VII. Tout ensemble a Vun de ses dérivés parfait

VIII. Tout ensemble fermé est la somme d\in ensemble dénombrable et d^un ensemble parfait ( ^ ).

Les ensembles fermés sont donc dénombrables ou ont la puissance du continu, suivant que leur dérivé parfait ne contient aucun point, ou en contient; c'est-à-dire suivant qu'ils sont réductibles ou non. Mais un ensemble non fermé peut être non réductible et dénombrable; c'est le cas de Tensemble des valeurs rationnelles.

(^) On remarquera que la démonstration du théorème VIII ne suppose connus, ni la notion, ni même le mot de nombre transfini. Au contraire, dans la démonstration du théorème VII, j'emploie les nombres transfinis.

Pendant la correction des épreuves, j'ai eu connaissance d'une lettre adressée à iM. Borel par M. Ernst Lindelof, et dans laquelle celui-ci indique une démonstration du théorème VTII qui me paraît identique à celle du texte.

FliN.

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