CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE. 5oi

déterminés par une nouvelle relation; ces cercles comprennent trois foyers proprement dits.

La relation qui détermine les rayons de ces cercles sera

gr4 X l — 2 r3 X3 X4 — — ( r3 lt — g2 X3 )» = o.

De telles séries pourront d'ailleurs encore avoir un élément double ou cuspidal.

455. Si la série / se compose d'une série cubique et de (g), son équation peut s'écrire

en choisissant convenablement les coordonnées.

Les cycles bitangents à /sont déterminés par les équations

X§ aX2Xi X?

(p — ?»)(p — ça) piip — qz) p\

li , h r i X; El x = o •

p'i Piip — q-i) ?{?—qî)(? — qz) 3 p(p — q%) 4

les propriétés générales subsistent; mais ici les séries (D/) sont paraboliques, ayant d'ailleurs pour foyer commun le foyer singulier de /; les centres des cercles principaux appartiennent à f, et les éléments tangents à f correspondants contiennent l'élément de/', autre que les éléments de l'absolu, appartenant à {g). Les cas particuliers se discutent sans peine.

456. Ce que nous venons de dire sur les séries orientées du second degré de seconde espèce nous fait connaître les rapports mutuels qui existent entre les systèmes de séries quadratiques doublement tangentes à une série quartique douée de deux éléments doubles, qui contiennent ces éléments doubles; inversement, on pourra transporter à l'étude de ces séries les théorèmes généraux que nous avons rencontrés dans l'étude des séries quadratiques quadruplement tangentes à une série quartique possédant deux éléments doubles. Les réseaux définis par ces séries quadratiques, quand elles contiennent les éléments doubles, ont

précisément pour jacobiennes respectives les cercles principaux de la série/*, d'où une série de propositions faciles à énoncer.

Tout ceci s'applique aussi aux séries quadratiques doublement tangentes à une série cubique et contenant deux éléments donnés de cette série.

io7. L'équation d'une série orientée du second degré et de seconde espèce peut s'écrire

f étant une forme quadratique des \,, qui sont dis (onctions Linéaires des coordonnées cycliques ordinaires >.,. ?... •/... %k. En spécifiant les coordonnées comme dans le cas particulier qui termine le ir i)!^, dous pouvons prendre

L'absolu étant F — ix^x ..

Si l'on considère un élément \ de coordonnées ordinaires (Ç el un élément tangent au cycle \t -o contenanl | \ r), en dési gnanl par /, la distance tl< \ à L'élément de contact de cet élé ment tangent, el par u>\ !<■ coefficient de a, dans la fonction linéaire \r on .1

si le cercle A",= o est de rayon nul, celte formule subsiste, /, étant la dislance de(A') au centre <lu cercle. Si le cercle A)=o est décomposablf en un élément de coordonnées (x') et (g\ on a, si ti est la distance de 1 A') à ( x .

si le cercle A.'i= o est l'absolu, on a

cpj" étant le coefficient de a, dans Aj-.

De ces résultats, on tirera, comme aux n "s 419 et suivants, la