CHAPITRE PREMIER

1. La théorie de l'élasticité a pour objet l'étude des déformations des corps sous l'action des forces. De même qu'en mécanique, nous distinguerons une partie cinématique et une partie dynamique. Nous commencerons par étudier les déformations au point de vue cinématique, c'est-à-dire sans nous occuper des causes qui les produisent.

2. Hypothèses. — Considérons un point M du corps, de coordonnées a;, y, z; après la déformation, il occupe la position M' et ses coordonnées sont: x -{- l, y -\- -r^, z -^ <!i.

Les quantités ç, tj, Z, sont les projections sur les trois axes du vecteur MM' qui représente le déplacement du point M.

Nous les supposerons assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés. C'est ce qui arrive en général pour un milieu indéfini ou un corps dont toutes les dimensions sont finies. Ce n'est pas vrai pour des plaques minces ou des verges

de section faible, c'est-à-dire pour des corps dont une ou deux dimensions sont très petites.

Nous supposerons aussi \, -ri, ^ fonctions continues de X, y, z; si ces fonctions étaient discontinues, il y aurait rupture du corps.

Nousconside'reronsles de'rivées de \, t), C comme des fonctions continues de x, y, z, sans quoi les réactions élastiques seraient très grandes; les forces appliquées au corps, qui leur font équilibre, le seraient également, ce que nous ne supposons pas.

3. Considérons deux points M et M^ dont les coordonnées sont respectivement x^y, z ei x -{- Ix, y -\-ly, z -\~ Zz. Nous les supposerons suffisamment voisins pour qu'on puisse négliger les carrés de ox^ oy, oz.

Après la déformation, ces points viennent en M' et M'^ ; leurs nouvelles coordonnées sont:

X -\- Zx -{- l -{- ùl, y -{- oy -\- ■r\ -^ o-f\, z -}- oz -{-<:;, -\- o'Ç. Développons ^ -{- 8; par la formule de Taylor

les termes non écrits étant négligeables puisqu'on néglige les carrés de Zx, Zy, Zz.

Faisons maintenant :

ÙZ

ÉTUDE CINÉMATIQUE DES DÉl'ORMATIO.NS 3

les coordonnées du point M, sont x — \, y — y,, - — l. Celles de M'^ seront :

s^. y + o'ii ' 4- ûC

et l'on aura

,, ^ f/; dl d\

dx dy dz

■et les égalités analogues donnant oy| et o^.

Les quantités ; et -y^ sont du premier ordre, %\ est donc du

second ordre, et par suite on peut le négliger. La même remarque s'applique à or, et à SÇ.

Donc, si la déformation amène le point (.c, y, z) à coïncider avec le point {x -}- H, // -}- 'i, ^ + C), elle amènera le point [x — \, y — r,, z — C] à coïncider avec le point [x, y, z).

Cette remarque nous sera utile plus loin.

4. Dilatations et glissements. — Supposons que le segment MM, soit parallèle à ox, et soit Ix sa longueur: quel €=t l'allongement que lui fait subir la déformation?

Nous avons:

M'M',^ - [Ix + l\Y + [ly + 8-^)2 + (o^ + SC)^.

Mais ici oy et Zz sont nuls, puisque MM, est parallèle à l'axe des x; d'autre part, Sy) et oC sont du second ordre ('), •5/)^ et 8t^ sont donc du quatrième ordre. En les négligeant

(1) Je dis du secoaJ orJre parce que je considère ox comme un infiniraeut petit du premier ordre de même que % ; mais je ferai remarquer que, ■;omme ces deux quantités sont indépeadantes l'une de l'autre, il n'y a aucune raison pour les regarder comme du même ordre, el que, si je le fais, c'est en vertu d'une convention arbitraire.

4 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

nous avons :

Or oy et hz étant nuls, ol se réduit à — Zx. Donc:

M'M'^ = o.îc 1 -j-

et -7^ est l'accroissement de l'unité de longueur prise parallè-

lement à ox, c'est-à-dire la dilatation linéaire suivant cette

de, direction. Nous poserons — = a^ ; les coefficients de dilatation suivant oy et oz seront de même

dt\ , dt,

dy = '-^ et - = .,.

5. Nous allons étudier la déformation d'un rectangle infiniment petit dont les côtés sont parallèles aux axes ox et oy. Soit MNPQ ce rectangle, nous poserons :

MN = 8a; MP = ly

Après la déformation, MNPQ deviendra un quadrilatère curviligne assimilable à un parallélogramme recliligne M'NP'Q',soitcp la valeur de l'angle P'M'N' D'après ce que nous avons vu dans le paragraphe précédent on a :

dxj

M'N' = S.x;M + MP'=8,(l+'^)

Les coordonnées de Q seront x -{- Zx, y -{- ly, z, donc :

ÂFQ'-^ =-- [Ix + l\i^ + [ly + ^f + 0^.^ ;

puisque 8^ = o ; négligeons oÇ-, qui est du quatrième ordre, et remarquons que l'on a :

^ dx ^ ay ^ c'est-à-dire :

lœ-{-Zl = M'N' + ^ ly.

Nous en conclurons en continuant à ne pas tenir compte des infiniment petits du quatrième ordre :

(Sa; + 8^)2 = M'N'^ -f 2 ^' ly . M'N'. D'autre part :

-j- M P = ~ oy 4- — • — ' 8y. dy dy ^ ^ dy dy "^

On peut donc, à l'ordre d'approximation de nos calculs, remplacer:

ce qui donnera :

-Y<>y par — - MP .

dy -^ ^ dy ■

[Ix -f- 8^)2 := M'N'' + 2^ . M'N' . W?' ; dy

on aura de même :

(8^ + 8-ri)2 = M'P''^ + 2 ^ . M'N' . M'P'.

Donc :

Mais on a aussi :

M'U'^ r^ M'iN'" -f M'P'~ -f 2 ces 9 . M'N' . M'P'.

Il s'ensuit:

ces o = - — h 7 cil/ dx

On voit que ces ^ est infiniment petit, l'angle cp est donc voisin de -•> et en négligeant les termes du de'veloppement

de sin (- — cp j qui suivent le premier, on a :

TT d\ d-i\

'^ "^ '^ dxj~^ dx

L'angle P'M'N',qui était au début égal à -? est devenu aprè&

la déformation

7r / rfç ch\ 2 \dy'^ dx

pour cette raison, la quantité -^ -\- ~ Q.?^i appelée dilatation angulaire.

Nous désignerons les trois dilatations angulaires par S^, P21 p3' c'est-à-dire que nous poserons:

^^ dy^ dz