CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
On voit aussi que l'on pourrait partir des hypercercles comme on est parti des cercles pour considérer des éléments nouveaux remplissant un espace à cinq dimensions; et ainsi de suite.
406. Pour terminer ce paragraphe, envisageons le cas spécial où l'on a Fx* = x\ + x\ + x\ . Les mouvements sont alors définis par une substitution ternaire orthogonale, c'est-à-dire que si
Xi = \nx\ -h Xj-2^2 + X/3^3
est cette substitution, on a
On connaît les propriétés de telles substitutions.
On aura ici
ra.= *»-t-ai-!-ai + aï,
et l'on voit par suite que les substitutions conformes correspondront aux substitutions orthogonales faites sur les (a). De même, si (A) est un hypercercle de rayon nul, on a
Af + Al + A| + A|-^ A? = o,
et les substitutions considérées au numéro précédent sont encore les substitutions orthogonales faites sur les (A); et ainsi de suite.
V. — Les coordonnées circulaires et les séries orientées en général.
407. Les cercles Cp dont les coordonnées vérifient une relation linéaire
« 1 Pi — *- «2p2+ «3^3-H «4 Pi= O
sont tous orthogonaux à un cercle fixe Ca dont les coordonnées (a) sont déterminées par les relations
On peut donc aussi considérer les (a) comme des coordonnées de ce cercle Ga, qui pourra être désigné aussi par Ca. Les lettres latines seront employées toujours pour désigner ces nouvelles coordonnées, tandis que les lettres grecques resteront affectées à la désignation des premières.
On a d'ailleurs, inversement,
aj as ot3 av
Les quantités a,, a», a3 sont les coordonnées du centre de Ca, et
si r-x ou ra est son rayon, on a cos— r- = •
Quand Ca est de rayon nul, on a ra» = o ou bien (a | a) = o, ou encore F«"--t- a\ = o.
On peut effectuer une substitution linéaire générale sur les coordonnées (a), et les coordonnées I x) seront alors transformées par la substitution transposée.
Regardant celle substitution comme définissant non pas une correspondance, mais un changement de coordonnées, on esl amené à envisager des coordonnées plus générales. Toutefois, aucune propriété essentielle nouvelle ne résulterait de cette considération, dont les conséquences deviendront intuitives après l'étude de la Géométrie quaternaire. Aussi nous bornerons-nous aux coordonnées précédemment définies.
'd)8. Une équation de la forme/(at, ",. a3, a4) = o définit une série doublement infinie de cercles; si, parmi ces cercles, nous ne voulons considérer que ceus qui sont de rayon nul, nous adjoindrons à L'équation précédente la relation F a' + a'\ = o . el les centres (a) de ces cercles formeront une série ternaire, dont nous pourrons dire encore que /(«, , a2, «s, as) = o est l'équation en coordonnées circulaires.
L'équation ordinaire de cette série est obtenue en éliminant a entre les deux équations précédentes.
Supposons que / soit une forme quaternaire indécomposable de degré/?; si elle ne contient que les puissances paires de a,, la série ternaire d'équation f= o sera seulement de degré/? et pourra d'ailleurs se décomposer. Si, au contraire, la forme /ne contient pas que les puissances paires de «4, on pourra l'écrire sous la forme g-+-haA} g et h étant des formes ternaires en at, a2, #:i des degrés p el p — i, en se servant de la seconde équation. L'équation ordinaire de la série f sera donc g2-\- /i2Fa»= o, et celte série sera de degré 2/?, peut-être décomposable d'ailleurs.
