseau.
yjL.
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Alors on dressera des tableaux graphiques composés d'autant de diagrammes qu'il existe de conducteurs.
Dans chaque diagramme , on représentera par une horizontale la résistance du conducteur correspondant et on portera sur deux perpendiculaires élevées aux extrémités de cette droite des longueurs proportionnelles aux intensités des courants que reçoivent les autres conducteurs quand la dérivation est supposée successivement aux deux extrémités du conducteur considéré.
Reprenons notre exemple, fig. 5 16. Etablissons le courant dérivé unitaire de 10 A premièrement en B, toutes les autres dérivations étant supprimées : ouvrons les mailles du réseau en des
points a, p, Y choisis arbitrairement. Les longueurs sont indiquées sur la figure, les sections sont les mêmes qu'auparavant. Nous pouvons écrire les trois équations :
d'où Ton tîre les inconnues
On déduit de ces valeurs la répartition du courant, indiquée par les flèches en traits pleins.
Transportant la dérivatioti unique de 10 A au point E et établissant les équations, on trouve, en les résolvant ,
et une distribution du courant dans le réseau indiquée par les flèches pointillées.
Avec, ces données, on peut déjà construire le diagramme du conducteur B E.
Dans la fig. 5 17 la droite BE représente la résistance de ce conducteur.
Sur la perpendiculaire élevée au point B , portons des longueurs BI, BII,... BVII proportionnelles aux courants que nous avons reconnus dans les conducteurs marqués I, II,... VII sur la fig. 5 16 quand la dérivation de 10 A était en B : ayons soin de porter ces longueurs au-dessus ou au-dessous de la droite BE, suivant que les courants correspondants sont de môme sens ou de sens contraire à celui de flèches marquées arbitrairement sur les conducteurs.
Sur la perpendiculaire de Textrémité E , faisons la même chose pour la position E de la dérivation.
Joignons les points I I, II II, ... VU VII ainsi obtenus par des droites. En faisant passer de proche en proche la dérivation unitaire de B en E le long du conducteur I de la fig. 5 16, les courants qui parcourent les autres conducteurs sont déterminés à chaque instant par les longueurs, comptées à partir de Thorizoniale, que les lignes I I , II II , ... VII VII découpent sur une verticale MN se mouvant proportionnellement le long de la droite BE de la fig. 517.
Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que le rapport de
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la variation d'un des courants , a par exemple, à la variation de la résistance r du conducteur BE comprise entre le point B et la
JBj§,
Fig. 517.
position actuelle de la dérivation unitaire est une constante; c'est à dire que
dr
= constante.
En effet, la résistance r entre dans les équations qui expriment l'égalité des pertes de charge, sous la forme
pr-(io~P) (R-r)
en admettant que R représente la résistance totale du conducteur BE , et que le sectionnement fi coïncide avec remplacement considéré de la dérivation de 10 A.
Or cette expression, qui devient
renferme r comme coefficient d'un terme constant. Donc , dans la résolution du système d'équations linéaires en a, p, y, r apparaîtra seulement au numérateur des racines et y figurera au premier degré. La dérivée d'une telle fraction ne peut être qu'une constante, d'où il suit que la courbe qui représente la loi de variation est une droite.
On peut de cette façon se rendre un compte exact des changements que tout nouveau circuit dérivé sur I introduit dans la répartition du courant dans le réseau.
On construit un diagramme semblable pour chaque distributeur.
En résumé, la méthode de sectionnement donne à l'électricien le moyen de vérifier la convenance des sections choisies pour les différents conducteurs ; le principe de la superposition des effets lui permet de tenir compte des modifications introduites dans le réseau pendant l'exécution des travaux et de suivre , pendant l'exploitation, les fluctuations journalières et annuelles du courant dans les différentes parties du réseau.
766. — Méthode approximative de M. Cruciani. — La méthode de MM. Herzog et Stark, à côté de l'avantage de la rigueur, présente quelques défauts qui limitent son application. Elle est très laborieuse et ne permet d'apercevoir une erreur, même grossière, qu'après achèvement complet des calculs. Elle suppose connues les sections des câbles et, comme la distribution des courants se déduit des calculs, il arrive qu'après avoir terminé ceux-ci on doive les recommencer avec des câbles différents parce que la densité de courant obtenue est trop forte ou trop faible.
M. Jos. Cruciani, ingénieur-électricien à la Compagnie Heîios^ emploie pour le calcul des réseaux une méthode par approximations successives beaucoup plus expéditive que la précédente et présentant une exactitude bien suffisante pour les applications.
Etant donnés la position et l'importance des branchements à desservir par un réseau de câbles, ainsi que les sections des conducteurs dont il peut disposer, un praticien n'a pas de peine à déterminer d'une manière grossière l'intensité des courants qui
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circulent dans les divers côtés du réseau et à choisir les sections de câble à adopter dans ces côtés. Ces éléments permettent de calculer les pertes de tension successives à partir du point d'alimentation jusqu'aux points de partage supposés des courants. Les pertes ainsi trouvées ne sont pas les mêmes pour les deux chemins qui conduisent dans chaque maille du point de départ au point d'arrivée. Les différences montrent dans quel sens il faut corriger la distribution des courants et, au besoin, la section des conducteurs pour arriver à un résultat satisfaisant. Avec une certaine habitude, celui-ci est atteint après un ou deux tâtonnements que l'emploi de la règle à calcul rend très rapides.
Un exemple fera mieux comprendre le procédé de M. Cruciani.
Fig. 5 18.
On se donne trois mailles à alimenter en un point O, fig. 5 1 8, par des courants alternatifs à la tension primaire de i 000 V. Les modèles de câbles dont on peut disposer pour cette distribution ont respectivement 10, 16, 25, 35 et 5o mm- de section. La canalisation étant aérienne , on désire que la densité des courants soit voisine de i A par mm'^. La perte de tension admise est de 2 pour 100, soit 20 V.
La chute de tension dans chaque côté d'une maille supposé
formé d'un conducteur d'aller et d'un conducteur de retour
i "xT / 0 est V = S ir = S '- l exprimant le double des distances
réelles. Pour faciliter la pose, on donne une section constante s
à chaque côté du réseau^ c'est à dire au distributeur traversant une rue; il s'ensuit que la perte dans un côté peut s'écrire
Si / est exprimé en mètres, s en mm^ et i en ampères, comme p = 1,66 mO-cm,
S 60 La perte de tension par ampère moyen est égale à
La figure indique les longueurs doublées des côtés du réseau ainsi que les positions et les intensités des branchements vers les transformateurs. Les flèches tracées le long des côtés du réseau représentent une distribution probable des courants dont rinicnsitc est présumée. On se donne les sections des conducteurs correspondant aux courants et Ton dresse le tableau suivant :
