CHAPITRE VII. — FORMES CANONIQUES, FORME CUBIQUE, ETC. g

Cherchons les valeurs des rapports anharmoniques déterminés parles éléments (x), («(l)), («(2)) et (rt(:!)). Soit

pl = (xa'^)(a'^a^), p2 = (.ra<3>)(«(1)«(2)),

de sorte que l'un des rapports cherchés est — • En se servant de l'identité

(xa^)(a^a^)-{-(xa^)(a'^a'^)-^(xa^)(a^a^) = o, on a

p1+p2 = (^a(2»)(«'1)«t3,) + (^«!3,)(«<1,«(-,)) pi— 2p2 = (^a(3,)(«('2,«(I,) + (^«(1,)(«'2)«<3,)> p2 — 2 p, = (ara'1» ) ( a'3' «(2) ) -4- (a?a<*> ) (a'.3' a"> ),

pf— p,p2+ p|= - il(.rrt(i»)2(«l2,«(3,j2;

donc, par un simple calcul de fonctions symétriques que l'on peut abréger en se servant des propriétés des invariants, il vient

pîP5(p,-p,)«=/"n(aWa«»))«=a7D/t>

(Pi+ps)(Pi— 2pO(Pa— 2pi)= — 27 J,

pf — pipï + pi = — 911et, par suite, la double équation

(Pi -+- p2)2(pi — 2 p2)2 (p2 — a pi)2 4(pf — pip2-+-pl)3 9--pf p|(pi — p.,)'2 J2 —4 H3 D/2

l'identité du n° 59 donne alors la relation

L'équation du sixième degré que nous venons de former dépend

de l'invariant absolu j^ comme unique paramètre; elle met en

évidence la signification des conditions H = o et J = o. On remarquera que les formes cubiques

plp2(Pl— P2)

(pi-+- P2XP1— 2pa)(p2— api)

admettent, à des facteurs numériques près, le même hessien

Pi — P1P2-HP2J

g4 LIVRE l. ■ - I.V GÉOMÉTRIE BINAIRE.

et que chacune d'elles peut être regardée comme L'invariant cubique de l'autre.

89. La forme /" a une racine triple quand H est nul identiquement; il en est de même alors de D et J, et Ton peut ramener^à la forme canonique

Si H n'est pas nul identiquement, mais si D est nul, y a une racine double, non triple: la forme canonique dey est alors

f=Za\x'*a

.11 choisissant convenablement les nouveaux éléments de référence, et les valeurs des invariants II et .1 >"iii ici

'I est facile, par suite, d'obtenir dans < e cas les racines de J.

I (ans le <-;is -('•mr.il, I ) n'est pas nul, et y a trois racines simples ; les racines de II sont simples aussi, et on peut les faire correspondre aux nouveaux éléments fondamentaux; ceci exige, en appelant comme toujoursy la Lransformée dey,

h ,, ii . ii ■>. " i '' i — a j" ~~- " |

considérant ces relations comme des équations linéaires en a\ et a',, leur déterminant a'taa — ''„"■ n'est pas nul, puisque II n'est pas nul identiquement : on doit dune supposer

et l'on .i la forme canonique

ainsi que cela résulte d'ailleurs des considérations générales du n" 85, puisque l'invariant l\ de ce numéro n'est autre que II, pour/; = 3.

En même temps, les invariants H, U, J prennent les valeurs

ce qui rend intuitif tout ce qui a été dit précédemment.

Voici comment on peut opérer cette réduction à la forme cano-