ERREUR LU

o A 1 au jo ES MES ne

Pour éliminer les coefficients y et »’, il suffit de faire une. seconde expérience en donnant aux résistances des galvanomètres des valeurs nouvelles 2, et 2, très différentes des premières, ce qui donne

Fe em PE b ka Tps A pe 0°! — SCT : RS o!

O y of 4 of le]

PONT DE WHEATSTONE.

672. Propriétés d'un réseau de conducteurs. — La méthode la plus fréquemment employée pour la comparaison des résistances est celle qui est connue sous le nom de Pont de Wheatstone (156). Cette disposition avait été imaginée et ap-

MTArT, Phil Trans EXR'ES 1. XX VII, p.477; 1877,

pliquée par Christie (') dès 1853, mais c'est à Whealstone (?) que L'on doit d'en avoir montré toute la fécondité.

Comme les liaisons des conducteurs sont alors assez complexes, il est utile d'examiner d’abord les propriétés générales d'un ensemble de conducteurs linéaires, renfermant des forces électromotrices el réunis de manière à constituer un réseau de forme quelconque (158) arrivé à l'état permanent (*).

Nous dirons que le réseau constitue un système complet, lorsque deux points quelconques peuvent être reliés entre eux par un circuit fermé emprunté au réseau. Les intensités du courant dans les différentes branches sont déterminées par les forces électromotrices et les résistances (155). Les propriétés du réseau peuvent se déduire de la forme des équations, au point de vue algébrique, mais nous chercherons plutôt à les établir par des considérations empruntées à la nature des phénomènes.

Supposons que le réseau renferme 7 conducteurs, ayant » sommels, c'est-à-dire 72 points auxquels aboutissent au moins trois des conducteurs.

La condition

(1) Dit 0,

‘appliquée aux sommets, donnera lieu à »# —:1 équations dislinctes. En effet, considérons les deux extrémités A et A d'un conducteur, et appliquons cette loi successivement à tous les sommets que l’on rencontre, en allant du point A au point A’par un chemin extérieur au conducteur AA’; nous obtiendrons ainsi une série d'équations différentes, puisque chacune d’elles renferme au moins un nouveau courant, mais elles impliquent la condition que la somme des courants qui traversent un plan quelconque P, coupant le faisceau entier des conducteurs, y compris le premier, soit toujours nulle; il en est ainsi, en particulier, pour la somme des courants qui

(t) CarisTie, Phil. Trans. L. R. S., for 1833.

(2) WugaATsTonxs, The Backerian lecture for 1843. — Phil. Trans. L.R.S.,t. V p. 303; 1843. — Scientific. papers, p. 127.

(3) Voir Poccenporr, Ann. de Chim. et de Phys. [3], t. XVIII, p. 489; 1846. — BosscxA, Pogq. Ann.,t. CIV, p.460; 1858. — Lucrex DE LA Rive, Arch. de Genève, t, XVII, p. 105; 1863. — J. Raynau», Journ. de Phys., t. II, p. 161 ; 1873.

aboutissent en À’, de sorte que l'équation relative à ce point est déjà implicitement contenue dans les précédentes.

Désignons par p le nombre minimum de conducteurs qu'il faut enlever pour supprimer tout circuit fermé. Ces p conducteurs forment ce que nous appellerons un système de fils nécessaires, et peuvent être choisis en général de plusieurs manières différentes.

La condition relative aux circuits fermés,

(2) Dir — e) — 0,

donne lieu à p équations distinctes. En effet, nous allons montrer d’abord que l'addition d’un fil dans un réseau quelconque n introduit qu'une équation nouvelle de la seconde espèce. Soient À et A’ deux points réunis déjà par plusieurs chemins, V et V' leurs potentiels. La différence de potentiel V — V'estégaleà l’une quelconquedes expressions É(är, — e;), C(ioro — e>).., relatives aux différents chemins C;, C»,... qu'on peut suivre pour aller de A en A’. Si l’on ajoute entre ces deux points un conducteur r, renfermant une force électromotrice e et parcouru par le courant : dans le nouvel état, on a aussi

NES J — ir —e—2(i, Vi — e,)—= Ê(ia le — 2) — pe

l'addition du conducteur r introduit donc dans le système une équation nouvelle, et une seule.

Quand on supprime un système de p fils nécessaires, le réseau est entièrement ouvert et ne peut donner lieu à aucune équation de la dernière forme. L'addition successive des p fils nécessaires, qui rétablissent le réseau primitif, introduit donc p équations distinctes, ce qui démontre la proposition.

Comme le réseau renferme x conducteurs différents et que le phénomène physique est défini, la somme totale des équations doit être égale à la somme » des intensités des courants ; 1l en résulte la condition

pPFrM—IiI—Nn, pP=n—m+x,

Le nombre minimum p des conducteurs nécessaires est

ainsi déterminé par le nombre des sommets et le nombre des côtés du réseau.

Les intensités étant multipliées par leurs résistances respectives dans les p équations (2) relatives aux circuits fermés, et par Æ 1 dans les » — 1 équations (1) relatives aux sommets, le dénominateur commun A des fractions qui représentent les intensités comprend des combinaisons p à p des différentes résistances.

On obtiendra d’ailleurs le numérateur de la fraction qui exprime la valeur d’une intensité &, en remplaçant au dénominateur À le coefficient + r; de &; dans chacune des équations par le terme connu correspondant. Le numérateur renferme donc les forces électromotrices multipliées respectivement par des sommes de combinaisons p — 1 à p — 1 des résistances.

Toute combinaison r:,r:... r,de p fils nécessaires entre dans le dénominateur. En effet, quand on fait toutes ces résistances infinies, ce qui équivaut à supprimer les fils correspondants, il ny a plus de circuit fermé et les équations doivent être satisfaites par des valeurs nulles des intensités. Or, si on divise par le produit r,, r:... r, les deux termes de la fraction qui donne une intensité #, le numérateur est nul puisqu'il ne renferme que des combinaisons de résistances p — 1 à p—1; le dénominateur, ne pouvant être nul, doit renfermer la combinaison r,, re... rh.

Inversement, si une combinaison r,, 7»... r, ne Correspond pas à un système de fils nécessaires, et qu'on répète le même raisonnement, la fraction se présenterait sous la forme indéterminée pour quelques-uns des courants, puisqu'il reste des circuits fermés ; par suite, le dénominateur ne renferme pas la combinaison considérée.

Ainsi le dénominateur commun renferme toutes les combinaisons des fils nécessaires, et ne renferme qu'elles.

Enfin, toutes ces combinaisons ont le même signe. En effet, Si On supprime p — 1 fils nécessaires, le réseau ne renferme plus qu'un circuit fermé. La fraction qui donne l'intensité du courant dans ce circuit est alors indéterminée, mais, après la suppression d’un facteur commun, elle doit donner is

Toutes les résistances qui forment le circuit résidu entrent donc au dénominateur dans des termes de même signe; par suite, tous les termes sont de même signe.

On peut remarquer encore que tous les conducteurs aboutissant à un même sommet ne font pas en même temps partie d'un système de fils nécessaires, car si on les supprime tous, sauf un, il est évident que ce dernier fil reste ouvert.

Enfin, il existe une corrélation remarquable entre les éléments de deux fils du réseau. Soient 7, et r: deux fils quelconques, e, ete; les forces électromotrices qu'ils renferment ; les intensités z, et à correspondantes seront déterminées par des équations de la forme

MR NC laidae eau NN

SE DAS A ; Aÿe+ Aîe, +. VAN Fa A FAX

Le numérateur N, s'obtient en remplaçant, dans chacune des combinaisons que renferme À, le facteur + 7, par le second membre de l'équation correspondante. Ce numérateur renferme donc les combinaisons p — 1 à p — 1 des résistances qui laissent un circuit fermé simple dont 7, fait partie.

D'autre part, les termes de N, qui renferment e: proviennent eux-mêmes d'équations dans lesquelles entrait r, et, par suite, de circuits simples dont 7, fait partie.

Le coefficient A! de e; dans la valeur de z, renferme donc uniquement les combinaisons p — 1 à p — 1 de conducteurs qui laissent des circuits simples dont r, et r,; font partie en même temps. Le coefficient A? dans l'expression de & renferme évidemment les mêmes combinaisons.

En outre, ces combinaisons sont respectivement de même signe, Car, dans un circuit restant quelconque, la portion du courant , qui provient de e, est de même signe que la portion du courant à qui provient de e,,; donc A —A;.

Ainsi, lorsqu'un réseau de conducteurs linéaires est complet, l'intensité du courant envoyé dans une branche r,, par la force électromotrice d’une autre branche r», est égale à celle

du courant qui serait envoyé dans le conducteur 7; par la même force électromotrice placée en r1.

En particulier, si Af = À! — 0, le courant dans chacun des conducteurs 7, ou r, est indépendant des forces électromotrices que renferme l’autre. Ces conducteurs, ainsi que les côtés correspondants du réseau, sont dits alors conjugués.

Les états électriques de deux conducteurs conjugués sont indépendants l’un de l’autre; si l'on change, par exemple, la force électromotrice ou la résistance du conducteur 7,, ou même si on le supprime du système, la distribution générale des courants dans le réseau est modifiée, mais le courant dans le conducteur r; ne change pas.

Celle propriété ne s'applique qu'au régime permanent; les variations de courants produites dans les autres branches par les modifications du conducteur r, y provoquent des forces électromotrices d'induction dont la réaction se ferait sentir sur le conducteur conjugué 72.

Nous indiquerons aussi une propriété importante démontrée par M. Thévenin ("). Dans un système quelconque de conducteurs parcourus par des courants permanents, considérons deux points À et À dont les potentiels sont V et V. L'état primiuf nest pas troublé quand on réunit ces deux points par un nouveau conducteur r, renfermant une force électromotrice — E de sens contraire, égale à V — V' en valeur absolue, et le courant reste nul dans ce conducteur r. Désignant par p la résistance totale du système primitif entre les points À et À’, si on introduit maintenant dans le conducteur r une force électromotrice + E, qui annule la précédente, il se produit une nouvelle distribution des courants; mais, en vertu du principe de la superposilion des élats permanents, l'intensité du courant qui parcourt le conducteur r est déterminée par l'équation

Les deux points À et A’ du système primitif se comportent

donc, à l’égard d'un conducteur nouveau par lequel on les

réunit, comme un conducteur unique de résistance p, égale

(1) Taévenin, C. R. de l’Acad. des Sciences, t. XCVII, p. 159; 1883.

à celle qui existait d'abord entre eux, et renfermant une force électromotrice égale à la différence de potentiel de ces deux points dans l’état primitif.

Cette relation pourra être utilisée pour déterminer, soit la résistance qui existe entre deux points, soit la différence de leurs potentiels.

613. Équations du pont. — L'appareil est une combinaison de six conducteurs qu'on peut se représenter comme les quatre côtés et les deux diagonales d’un quadrilatère. La forme primitive Poe par Wheatstone, où les résistances à comparer ia, 20h Abo 180) aboutissaient aux quatre sommets d'un ÉREne lui a fait souvent donner le nom de parallélogramme des résistances. L'une des diagonales AEB, de résistance R, contient la pile; le galvanomètre est intercalé sur l'autre diagonale CD, de résistance r, qui est à proprement parler le pont du parallélogramme.

On peut remarquer encore que les six conducteurs présentent les mêmes relations de position que les six arêtes d’une pyramide triangulaire (fig. 181), puisque chacun d'eux est ad-

Fig. 180. Fig. 181.

jacent à quatre autres et opposé au sixième.

Deux côtés opposés R et r sont conjugués, c'est-à-dire que le courant dans l’un est indépendant des forces électromotrices que renferme l’autre, si les quatre côtés adjacents satisfont à la relation ab = ba’ (156). En outre, si les deux couples de côtés opposés, R et r, a et b', sont respectivement conjugués, les deux autres le sont également, car la condition précédente, jointe à Rr — ba’, donne aussi R7 = ab.

On peut supposer, dans le cas général, que tous les côtés renferment des forces électromotrices E, e, E,, E,, E, et Ey, les courants respectifs étant I, #, a, «, 6 et f.

Les quatre sommets fourniront trois équations distinctes, et les circuits fermés trois autres équations, c'est-à-dire que le nombre des conducteurs nécessaires est égal à trois. On aura ainsi

1 de Di es

(3) Po AE Re a & — E,+e ne Es, bB— VE — ri Ey—Ey—e,

ei RME EMA De ne

Ces équations s'appliquent aussi au régime variable, si les forces électromotrices comprennent les effets d'induction.

Quand il s’agit du régime permanent, il suffit de considérer le cas d’une seule force électromotrice; en vertu du principe de la superposition des états permanents, on obtiendra ensuite le courant dans un côté quelconque par la simple addition des courants relatifs à chacune des forces électromotrices.

Les remarques générales relatives aux propriétés d'un réseau complet permettent de trouver immédiatement le dénominateur commun de ces équations (3). Les six résistances donnent o combinaisons 5 à 3, mais, comme on doit en retrancher les quatre combinaisons de trois conducteurs aboutissant à un même sommet, il ne reste que 16 termes au dénominateur, et on peut l'écrire

A=Rr(a+a+b+b)+R(a+a)(b+b)+r(a+b)(a +0)

I I I I + ax bb | D +3) HS d DIRE A=Rr(a+a+b+b)+ab(R+r+b+a)+ab(R+r+b+a) + R(ab + a b')+r(aa + bb").

La seconde forme montre que ce dénominateur est composé de Ia même manière en fonction des six résistances, les quatre derniers termes étant les produits des trois côtés de chaque face de Ia pyramide.

Les numérateurs s’en déduisent directement par la règle connue. 91 la force électromotrice E existe seule, on a alors, en posant

Appelant p la résistance de l’ensemble du réseau a, b, a’, b' et r, compris entre les points À et B, il en résulte

E D du À RS À SANUCE CRD CURE RR CEE,

r(a+b)(a +b)+ab(a +b)+ab(a+b) r(a+a+b+<b)+{(a+a)(b +0)

Quand la diagonale r est ouverte, ou r — æ, cette expression se réduit à la valeur évidente

PR EE) Cod a Dé

Il en est de même lorsque le pont est équilibré, les diagonales r et R étant conjuguées, car alors le courant z est nul et la résistance r n'intervient pas dans les équations.

Lorsque le pont est équilibré, on péut éliminer l’une des résistances 0’ par la relation ab'— ba. En indiquant par l'indice zéro les valeurs qui correspondent à l'équilibre du pont,

et posant, pour abréger,

il en résulte

+ D MN Dé RM LAN RE ESS a rie 7, a ia.

| IE N ? ty —= 0; (9) : a, N L Go Po N° y —= Po — N°

Supposons maintenant qu'il existe des forces électromotrices dans toutes les branches, mais que les diagonales R et restent conjuguées; on peut poser

P=(a+a)E+a(Es+ Es) +a(Ex+ Es), Q =. ar(E LA Ex + Es ET Er).

Les équations (3), ou Ia somme des équations analogues à (4) relatives à toutes les forces électromotrices considérées séparément, équations que l’on peut écrire directement par analogie, donnent alors

LES : D(E«— Bete)— a(E;—Er—e) à M CRU b(Ea — Ee+e TR CE (6) da BRENT", (Ep a+a N a+a )M M 6h a(E, —Ey+e) PE Ge ON ER Ne NI d'LTNEERNE Q a(Ey — Ey —e) Tan NRA. oRan

: On voit que les intensités I et :, comme on devait le pré-

voir, sünt respectivement indépendantes des forces électromotrices et des résistances du côté conjugué.

614. Effets d'induction. — Lorsque la force électromotrice E existe seule, mais que le régime permanent n'est pas établi, on doit tenir compte des forces électromotrices d'induction. S1 les inductions mutuelles sont négligeables, ces forces électromotrices ne dépendent que de l'induction propre de chaque branche. Désignant par Le, L,….. les coefficients de selfinduction, on a (374)

Dans le pont r, qui renferme le galvanomètre et dont / désigne le coefficient de self-induction, le courant est

dé 1 A6 da dx di Mi «(2 a ÆJnT a) S (LA PE NL a) ne nie

Lorsque la durée de variation du courant principal est très courte relativement à la période d'oscillation de l'aiguille, l'impulsion est proportionnelle à l'intégrale de dt.

Chacun des termes de cette intégrale qui ne dépend pas de : est proportionnel à la différence > — 41, : — £,, des intensités initiale et finale; ces termes disparaissent dans le cas où les courants sont les mêmes aux deux limites.

Il'en serait ainsi, en particulier, pour les termes relatifs à toutes les branches du réseau si, au lieu d'une force électromotrice constante E, on introduisait dans la branche R une force électromotrice instantanée d'induction; la condition d'équilibre du pont étant réalisée, l'aiguille reste immobile dans tous les cas, puisque l'intensité z du courant dans le pont est nulle aux deux limites.

Quand on introduit dans la branche R une force électrowuotrice constante E, les diagonales étant toujours conju-

suées, tous les courants sont d’abord nuls au moment de la fermeture du circuit et prennent finalement, d'après les équalions (5), les valeurs

La décharge dans le galvanomètre est

RS Aa TROT LR ETS D AAREL.

ou, en tenant compte de la relation ab = ba,

LE de FAURS aba 4; 129. LE LR 1 fit Ce n) =) (+ ol La rupture du circuit produit le même effet, mais en sens

contraire. Dans les deux cas, l'aiguille restera donc immobile pour la condition