Fenlllets eondnetevri. — Le problème SOulevé par
Texpérience d'Arago est celui de Tinduciion dans un conducteur à deux dimensions. Maxwell a résolu ce problème d'une manière très élégante, en employant une méthode analogue à celle des images électriques.
Consiaerons un conducteur homogène infiniment mince, qu'on pourra supposer réduit à une surface, et dans lequel existent, pour une cause quelconque, des courants qui ne sont point amenés de Textérieur par des électrodes. Ces courants sont nécessairement fermés sur eux-mêmes, et les lignes de courant ne peuvent se couper entre elles. L'espace annulaire compris entre deux lignes de courant infiniment voisines peut être considéré comme un conducteur linéaire parcouru par un courant d'intensité rf*. Ce courant peut être remplacé par un feuillet de même puissance et de même contour.
Si Ton décompose ainsi la surface du conducteur en bander' infiniment minces par des lignes de courant, on voit que, pour: un point extérieur, Tensemble des courants sera équivalent un feuill'ît complexe ;333), dont la puissance magnétique ^ en chaque point est égale à la somme de celles des feuillets superposés. Sur la face positive du feuillet, les courants tournent en sens inverse des aiguilles d'une montre autour des régions où la valeur de * est maximum. Cette valeur est d'ailleurs nulle sur le contour, si la lame est limitée.
Le long d'une ligne de courant, la valeur de * est constante ; les lignes de courant sont les lignes de niveau de la fonction *. Un élément dn d'une orthogonale n aux lignes de courant est
coupé normalement par un courant d'intensité --r-dn, dirigé
à droite d'un observateur qui, en suivant cette ligne, marcherait vers les points oiila fonction* est croissante. Enfin un élément ds d'une courbe quelconque est coupé par un courant
d'intensité -r-ids^ mais qui n'est plus normal.
Le potentiel magnétique du feuillet à l'extérieur a pour expression
Cr**.^ ton^jU^u lirï'Nîf^onlinije quand on Iravrr^f- U surface : 1^ d^r'it Tîl^ur- V^ #rl V^ qu'elle prend de firt et •l'autre du f^jjl'el, *'jr h f'Uce fKr-ilîve el sur la face nr^athe 330 . sont li^^f (.4r la rel'jlion
I>a ornfio^nle de la force magnétique normale â la surfaci.e*l continue, car elle représente, de part eld'aulri?.le llux d'induction magnétique par unité de surface. Il en trst de même [>our la compo«ante tangentielle suivant une ligne de courant,
^^ puiv]u*on a alors — — o.
Au contraire, la composante tangenlielle suivant uneortho- (ronale aux lignes de courant est discontinue, et on a, de par! et d'autre de la surface,
dn ^n " lin
La valeur de V peut être exprimée aussi (aeo* en fonction du potentiel (J d*une couche qui recouvrirait la même surface et dont la densité serait égale, en chaque point, à la puis- «ance 'I' du feuillet.
B7B. CMii*aii feaiiictpUa. — Considérons, en particulier, une lame conductrice plane, située dans le plan des xj^ et HU|)posons que la face positive des courants soit à la partie supérieure; le |)0t(*ntiel du feuillet magnétique correspondant, en un point dont les coordonnées sonta',^^ et z^ a pour ex|)ression (aes)
La fonction Q, qui représente le potentiel d'une couche dont la densité serait en chaque point égale à la puissance magnétique du feuillet, est symétrique par rapport au plan desxj et ne change pas quand on remplace z par —5. La fonction V, au contraire, change de signe avec z, et sa valeur absolue est
la même en deux points symétriques par rapport au feuillet. On a donc, pour les points correspondants de la face positive et de la face négative,
Les composantes X et Y de la force magnétique parallèles aux axes sur la face positive, et les valeurs de ces composantes X' et Y' sur la face négative, sont données par les équations
57e. — Examinons maintenant les courants dans la lame. La composante u du courant parallèle à Taxe des x, qui coupe une longueur égale à l'unité parallèle à Taxe des j> , est
et la composante v du courant parallèle à Taxe des j
Si on appelle or la résistance de la lame par unité de surface, la chute de potentiel électrique, pour une longueur égale à Tunité, sera eu parallèlement à Taxe desx, et cv parallèlement à Taxe des j; cette chute de potentiel n'est autre chose que la force éleclromotrice suivant les mêmes directions. On a donc, en vertu des expressions trouvées plus haut (ses) dans le cas d'un champ variable avec le temps,
63Î ÉLECTROMAGNÉTISME.
Pour la face positive, les équations (2) donnent
il en résulte
Les équations générales (se?) qui lient les composantes de la force électromotrice totale d'induction avec le potentiel magnétique donnent, dans le cas actuel,
^z "dy ^.r ^x'^z
^x ^z î)r '^JK^^
Ces équations sont satisfaites en posant
577. — S'il existe en même temps un système extérieur d'aimants ou de courants, on sait (tos) que son action sur une surface qui l'entoure est équivalente à celle d'un ensemble convenable de courants superficiels. Le potentiel magnétique de ce système, à la surface positive du feuillet que nous considérons, pourra donc être exprimé par une fonction Q' analogue à la fonction Q ; on aura alors
ce qui donne
^- Vz — '
Dr ' iix
Les équations (4) deviennent, en posant — r=R,
^ 3*0 ^ nO+Q') ^
En intégrant la première par rapport à j^, ou la seconde par rapport à x, on obtient
On devrait ajouter, pour l'intégration complète, une fonction arbitraire de f, mais il faut remarquer que cette fonction disparaîtra toutes les fois que Ton prendra une dérivée partielle par rapport kx ou àj pour calculer les composantes du courant ; il n'y a donc pas à en tenir compte.
578. — Supposons d'abord qu'il n'y ait pas de corps magnétique extérieur, c'est-à-dire que Q' soit nul. Ce serait le cas d'un système de courants établis dans le feuillet et abandonnés à eux-mêmes; ces courants agiraient l'un sur l'autre par leur induction mutuelle et perdraient rapidement leur énergie par l'effet de la résistance du conducteur. L'équation
donne alors
Par suite, la valeur de la fonction Q, à l'époque t, en un point situé à la distance z du plan, du côté de la face positive, et dont les coordonnées sont x^j et z, est la même que pour l'époque « = o au point a:,j' et z-f-Rf.
11 en résulte que si un système de courants a été établi dans un plan indéfini et uniforme, et ensuite abandonné à luimême, l'effet magnétique de ces courants sur un point situé
du cJAft à*: la face posi'ive est le m^me que 51 1»^ [ lia se 'l^j.laçiit panllrrlement à liii-même siÛTant la norm::!'. et «lu côlè n#;aalif, avrrc la >ile5«e confiante R. La *iiminiili'>n «îe force éleclromolrice due a l'affaiblissement des coiiranîs est e\achrment r^rprésentêe par la diminution du champ niri::neti>|ue qui H'Sulle en chaque point de ce mouTcment ima:2iniire.
a79. iBiac««»«CB^ti4«M. — L'intégrale de l'equaiion ri pir rapporta adonne, pour les points situés à la surface du feuillet.
Si nous supposons que. O et Q' étant d'abonl nuls, le système extérieur soit créé subitement du côté positif de manière (|ue le potentiel 1"' 1"' correspond passe brusquement ileoà 0\ on aura alors au début et pour la surface du feuillet, puisque rintépjrale est nulle.
Ain.si, pour tous les points de la lame et. par suite, pour tous les peints situés du côté de la face néiiative. le système initial des courants produit un effet égal et de signe contraire à celui du système réel placé du côté positif. Leur effet est donc le Hiéiue <\\iii celui d*un système magnétique identique et de signe contraire au système réel, et qui coïnciderait avec lui.
l*our les points situés du côté positif, l'effet des courants est le même que celui d'un système de même signe que le système uiA et qui lui serait symétrique par rapport au plan conducteur; nous rappellerons \ image positive du système.
L'action des courants de chaque côté du feuillet peut donc être considérée comme produite par une iwage du système magnétique, positive ou négative, c'est-à-dire de même signe que le systimc ou de signe contraire, suivant que le point considéré est du côté positif ou négatif du feuillet.
Si la conductibilité du feuillet était infinie, on aurait R = o; le second membre de Téquation (8) serait toujours nul et la condition Q = — Q' serait satisfaite à tout instant. La lame serait
INDCCTIOÎI DANS LES CONDrCTKCRS NON LINÉAIRES. ^35
un écran absolu (ses) pour lous les points situés du côté négatif. Les courants seraient permanents et leur effet représenté à chaque instant pour tous les points de l'espace par celui de l'une ou de l'autre des deux images immobiles.
Dans un feuillet réel, la résistance R a une valeur finie. Les courants produits par l'introduction brusque d'un système magnétique commencent immédiatement à décroître et leur effets de part et d'autre, est à chaque instant représenté par celui des deux images du système qui s'éloigneraient normalement du feuillet de part et d*autre avec la YÎtesse R.
•80. iBdvetUs 4*«B systèBie aiaipiéti^ve ai^Mle. — Le principe des images permet de déterminer les courants induits par les variations d'un système magnétique quelconque M situe du côté positif du feuillet. ^
La fonction Q', qui détermine l'action magnétique, yariera
de ^-^dt pendant que le svstème lui-même variera de ^ di.
On peut considérer celte dernière variation comme étant ellemême un système magnétique, et supposer qu'à Tinstant t il s*est formé brusquement, du côté négatif du feuillet, une
image positive de— r/^, qui s'éloigne ensuite normalement
et
avec une vitesse constante R. Si le svstème varie d'une manière continue, on imaginera que les différentes images des variations, relatives aux différents intervalles de temps, se meuvent suivant la même loi, dès qu'elles sont formées, et constituent ainsi des traînées continues d'images.
581. — Supposons, par exemple, qu'un pôle positif -f- m se meuve en ligne droite avec une vitesse constante w, parallèlement au feuillet, et admettons que ce pôle ait été créé brusquement au point A (Gg. 120), ce qui donne naissance è une image -+-m au point symétrique B. Au bout d'un temps infiniment petit It, le pôle vient en A' (fig. 121) à la distance ult: c'est comme si l'on introduisait brusquement et simultanément un pôle —m en A et un pôle H- m en A', donnant des images de même signe en B et B' ; mais, à ce moment, la première image -+• m qui se trouvait en B est venue en C à la distance hit, A l'époque 2lt, la masse + m se trouve en A'
ÉLECTROMAGNÉTISME.
(fig. 122): il y a alors deux images égales à — m en C et B' cl trois images positives en B'', C et D ; et ainsi de suite.
Si le mouvement est continu, on voit que Taction que subit le pôle mobile est celle de deux lignes magnétiques, Tune positive et Tautre négative. En désignant par U la résultante \/m^h-R^ des deux vitesses, la densité de ces deux lignes
serait .-y^ et leur distance -jySf ; le produit de la densité par
Ra la distance est donc m j^. Ces deux lignes forment un ruban
indéfini aimanté qui part du point symétrique de la position
Fig. 120
Fig. 121
Fig. 122
actuelle du pôle, est situé dans un plan passant par la trajectoire du pôle, et fait avec le plan du feuillet un angle dont
la tangente est égale à tt.
582. — Si le pôle -\-în^ au lieu de décrire une ligne droite, rsl animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'ui axe perpendiculaire au feuillet, il suffit de supposer que le ruban qui précède forme une hélice sur le cylindre droit qui a pour base la circonférence décrite parle pôle.
Pour un aimant réduit à ses deux pôles cl tournant autour de son centre, les courants induits sont aussi équivalents au système de deux rubans magnétiques enroulés sur le même cylindre. Enfin, les couranis produits par le déplacement d'un système magnétique quelconque animé d'un mouvement uniforme, sont équivalents à un ensemble de rubans
magnétiques qui correspondenty point par point, aux diiïc rentes masses du système.
583. Calevl 4e Faetlos des eonniHts iadnits. — Pour Calculer Tefiet de ces images, désignons par Q. la valeur du potentiel Q, déterminé par les courants du feuillet, au point dont les coordonnées sont x^j^z-hR-:, et à Tépoque f — t; par Q\ la valeur du potentiel Q\ déterminé par le système magnétique, au point x, 7, — (z -h R t), et à la même époque t—z. Le potentiel Q^ étant une fonction des coordonnées x,jy :: + Rt et de /— t, on a
^^'^ >r ^z Df
L^équation (6) appliquée à cette fonction devient alors
En intégrant cette équation par rapport à t entre les limites T = o et T = 00 , on aura la valeur de la fonction Q pour Tépoque f, ce qui donne
(■»' H. -w'-tJ «■■*■
La fonction Q dont dépend la solution du problème, puisqu'elle permet de calculer en chaque point Faction des courants induits, est ainsi déterminée par la fonction Q^ définie à chaque instant par Tétai et le mouvement du système magnétique extérieur.
584. Cas d'oB p6ie unique. — On peut appliquer ce mode de calcul au cas, considéré plus haut, d'un pôle unique de masse m, qui se meut d'un mouvement recliligne et uniforme en présence d'un plan conducteur indéfini ; mais il est plus simple de traiter le problème directement par la considération des images magnétiques.
Examinons d'abord l'action qu'exerce sur un point A (fig. 1 23)
ÉLECTROMAGNÉTISME.
une ligne homogcne de dcnsilc X située suivant la droite XX'. L'action d'un élément MM' ou ds^ à la distance r du point A,
-est égale â-^. Désignons par^/a Tangle des deux rayons AM
«t AM', et abaissons les deux perpendiculaires MQ sur AM'
Fur. ij3.
€t AP ou h sur XX'. On a, par la similitude des triangles APM el MQM\ la relation
MQAP MM""AM'
ou
rdx^h ds /•
il en résulte
L'action de rélément ds sur le point A est donc égale à celle de rélément NN de la circonférence de rayon h qui aurait la même densité X, ou à celle de Télénient correspondant de la
circonférence du rayon i, où la densité serait j-. Si la ligne
considérée est limitée aux points D et B^, son action est égale à celle de Tare de cercle l>h^. On voit aisément que cette dernière action yest proportionnelle à la longueur de la corde, ce qui donne
/A *.JC SA. 2 = 7^2/iSin-=-j-sin-.
IIH3. — Supposons maintenant qu'un pôle mobile, de
I^DUCTIOM D\N3 LKS COKDOCTEUBS NOM LINËAIHES. 639
masse m,aniinéd'uD mouvemeat rcctiligae et uniforme avec la vitesse u, et ayaot déjà marché depuis un temps infini avant l'époque que l'on envisage, se trouve au point A, à une dis- (ancecdu feuillet conducteur X'X(fig. 124), et provienne d'une
direction A,A telle qu'il n'ait pas encore traversé le feuillet. Soit l'angle de celte direction avec la normale N au feuillet. L'angle x que font avec la normale les traînées magnétiques .B,'B' et B,B, relatives à deus positions successives A' et A du pôle, est déterminé par le triangle BB'C, qui donne
:R*-t-u*+aRucose, usinS
>i— a> -i-iî-r-
.-';- Ti - :
, ^.. il.'.-
-tjjr i:l II* «l" rriKar et îi.i-e
TT -i * •
, ' Rïins. ' , R^ \
llfDOCnOlf DANS LBS C0KDUCTIUR8 NON LINÉAIRES. 541
oa, en négligeant les infiniment petits du second ordre,
i=i(:-^Tc^y
Le triangle ABB' donne aussi
a-aL sin
tilt ic
ou
, usinO^ Usina^ s =a ct = a et.
En substituant ces valeurs de h' et de a dans les expressions des composantes, et négligeant les quantités du second ordre, on obtient
X=-^ïjtang-.
La force elle-même fait avec la surface un angle 3 déterminé par la condition
lang3=— ^=:-^lp- cotg-.
L'action des courants induits s'oppose bien au mouvement du pôle, comme on pouvait le prévoir, mais elle ne lui est pas directement opposée.
Si le mouvement du pôle est normal au feuillet, on 0=0, a= o et U = R 4- u ; il vient alors
L'action est la même que celle d'une masse unique, égale
ÊUdr. HMagn. I — 41
642 ÉLEGTROMAGNÉTISME.
à m n , située à chaque instant au point B symétrique de
la position du pôle, ou d'une masse -j"^ située au pied de
la perpendiculaire abaissée du pôle sur le plan. Si le pôle se déplace parallèlement à la lame, on a
ce qui donne
U*=:Râ4.u>, ianga=^;
m M* w, mu
^=-4?tpTD)' tang3 = K = Canga.
La force est donc perpendiculaire à la direction des traînées magnétiques; elle est la même que s'il existait dans le plan,
sur sa direction, une masse égale à -rinr — ïtt— •
On peut encore imaginer que la force F est produite par un aimant infiniment petit situé dans le plan. En appliquant, par exemple, les formules de Gauss (ift&), on trouve que cet aimant est situé en arrière de la projection du pôle, à une distance X donnée parTéquation
3cR/ / 8u« \
Taimantation étant parallèle au sens du mouvement. Le moment de cet aimant serait d'ailleurs facile à calculer.
La composante X est maximum, pour une valeur donnée de R, lorsque Ton a u=i,27R; ^^'^ ^st nulle pour R=:o et pour R = ao .
La composante Z tend à éloigner le pôle de la lame; elle
croit avec la vitesse et tend vers la valeur —^ quand la vitesse
tend vers l'infini.
•86. — Dans le cas d'un mouvement rectiligne et uniforme
parallèle au plan, on peut encore considérer les phénomènes d'une antre manière.
Le ruban magnétique qui part du point B (6g. ia5) est
formé de deux lignes magnétiques dont la densité est jtt- et la
distance horizontale ult.
Désignons par s la distance M'B d'un point quelconque M' et par x la distance M'K. Pour un élément ds du ruban, le moment magnétique u est
zj' = m -^ ds =^ mds sin a.
Gomme on a x =s sin a, il vient ct'= mdx\
L'action sur le point A de cet aimant infiniment petit placé en M\ à la distance r\ est équivalente à celle d'un aimant infiniment petit de moment u placé en M,jà la distance r, et tel qu'on ait
zj X3 mdx
rj Yy
//Va*
/yk
JL
Fig. 135.
En appelant x et c les distances MO et AO, on a
r X 2c-|-x'cotga
c — j:cotga
Il en résulte
tLBCTBOMAG?IÉTISMe.
ts
m c — j: coiffa ,
On Toit que l'action des courants induits sur le point A est équiTalenfe à celle d'un solénoîde complexe (s29) situé sur le plan, partant du point 0, dans une direction opposée à celle du mouvement, et dont Tintensité d'aimantation en chaque point serait
xs mc— xcotga dx 4 c
On trouverait ainsi, pour les composantes X et Z de la force, les mêmes valeurs que précédemment.
BM. Ezpérimice 4»Aniff«. — Cette méthode peut être généralisée. Supposons que le pôle décrive une circonférence de
Fig. ia6.
rayon a^ en sens contraire du mouvement des aiguilles quand on le regarde de la partie supérieure. L'action des courants induits est celle de deux hélices homogènes de signes contraires, ou d'un ruban hélicoïdal BM' (6g. 126)
IMOOCTIOM Dans les CONDUCTBOIIS mon UNCâIBES. 645
enroulé sur ud cylindre ayant pour axe Taxe de rotation et passant par le pôle. Chaque élément de cette hélice est aimanté suivant une tangente au cylindre menée perpendiculairement à l'axe, et son action sur le pôle équivaut à celle d'un aimant infiniment petit situé en un point M dans le plan conducteur. Le lieu des points M est la courbe perspective de l'hélice Tue du point A. En désignant par p le rayon vecteur MO, par l'angle qu'il fait avec la tangente au point 0, et remarquant que cet angle est la moitié de l'angle 9 des deux plans qui passent par Taxe et par les points B et M', on a, par les triangles AMO et AM'K,
-.,j, aasin- . .
p MK a^ asinO
c~~ AK ~~2C-ha9COlga~'c-ha6cotga*
Cette courbe se compose d'une série de boucles fermées ayant une tangente commune au point 0.
L'arc KM' étant égal à a^ ou aaO, le moment magnétique u de l'élément d'hélice en M' est 2mad^. Le moment magnétique cj de Taimant correspondant en M est donné par la relation
cr ct' ama ,
Remarquant que l'on a
r MU p
r M'K 2a sine'
il en résulte
m p*JO "~"4û^sin*0'
L'aimant gf au point M est parallèle à l'aimantation de rhélice en M' ; il fait donc l'angle avec le rayon vecteur p de la courbe perspective.
Le calcul de la force en A serait très compliqué, mais il est évident que les portions de la courbe qui correspondent à la
fM ÉLBCTROMAGNÉTISME.
première partie BM' de rhélice sont prédominantes. D'après la direction des aimants élémentaires sur la courbe perspectire, on voit que Faction sur le point A aura une composante verticale, une autre directement opposée à la \itesse du pôle, et une troisième dirigée vers le centre de la circonférence qu'il décrit. Le système entier équivaut encore à un petit aimant situé en arrière du point 0, perpendiculaire à un rayon du disque qui fait un certain angle^ du côté opposé au mouvement, avec le rayon qui correspond au pôle, l'aimantation étant dans le sens du mouvement, si le pôle considéré est un pôle nord.
Si le plan était indéfini, cet aimant serait à une distance de Taxe plus grande que celle du pôle; mais TefTet des bords tend à le ramener de plus en plus vers le centre, à mesure que le rayon diminue. On retrouve ainsi toutes les particularités de l'expérience d'Arago, entre autres ce fait que la composante radiale est centripète, tant que le pôle est éloigné des bords, et qu'elle devient centrifuge quand il s'en rapproche.
588. — Si le pôle décrit une courbe quelconque parallèle au plan, on obtiendra de même, par la traînée d'images magnétiques correspondantes, l'aimantation en chaque point de la courbe perspective. L'action sur le point A, dans le cas d'un plan indéfini, aura encore une composante verticale, une autre directement opposée au mouvement et une troisième normale à la trajectoire du pôle et dirigée vers la concavité de la courbe.
