IJ

£on. En posant

= ^t on n alors

Pour que les termes du quatrième ordre soient nuls, il faut que le rapport x des longueurs magnétiques soit la racine politive, plus petite que l'unité, de l'une des équations

•jx^+ -Tj- jr' = o,

En faisant x = o,5 on a /ïj = o et le terme y, est très petit. Pour la môme valeur  = J, il vient alors

Enfin, si les aimants sont presque parallèles, on remplacera e sinus des angles S par l'unité, ce qui donne

-.ia«^-')-

Dans ce cas, qt est positif et <]■, s'annule pour .r=o,3i Avec j- = o,5 etX=|, on aurait

/ii = 4-o,oj8iaj, y, = H- 0,005078; Pi=: — 0,087898, îî^ — 0,009825.

Ces calculs ne sont d'ailleurs qu'une approximation eli peuvent être utilisés directement dans la pratique, parce qt l'action des aimants n'est pas réductible à celle de leurs pOl« d'autre part, même pour des barreaux semblables, la distant des pôles n'est pas proportionnelle h la longueur des bu reaux. Il est manifeste, en tous cas, que les termes du qtn trième ordre restent très petits lorsque le second aimant a dans une position principale du premier et que leurs direction sont presque rectangulaires.

807. Déviation dans un champ. — Supposons que le seou aimant soit mobile autour d'un axe perpendiculaire au-plu de la flgure et placé dans un champ uniforme dont la compd

sanle efficace II (fig. 24(>) fait l'angle 6 avec l'équale premier barreau.

Pour la première position principale, le barreau mr étant en Oi, on aura ainsi, à part les termes de conte

Pour que l'angle l conserve Iq,

GCl6 MliSUnES MA(i\ÉTIQV

mÎQatioD englobe une partie Dolable de la correction qui cor-^ respondrait au terme suivant.

Supposons d'abord que l'angle 3 n'entre pas dans les co^ reclions, ce qui a lieu en particulier pour la méthode di sinus. Soit » la valeur de tangS ou de sinQ relative à la distance R pour l'une des équations (8), u' la valeur relative à II distance plus grande R ', /) et /»' les termes de correction correspondants. Comme ces termes sont en raison inverse de I> dislance, si l'on pose R = pU', il en résulte p'=pf'

On a alors

Le rapport r Haal connu par la mesure des distances et celle des quantités u et «', l'équation (9) détermine le terme ^.

Pour simplifier le raisonnement, on peut reporter toutes les erreurs expérimentales sur la valeur de «', ce qui revient t supposer que les quantités R, R' et m sont connues exacte-

ment. L'erreur dp correspondant à une erreur <ir = — — est

Ir-P')'

1 remarquant que r est très voisin de l'unité.

dp^-

Toutes choses égales, la moindre erreur correspond au maximum du produit f^(i — p^). c'est-à-dire à ia condilioû

Le cube de la dernicre fraction est égal à a, 1 5 et le produit

yA.z -r^y. -SI

el l'erreur relative que l'on commettrait sur la valeur dep, eo négligeant cette correction, est sensiblement

Pour les mêmes angles de io° et de 5", on aurait e = o.o.ï(i4 et i'=o,o846. Avec p~ji, le calcul approché donnerait une valeur trop faible d'environ 0,0042- Il est vrai que cette nouvelle correction est à peu près proportionnelle au carré des angles de déviation et se réduiraïtau millième pour des angles moitié moindres.

Il reste à voir enfin si l'on doit tenir compte des aimaoUtions induites. Considérons, en général, des barreauxdisposés comme dans la figure 3(5. En désignant par MX el MY les composantes rectangulaires du champ produit en O parle barreau M, l'équation approchée d'équilibre est

Hsm(e + ':)^M(Xc,

Sur le barreau mobile, qui est parallèle au champ, l'aimantation induite est longitudinale et n'inler\ient pas pourTéquitibre; on peut la supposer comprise dans le moment M'.

Comme le couple des aimants est réciproque, on a aussi

MM (X cosî - V sin î) = MM'Y*.

eo désignant par M'Y' une valeur moyenne de la composante verticale du champ produit par le barreau M sur M ; la valeur de Y' diffère très peu de celle qui convient pour le centre 0, La condition d'équilibre peut donc s'écrire

Hsin(0-t-î| = MV.

Soient M, = j, M et Mj=j-,M les moments magnétiques, longitudinal et transversal, des aimantations induites sur le barreau M, et MX' la composante au point O du champ produit par le barreau M'. Le couple M'MY' doit être remplacé psi"

,)Y'-M.r,Xl

(My/i

I en résulte que l'erreur relative qui coirespond h l'aimenlion induite a pour expression

Od a d ailleurs, en appelant A l'aimantation rigide,

, = A(M'X'-HsinO), jr3=^(M'Y'+Hco9e);

a, en tenant compte de (lo)

'' X' rlU' V T

! A.= ^Il[^(/',-/;)sin(8+î)-/;cos«-Ai7=.n0j.

I Si on emploie la méthode des sinus, X — o et il reste

' Dans les conditions indiquées précédemment (804), la cor- «ction relative à l'action du champ terrestre serait inférieure l o,ooo5 pour une déviation de 'So".

^ Avec la méthode des tangentes, 0 ~ o, ce qui donne

, 11 est surtout intéressant d'examiner les cas où le barreau

(lobile occupe une des positions principales 0, ou Oj (fig. ^46)

rr rapport au barreau déviant. Le rapport des composantes et Y' est égal à a tangS pour la première position et à- tangî

l&ur la seconde.

[ D'autre psrt, si l'on suppose que les barreaux ont la même

ttnantation moyenne, le rapport des moments M' et M est égal

tî7U MKSURES MAGNÉTIQUES.

au cube x^ du rapport de leurs longueui-s. Faisant encorax=J, l'erreur e est le double ou In moitié de la quantiU^

: 'angî

'f^zf^^

-/,J = o,ooitaogî|^^

Nous remarquerons, en passant, que les i>quatioos (8)pe^ mettent de comparer les moments magnétiques de deux bai reaux en observant les déviations qu'ils produisent sur M aimant mobile dans un même champ.

EnQn, l'observation des oscillations d'un barreau donne le

produit MH=I' par l'équation (i) et le quotient tt=Q P'

l'une des équations (8). en tenant compte dans chaque as des termes de correction. On en déduit

Les deux expériences permettent ainsi de déterminer ea valeurs absolues le moment magnétique M du barreau et li composante efficace H du champ.

809. Loi des actions magnétiques. — Une application importante de celte mélhode a été faite par Gauss (') pour vérifier la loi des actions magnétiques.

Supposons que l'action qui s'exerce entre deux niasses gnëtiques soit en raison inverse de la «' puissance de 1b distance. Le champ magnétique d'une masse m à la distancer est

alors — et son potentiel — —

Pour un couple de deux masses + ni, dont ie moment lui-

gnétique est mh, le potentiel en un point P, dont lesdistsDcei

aux masses -t- m et — m sont r et r', a pour expression

Or, le produit mdr est la projection du moment mA=.M Je* ~ Comm. Soc. fl(j. Oulli'}-

Icux masses sur le rayon vecteur /■ qui joint au point P lemi-

ïeu du système. En appelant i l'angle que fait la direction

Mcos « de l'axe magnétique avec la droite r, on a donc \ = ;; —

(Les composantes du champ F„ et F,, normale et langentielle lA la sphère de rayon ;■, sont alors

Pour un aimant de longueur finie, on trouverait également qu'A part des termes de correction, les valeurs du champ aux deux positions principales, à la môme distance R du milieu

du barreau, sont ;

et

H-iH

■ Le rapport de ces deux

expressions est l'indice n de la puissance qui définit l'aclion éiémentaîre.

Gauss a fait agir sur une même aiguille un barreau perpendiculaire au méridien, situé alternativement de manière que l'aiguille fut dans la première ou dans la seconde position principale du barreau, lîn opérant à lii dislances dilTérentes comprises entre i"',3 et 4"'i on en pouvait déduire, par une méthode de moyennes, les coefficients des deux termes du développement.

Les dévialions ont varié de a" 1.3' 5i ' à 4^6 ■ A quelques Becondes près, toutes les observations sont exactement représentées par les expressions

langï, = o.o8ti87oU ■ langSa=:o,o4:i43:)R--

-o,ooii85R- = |-o,ooa449R ■

Pour une grande distance, les derniers termes sont négligeables et le rapport des tangentes, c'est-à-dire des champs du barreau déviant sur la ligne des pôles et dans le plan de l'équateur. est égal au rapport dos premiers coefficients, lequel est exactement 2. La loi du carré des distances se trouve ainsi vérifiée avec une approximation que ne comportaient pas les expériences de Coulomb.

810. Emploi de la balance. — Le couple produit par laclioû du champ terrestre sur un barreau placé dans la position verticale est MH ( I H-/; T ) ou MH [^ —f[ i)y suivant que le pôle

nord est en bas ou en haut, et ces deux couples sont de sens contraires.

Si Ton attache le barreau d'une manière rigide au fléau d'une balance dont Taxe de rotation est perpendiculaire au méridien, Tappareil peut être équilibré, dans les deux cas, avec des tares Pj et Pa agissant par un bras de levier de longueur /; on aura donc

(m) aHM(^.+ Az:^.|^ = (P,p,)^„/.

C*est une sorte de double pesée dans laquelle raimantation induite est généralement négligeable, puisqu'elle n'intervient que par une différence.

Lorsque Taimantest placé horizontalement dans le sens du fléau, le couple magnétique est produit par la composante verticale Z du champ. Les tares Qi et Qa relatives aux dcui positions du barreau donnent encore

Les équations (ii) et (12) permettent encore de comparer deux moments magnétiques et leur rapport donnerait la tangente de l'inclinaison :

Von Helmholtz (') équilibre encore par la balance laclion réciproque de deux barreaux. L'un d'eux, de moment Mj, est suspendu verticalement à l'un des plateaux, l'autre Mi placé horizontalement sur le second plateau et dirigé vers le milieu du premier. La distance des centres étant R, la composante

(1) Helmholtz, Ber. der Ak. der Wiss, zu Berlin, t. XVI; 1883. ^Joun.dt Phys. l2], t. IV, p. 238; 1885.

CONSTANTES d'aisiantation. 675

D'une manière plus générale (253), l'énergie potentielle d'un limant M dans un champ F qui fait l'angle 6 avec la direction Ae Taxe magnétique a pour expression — MFcosO. Diverses combinaisons de cadres (5T6 i\ 578) permettent d'obtenir un champ uniforme ; soit G sa valeur pour l'unilii de courant. Le travail nécessaire pour amener l'aimant de la direction fl à utre direction Ô'. ou la variation correspondante du flux le force de l'aimant dans le circuit, est

s = MG(cose — cosS').

Si l'aimant est cnipvè à une grande distance, la décharge bduile déterminera ainsi la composante Mcos9 du moment magnétique. Si on retourne l'aimant bout par bout, la décharge induite donne îMcosO.

En mesurant par ces méthodes les composanles M^., Mv et M: du moment magnétique M par rapport à trois axe9 rectan- ^laires, on en déduira

Les cosinus directeurs a, 3, et y àe l'aimantation moyenne ir rapport aux axes seront déterminés par les relations

Mi'

812. Aimantation moyenne- — Le quotient du moment magnétique d'un corps par son volume donne la valeur moyenne ^e son aimantation.

Nous avons vu déjà (310) que l'aimantation moyenne d'un des barreaux employés par LIauss était égalée i y4' Cette aimaniation varie souvent de aoo à 4i^o pour les barreaux dont on se iert dans les laboratoires ou dans les observations de magnétisme terrestre. L'aimantation maximum que peut acquérir l'acier dépend, non seulement de la nature du métal et de sa Lrempe, mais aussi des dimensions du barreau.

Le magnétisme, en effet, est surtout localisé dans les couehcs superficielles, soit parce que les procédés d'aimantation îmployés n'agissent pas facilement sur les parties intérieures.

soit parce que la trempe ne pénètre pas à une grande profondeur. En outre la réaction d'un aimant sur lui-même, ou la force démagnétisante (292), est d'autant moindre que le barreau est plus allongé dans le sens de Taimantation.

Avec des tiges très minces, M. Kohlrausch (*) a obtenu pour Tacier des moments magnétiques de loo unités par gramme, ce qui correspond à une aimantation de 780.

Supposons qu'un aimant soit entouré par un circuit de /lo spires. En prenant Taxe des x perpendiculaire à la surface S du circuit, le flux total d'induction magnétique qui traverse cette surface est (243)

Quand on enlève l'aimant à une grande distance, ou que Ton supprime l'aimantation, le circuit est parcouru par une décharge induite qui donnera la mesure de 9.

Si l'aimant est un barreau sur lequel le circuit s'applique comme un anneau, on peut appeler X et A les valeurs moyennes du champ et de l'aimantation dans la section S et écrire

(i4) 9=:/io(4^A-|-X)S=:/2o4^AS(i —a).

La décharge relative au déplacement .r' — xdu circuit est proportionnelle à la différence ? — ?' des flux d'induction correspondants, ou au flux de force qui sort de l'aimant dans cet intervalle. On en déduira la valeur moyenne de la composante normale extérieure en chaque point (294, III).

Lorsque Tanneau est placé dans la région moyenne d*un barreau très long, le terme de correction a est négligeable ; l'en* lèvement de l'anneau à une grande distance produit une décharge qui détermine raimanlalion moyenne A dans la section d'abord entourée. Cette aimantation a une valeur maximum Ai dans la section médiane, puisque le barreau équivaut toujours à un aimant lamellaire (250) ou à un aimant solenoîdal (246! formé de filets magnétiques uniformes aboutissant à différents points de la surface.

(*) F. KoiiLHAuscii, Leilf,iden der prnkt. Phys. 4« éd. p. 174; 1880.

CONSTANTES d'aIMANTATION. 677

Pour des barreaux plus courts ('), on peut calculer d'abord le champ Xo dans la section médiane en supposant que les masses magnétiques àzm des extrémités du barreau sont concentrées aux pôles dont la dislance est 2L ; en appelant 2 L' la longueur du barreau, on a ainsi

2^ M AL S -Xo L'S

4^Ao 4'ï^L'*

Cette fraction est d'environ ^ quand la longueur magnétique du barreau est 10 fois son diamètre et se réduit au quart pour une longueur double. Dans ce cas, il est suffisant de calculer la correction d'une manière approchée.

813. Distribution du magnétisme. — Les différentes méthodes expérimentales (295) ne peuvent donner, avec plus ou moins d'exactitude, que la forme du champ magnétique extérieur. On en déduirait la couche fictive superficielle, ou l'aimantation lamellaire équivalente (250), sans qu'il soit possible de connaître la situation réelle du magnétisme. Réduit à ces termes, le problème présente encore de grandes difficultés.

SoitV le potentiel d'un aimant, p la densité magnétique et désignons par U le potentiel de l'unité de masse située en un point extérieur P.

En appliquant l'équation de Green (28)

(,:.) y"(uAv-vAu)rf»'=y'(u^-v

au volume de l'aimant, ou au volume compris dans une surface S qui l'entoure et à laquelle le point P est extérieur, on aura toujours, dans les limites de l'intégration, AU=:o et AV-|-4^p— o. Désignant par /• la distance au point P, le premier membre se réduit i\

(i) E. Mascaut, Ann. de Chini. et de Phys. [6], t. XVIII, p. 5; 1889.

Or, la dernière intégrale représente le potentiel V^, de l'aimant au point P; l'équation (i5) devient alors

(■«) 4.v,=/v^(i).s-/iî^.s.

La valeur de Vy, ne dépend ainsi que du potentiel V sur la surface et de sa dérivée normale. Il existe d'ailleurs une relation entre ces deux quantités. En effet, on peut encore appliquer Téquation (i6) au volume limité par la surface S et la surface S' d'une sphère de rayon r' très petit ayant son centre au point P, à la condition que l'intégrale du second membre soit étendue aux deux surfaces S et S'.

Dans ce cas, si dS' désigne l'élément qui correspond à l'ouverture angulaire dtù, on a rf/2=: — dr\ dS' =: r'^rfo); la partie du second membre de l'équation (i6) relative à S' devient

Quand le rayon r tend vers zéro, le dernier terme s'annule elle précédent devient 4^ V^,. L'équation (i6) se réduit donc à

Comme cette condition est indépendante de la position du

ôY point P, il en résulte que les quantités V et— sont des fonctions l'une de l'autre. Le champ, extérieur est donc déterminé quand on connaît le potentiel sur la surface S ou sa dérivée normale, c'est-à-dire la composante normale du champ en chaque point.

Désignons encore par U le potentiel de l'unité de masse située au point P et de la couche qu'elle induirait, si elle était électrique, sur la surface S supposée conductrice et en communication avec le sol, et soit n la densité de cette couche sur l'élément dS, En appliquant l'équation (i 5) au volume limité par les mômes surfaces S et S', on remarquera que,

pour la surface S', la valeur de U tend vers- quand /•' tend vers zéro, ce qui donne

J-vfi,«S=-V,/±(i).'.i.=4=V,.

Les termes correspondants relatifs à la surface S sont nuls, car la fonction U et sa dérivée normale sont nulles, cette dérivée étant comptée vers l'intérieur ou Textérieur, suivant que le point P est en dehors ou dans la surface S.

Si le point P est extérieur, AV = o dans les limites de Tintégration, sauf peut-être sur la surface, mais alors U = o. On a aussi A 11 = 0 dans les mêmes conditions, mais il faut tenir compte de la couche située sur la surface S, où V n'est pas nul, ce qui donne

rVAUrfi' = -4- fwndS,

L'équation (i5) devient alors

f\udS = -\,,:

le potentiel extérieur de Taimant se trouve ainsi exprimé en fonction du potentiel V sur une surface qui Tentoure.

Si le point P esta l'intérieur de la surface S, on remplacera l'aimant par la couche fictive superficielle ; le même raisonnement s'applique alors sans modification. Quant à la densité auxiliaire //, sa détermination se ramène à un problème d'électrostatique généralement difficile à résoudre; elle est liée, en tous cas, au potentiel U par la relation

D'autre pari, l'étude du champ magnétique F permet de connaître, à partir d'une surface de niveau arbitraire V|,

l'intégrale V| — V= / F ^/sle long d'une ligne de force *. Pour

un barreau aimanté, par exemple, on prendra comme point de départ la surface de niveau V| =o qui passe par la région médiane et Ton aura

Fds,

Les formules empiriques (297) qui représentent la distribution des densités magnétiques à la surface d'un barreau ne reposent que sur des expériences approchées et impliquent rhypolhèse inexacte que cette distribution ne dépend que de la forme de Taimant.

814. Distance des pôles. — Ces formules de distribution permettraient de déterminer, au même ordre d'approximation, la distance 2L des pôles, c'est-à-dire la distance des centres de gravité des couches positive et négative.

Une méthode plus directe consiste à évaluer cette distance par le terme du second ordre, /?i ou /?2, dans l'expression du couple produit par un aimant sur un autre aimant très court, qui occupe une des positions principales (806); on en déduit le rapport de la longueur magnétique à la distance R.

M. Kohirausch (♦) a trouvé ainsi que, pour des barreaux d'acier cylindriques ou creux, trempés ou non, dont la longueur variait de 10 à 3o fois le diamètre, ou même pour des parallélipipèdes dont les dimensions étaient 44xa,3xi,l<' rapport de la longueur magnétique 2L à celle du barreau a oscillé entre 0,81 et 0,86; on pourrait donc considérer cette fraction comme égale en moyenne à o,83 ou §.

Toutefois, outre que l'expérience ne comporte une précision suffisante que dans des cas exceptionnels, elle ne donne pas encore la distance réelle des pôles. Considérons, en effet, un aimant rectiligne et symétrique de longueur 2/, dont la densité linéaire soit X à la distance jc du centre. La masse relative à la longueur dx est ^djc et le moment magnétique de deux masses symétriques 'j.\x(Ix\ le moment et la longueur magnétique de l'aimant sont définis par

M =r :i I X .r rf.r =: 2 L / X dx.

(«) F. KoHLHAiscH. Wied. Ann., t. XXII, p. 411; 1884.

CONSTANTES d' AIMANTATION. 681

>r, dans les termes de correction relatifs à l'expression du mp, on doit en réalité remplacer L^ par l'expression

;^ X M L-^ /aXx dx . x^ fXx^dx i]M ji\xdx fXxdx

)uel que soit le mode de distribution, en dehors du cas de IX masses isolées, il est facile de voir que la valeur ainsi :îulée pour L' est toujours plus grande que L. li la distribution est linéaire, par exemple, la densité X étant portionnelle à x, on a

-.'erreur commise sur la distance des pôles, par l'emploi de te méthode, atteindrait alors un dixième, ri. Blakesley (*) détermine les coordonnées x et j d'un des nts P où le champ est perpendiculaire à l'axe. En appelant L a' les angles que font avec l'axe les rayons vecteurs relaaux deux pôles, on a (106)

) sm a sm 2 a = sin a sm 2 a

x—L . , .r -+- L cota== 1 cota =

) cet a H- coi a =r 2 — ;

=r: cota — cota.

^es angles a et a' étant définis par les équations ( 1 7) et ( 1 8), dernière donnera la valeur de L. Il serait facile de voir î cette solution n'est pas plus satisfaisante ; la distance des es ainsi déterminée dépend encore de la position du point P du mode de distribution.

)n obtient des résultats mieux définis en interprétant d'une rc manière l'équation (i\V) appliquée à la section médiane barreau oii l'aimantation moyenne est Ao, le champ Xq et

Blakesley, Proc. of Ihe L Phvs. Snc: 1891, p. jS.

rinduction 4-Ao-f-Xo, D'autre part, le flux total de force émis par le pôle positif est /iT.m\ la plus grande partie s'échappe par les surfaces extérieures pour être finalement absorbée au pôle négatif, mais une partie — XoS traverse la section médiane. Le flux de force extérieur est donc 4'!^'» -h XoS ; comme il est égal au flux d'induction 9o==(4'ï^Ao-f-Xo)S dans la section médiane, il en résulte /w = AoS. Le flux d'induction s« relatif à l'enlèvement de Tanneau ayant été déterminé par expérience, on en déduit

m = KoS= ^^ r.

4t/îo(i — ao)

Si Ton a déterminé, d'autre part, le moment magnétique M du barreau dans une bobine cylindrique, par l'équation (n , on aura la longueur magnétique 2 L par la relation

T —^ ~ 1- 2l 1 — gp m ^0 n 1 — £

On trouve ainsi que, pour un même barreau, la distance des pôles varie beaucoup avec l'aimantation, môme quand elle a été produite aussi régulièrement que possible, à l'aide dune bobine magnétisante.

Je citerai, comme exemple, quelques expériences faites avec un barreau d'acier trempé à section circulaire, de igSg d^ longueur et 0^,4 de diamètre. On déterminait d'abord les quantités m et M, puis les mômes éléments après avoir laissé tomber le barreau de la hauteur d'un mètre sur le parquet. Dans le tableau suivant, d désigne la distance des pôles aux extrémités du barreau et/ la fraction de magnétisme qui reste après les chocs.

nL. d. f-

j Aimantation initiale i4.*^5 2

( » après plusieurs chutes. 15,0" 2,4 o,3()t>

. Aimantation initiale i4»'ï 2,90 »

)) après 3 chutes . . . i4>79 2,55 0,34^

. Aimantation initiale i3,-4 3, 08 »

)) après 6 chutes. . . i4)77 ^»^^ ^»^

CONSTANTES d'aIMANTATION. 683

La distance des pôles est toujours modifiée en même temps le Taimantation. Les chocs ont pour effet, comme on le saut, de diminuer beaucoup le magnétisme et ils rapprochent :s pôles des extrémités du barreau.

Il semble résulter de là qu'on ne peut adopter aucune règle énérale et que chaque état d'un barreau devrait être l'objet *une étude particulière.