zF„-f-F

Considérons le potentiel intérieur V de la couche et les surfaces de niveau 2 auxquelles la force F' est normale, et supposons que sur chacune de ces surfaces on place des couches magnétiques égales et de signes contraires dont la densité a' en chaque point soit déterminée par la condition

L'action extérieure de cet ensemble de surfaces est nulle*

Remarquons maintenant que le produit ^dn = — — rfV est

constant entre deux surfaces de niveau. Si donc on associe la couche négative de la surface S, où le potentiel est V, avec la couche positive de la surface suivante S' au potentiel V'-t-rfV, on constitue un feuillet dont la puissance magnétique c'dn est constante. Un courant de même intensité qui suivrait sur la surface la courbe déterminée par Tintersectioa du feuillet aurait donc la même action à l'extérieur; on ferait de même

548 ÉLECTROMAGNÉTISMB.

pour tous les autres feuillets. Mais, en constituant ce feuillet, on a laissé une couronne négative correspondant à la différence 2 — S' des deux surfaces, et la somme des actions extérieures de ces couronnes est égale et de signe contraire à celle des courants superficiels. Si on appelle r/S et ^S deux éléments correspondants de cette couronne et de la surface de Taimant déterminés par un tube de force, on a

ce qui donne

La quantité de magnétisme renfermée dans Télémcnt dH est donc la même que celle que contiendrait l'élément dS avec

une densité égale à — -r^.

Il en résulte que Faction extérieure de tous les courants superficiels, définis par les feuillets qui précèdent, équivaut à celle d'une couche de masse totale nulle dont la densité en

chaque point serait + -p.

En prolongeant dans l'intérieur de Taimant, par des surfaces continues, les surfaces de niveau qui correspondent au potentiel extérieur V, on verrait, de même, que Ton peut remplacer par un système de courants superficiels une couche dont la

F densité en chaque point serait -r^^

L'ensemble des deux systèmes de courants est un nouveau système de courants superficiels, ayant la même action extérieure qu'une couche dont la densité serait 7-(F„-+-Fn), c'est-

i-dire la densité v de la couche magnétique qui équivaut à l'aimant proposé.

On peut donc remplacer l'action extérieure d'un aimant quelconque par celle d'un système de courants superficiels ; mais réquivalence n'existerait'plus pour les points intérieurs.

Il est possible, au contraire, d'obtenir une représentation exacte de tous les effets magnétiques, tant intérieurs qu'extérieurs, en remplaçant les filets magnétiques, dans lesquels un aimant quelconque peut être décomposé (aia), par les solénoïdes électromagnétiques correspondants.

Ampère admet que ces solénoïdes élémentaires sont formés par des courants réels qui circulent à l'intérieur des molécules; ces courants ne passent jamais d'une molécule à une autre, et ils préexistent à l'aimantation (425) qui a seulement pour effet de les orienter.

Dans cette hypothèse, un aimant n'est plus une substance i continue, mais un ensemble de molécules distinctes, donnant

lieu à une distribution très complexe de la force magnétique I et du potentiel. Mais il en résulte une simplification notable, j car la force et l'induction magnétique sont alors définis de la 1 même manière, et la force satisfait à l'équation de Laplace, : aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur des aimants. I L'hypothèse d'Ampère soulève cependant une difficulté

j capitale, car on ne conçoit pas que des courants puissent exister d'une manière permanente sans dégagement de cha- I leur et, par suite, sans une dépense continue d'énergie. Mais, ! si on localise les courants dans les molécules elles-mêmes, 1 dont la constitution est inconnue, il n'est pas impossible d'admettre que la résistance soit nulle et que les courants persistent sous une forme qui n'est pas abordable par l'expérience. Cette conception n'implique donc par elle-même aucune contradiction.

499. AtmantattoB par les couramto. — L'aimantation par les courants a été découverte par Arago en 1820. Arago avait constaté qu'un fil de cuivre parcouru par un courant attire la limaille de fer ; chaque parcelle de limaille devenant un petit aimant se place perpendiculairement au fil, le pôle nord à gauche du courant, comme dans l'expérience d'Œrsted. Ampère fit remarquer qu'on peut augmenter beaucoup l'action du courant sur un barreau de fer doux ou d'acier en enroulant le fil en hélice autour du barreau; on obtient ainsi, avec le fer doux en particulier, des aimants temporaires auxquels on a donné le nom d' électro-aimants.

550 ÉLECni01AG5ÉnSXe.

Les électro-aiinants peuTenl acquérir uoe puissance beaucoup plus grande que celle des meilleurs barreaui d*acier: mais leur caractère principal est de pouvoir, lorsque le fer qui les constitue est très deui, gagner ou perdre presque instantanément leurs propriétés magnétiques. Enfin ils présen* tent cette propriété curieuse qu*en modîGant d'une manière convenable Tenroulement du fil sur le novau de fer doui, on peut y distribuer le magnétisme à volonté et obtenir dans la longueur du barreau un nombre quelconque de pôles ou de points conséquents.

Le calcul des eiTefs des électro-aimants est en général très difficile, lors même que les courants qui entourent le morceau de fer doux sont équidistants et parallèles entre eux. Dans ce cas, le système de courants développe un champ intérieur dont rintensité est définie par Tinduction d'un aimant uniforme terminé à la même surface ; le noyau de fer doux placé dans ce champ prend en chaque point une aimantation qui dépend de Tintensifé du champ et aussi du magnétisme développé par Tinduction sur le corps lui-même. L'aimantation ne peut donc être uniforme que dans les cas particuliers que nous avons examinés (ass) Quant à l'action extérieure, elle est la T résulfantede celle du svstème de courants, ou de l'aimant uniforme équivalent^ et de celle du noyau de fer doux.

500. Exempien. — Pour une Sphère entourée de courants parallèles et équidistants, Tintensilé du champ z produit par •

les courants (197) a pour valeur^::// J.

L'intensité d'aimantation est alors (385)

4wpLH-2^ pL-f-2

et rinduction

3pi %rj^

^ Pl4-2^ Ijl-I-2 •

Si la sphère est placée dans une bobine cylindrique assez '

longue pour que Teffet des extrémités puisse être considéré / comme négligeable, elle prendra aussi une aimantation uni-

forme.

Il en serait de même pour un ellipsoïde et aussi très approximativement pour un cylindre dont Taxe coïnciderait avec celui de la bobine.

ftoi. — Dans le cas d'une bobine cylindrique de grande longueur (495) Tintensitc du champ intérieur est 4^/1^1 ; Tintensilé d'aimantation d'un long cylindre parallèle au champ aurait pour valeur k^ (292) ou i^:kn^l, et l'induction intérieure F^ serait 4^^?» ou lôi^kn^l.

Si S est la section du barreau, le flux d'induction magnétique qui le traverse est

et le flux total, en y comprenant l'induction irM^lS du courant, a pour valeur

Q = 4tji^ ( I 4- izk) IS.

Cette quantité est accessible à l'expérience et on pourra en déduire le coefflcient d'aimantation k.

ft02. — La détermination de ce coefficient est encore plus exacte avec un morceau de fer doux, avant la forme d'un tore qu'on entoure de courants équidistants (49e). Dans ce cas, l'intensité du champ produit par les courants est en chaque

. point ^ . Cette force étant la seule efficace, l'intensité d'ai-

f mantation au point considéré a pour valeur

L'induction est égale à 4^^<p, <le sorte que le flux total d'induction à travers la section S du fer doux, en comprenant encore celui qui provient des courants, est

su ÉL£CTl'>lAG5tn5I£.

Si le fer doux ne remplit pas la totalité de l'espace limité pmr \

les courants, mais seulement une partie S de la section S, le |

flux total d'induction qui traTerse la surface des courants est !

L'anneau de fer pourrait, de même, avoir une section rectangulaire de hauteur b\ d'épaisseur '2a et de rayon moyen R' ; le flux total d'induction serait alors

Q=4z/i^I A/.g-^4-4-AA7.g73j/ •

Nous verrons plus loin (559) l'usage que Ton peut faire de ces difl*crentes formules.

50a. — Mesure des eonrmntu, — CalTanoBtètree. — On évalue habituellement Tintensité des courants par les actions électromagnétiques ou électrodynamiques qu'ils exercent, et on appelle l'instrument qui sert à cette mesure galvanomètre ou éleclrodz/namomètre, suivant qu'il repose sur Tune ou sur l'autre des deux actions.

Un galvanomètre se compose d'une aiguille aimantée, ou d'un système magnétique quelconque, sur lequel on fait agir

Supposons, par exemple, que la section du fer soit un . cercle de rayon a concentrique à la section circulaire d*un 1 tore ; le flux total d'induction dans le tore sera 2

Q =4^:^11,1 Fr-VR^-û^-t 4::A\R-\ R*-û*;].

Si la section de la bobine était un rectangle de hauteur b parallèlement à l'axe de révolution et d'épaisseur ^a, le rayon moyen étant R, on aurait

un conducteur traversé par le courant; on évalue Te ff et produit à Taide d'une force antagoniste, telle que la torsion d'un fil métallique ou d'une suspension bifilaire, ou par l'action d'un champ magnétique extérieur.

Considérons seulement le cas d'une aiguille horizontale suspendue à un fil sans torsion appréciable, et placée au centre d'un cadre sur lequel on a enroulé un fil conducteur qui forme une série de spires parallèles.

Si les spires sont parallèles au méridien magnétique, et qu'on les fasse traverser par un courant, elles produiront un champ magnétique dont l'intensité au milieu sera proportionnelle à l'intensité du courant et pourra être représentée par gl. La composante horizontale du champ terrestre en ce point étant H, la composante horizontale du champ est

^g^l^ 4- H^ et sa direction fait avec le méridien magnétique

un angle 8 dont la tangente est égale à ^ *

Une aiguille aimantée infiniment petite placée en ce point, et qui était d'abord en équilibre dans le plan du cadre, sera donc déviée de l'angle î, et on pourra en déduire l'intensité du courant par l'expression

1= — langB.

La formule n'est rigoureuse que si le champ magnétique du courant est uniforme dans tout l'espace qu'occupe l'aiguille. Lorsque l'aiguille a une longueur notable par rapport aux dimensions du cadre, l'intensité du champ n'est généralement pas constante, et la déviation est donnée par une formule moins simple. On pourra alors, par une graduation empirique, déterminer la relation qui existe entre l'intensité du courant et la déviation produite.

Le moment magnétique de l'aiguille n'a aucune influence sur la position d'équilibre; il n'a d'autre effet que de modifier l'intensité des forces et, par suite, la durée des oscillations de l'aiguille

554 ÉLECTROMAGNÉTISME.

Si Ton veut augmenter la sensibilité du galvanomètre, ;

c'est-à-dire la déviation c pour un courant donné, il faut * 1

augmenter la valeur de g et diminuer, s'il est possible, celle |

de H. On augmente la valeur de g en multipliant les spires \

du cadre^ suivant la méthode de Schweigger, et en les plaçant { aussi près que possible de Taiguille. Pour diminuer H, on

peut placer à une certaine distance un aimant qui produise au <

centre du cadre un champ magnétique parallèle et de sens ^

contraire à celui de la terre. -

Souvent aussi on a recours à un système de deux aiguilles quasi-astatique (299), dont Tune est située au centre du cadre et l'autre à l'extérieur : l'action de la terre sur le svstème mobile est beaucoup plus faible, sans que l'action du courant, ^ qui s'exerce surtout sur l'aiguille intérieure, soit sensiblement ? modifiée. On peut encore employer deux cadres, chacun f d'eux ayant une des aiguilles en son centre, et y faire passer \ le courant en sens contraires, de manière que les actions exercées sur les deux aiguilles soient concordantes.

504. BouMoie des t«Bir«iites. — Si l'on vcut déterminer l'intensité d'un courant en valeur absolue, il faut, outre* la composante H du champ terrestre, connaître aussi la constante g du galvanomètre. On donne en particulier le nom de boussole des tangentes à un galvanomètre dont le fil a été enroulé de manière que ce coefficient puisse être calculé ^ d'après les dimensions du fil et la forme du cadre. j

Si le cadre porte un fil de longueur L enroulé sur un cercle ?

de rayon a de manière à faire n tours, et que l'aiguille sup- J

posée infiniment petite soit placée en un point de l'axe à une f

distance u de la circonférence, on aura (493] l

VLTza^ ha J^Trn^ fà\^

ce qui donne

La distance u devient égale a a loi^que l'aiguille est située [ au centre du cercle. i

Si Ton veut tenir compte de la longueur de l'aiguille, il faut évaluer, par les formules du n* aes, Tintensilé du champ en dehors de Taxe des courants.

La formule de la boussole des tangentes serait rigoureuse

et indépendante de la longueur de Taiguille, si le champ du

. courant était uniforme. C'est ce qui aurait lieu, par exemple,

avec une bobine cylindrique (495) ou une bobine sphérique

{^97) à courants équidistants. En appelant n^ le nombre des

• spires par unité de longueur, on a ^=: 4^^//^ dans le premier

cas, et dans le second g^= 3 x/i^.

fto«. Éirctrodynamoiii^trcs. — Dans un éleclrodvnamomètre on évalue directement l'action exercée entre deux circuits, l'un fixe et l'autre mobile, traversés par le même courant ou par deux courants différents. Supposons, par exemple, que l'aimant d'une boussole des tangentes soit remplacé par une petite bobine, où un courant pourra être amené par une suspension bifilaire, et qui est en équilibre quand Taxe de la bobine est dans le méridien magnétique. Si l'on fait passer un courant I dans le cadre de la boussole et un courant i dans la bobine, celle-ci est déviée et par une torsion convenable a de la suspension on la ramené dans sa position primitive.

Le moment magnétique de la bobine mobile est proportionnel à i et peut être représenté par li; le couple produit par l'action du cadre est alors glil. Comme le couple de torsion du bifilaire est proportionnel au sinus de l'angle, on aura, en désignant par T le moment du couple qui correspond

TU

à un angle de torsion égale à -»

glil=zTs\noi.

' Si les deux fils sont parcourus par le même courant I, cette expression devient

,3 Tsina

On pourra donc évaluer la valeur absolue de l'intensité du

536 ÉLEGTROMAGNÉTISXB.

couranl si Ton coonail les constantes T, / etg^ ou bien laisser* ces constantes indéterininccs et se servir de Tappareil comme d'un instrument de comparaison. Tel est le principe des expériences de Weber.

Si l'on suppose que le courant parcourt deux cadres rectangulaires parallèles (^98), comme dans les expériences de Cazin, Tintensilc pourra se déduire de Faction, attractiTe ou répulsive, qui s'exerce entre les deux circuits.

6oe. MMure 4e« décharges. — Lorsque la duréc du courant . est assez courte pour que Taiguille n'ait pas eu le temps de subir un déplacement appréciable avant la cessation du courant, elle a reçu cependant une impulsion et acquis une certaine vitesse ; elle est projetée hors de sa position d'équilibre et y revient ensuite par une série d'oscillations. C'est le cas, par exemple, de la décharge d'un condensateur par un fil conducteur qui renferme un galvanomètre; la quantité totale d'éleclricilé qui s'écoule peut se déduire de Tangle d'impulsion imprimé à l'aiguille.

L'intensité d'un courant permanent dans le galvanomètre considéré serait donnée par une expression de la forme

dans laquelle f{l) se réduit à l'angle c quand les déviations sont très petites. Si Ton appelle [l le moment magnétique de l'aiguille, l'action du courant sur l'aiguille produit un couple dont le moment est [Lgl.

On sait, d'autre part, que lorsqu'un corps est mobile autour d'un axe, le produit du moment d'inertie R par l'accélération

angulaire -y- est égal au moment du couple résultant par rapport à l'axe de rotation. On a donc pour Taiguille considérée, * puisque la déviation pendant la décharge est assez petite pour que l'action de la terre soit négligeable,

Si l'on appelle dm la quantité d'électricité qui s'écoule pendant le temps dt^ cette équation devient

diù dm

On en déduit, en appelant o)^ la \itesse angulaire initiale et m la décharge totale,

L'aiguille, une fois lancée avec cette vitesse w^ possède une

force vive égale à — - et elle s'arrête sous un angle ô, lors-

qu'elle a effectué contre Faction du champ terrestre un travail ayant la même valeur. On a donc

= H[ji.(i — cosô) = 2H[ji.sin*-,

ou

pL^m^=4HKsin»-,

m=:-\/ 2sm-.

Si les déviations sont assez petites, on peut prendre simplement

4v/"f'=IV#.-

On voit que Tangle d'impulsion est proportionnel à la quanti tité d'électricité qui s'écoule pendant la décharge, et cette loi \ de proportionnalité suffira pour toutes les expériences de comparaison.

Si l'on veut déterminer m en valeur absolue, il faut connaître la constante g du galvanomètre et les quantités qui entrent sous le radical.

S58 ÉLECTROM AGNÉ riSME.

Remarquons que si Taiguille est abandonnée à elle-même sous rinfluence du magnétisme terreslre, la durée t des oscil-* lations infiniment pelites est

^"Vh;;

H[JL

Il en résulte

En réalité, Tangle réel d'impulsion est diminué par la , résistance du milieu et par les courants d'induction que le mouvement de Taiguille produit dans le fil ; mais, si les oscillations ne diminuent pas très rapidement, on tiendra compte ; de cet effet en ajoutant à Tangle le quart de Texccs de l cette déviation sur la déviation ô' produite du même côté parf Toscillation suivante. On aura finalement