e désignant la base des logarithmes népériens, on a

et par suite

ceci permet d'écrire

( yz ) v/— D . yz

yz ( yz) v/D

tang-^4— = "^ / ;

et encore, à cause de l'identité

yz Ayz . r^ (}^^)v/D

dans ces formules, les radicaux y/D et ^A^^Ass ont des déterminations arbitraires.

On peut convenir de choisir toujours la même valeur pour \/D ; alors nous dirons que l'espace E est orienté; dans ce cas, j-^ est définie à un multiple de limiz près, et l'on a

yz ■^- zx -\- xy ^^ o {moàiimiz)]

ceci revient à supposer que les éléments (a^'^) et (a^^^) sont distingués l'un de l'autre.

Hosted by

Oq peut encore supposer que toutes les fois que l'on considère un même élément (/), le radical y/Aj^ a toujours le même signe; alors, écrivant

cos — : — ■ = ■ , — ■ 9 sin^ — '. — = ■ ?

on voit que la distance j^^ est définie à un multiple àe /\im7z près^ et Ton a

yz -\- xz -^ xy ^ o ( mod 4 imr,).

On dit alors que l'élément {y) est orienté.

La distance de (y) à lui-même supposé orienté de façon opposée est limiz.

Deux éléments [y) et {z) ^onl perpendiculaires quand ils sont conjugués harmoniques par rapport à l'absolu. On a alors Aj2= o et y^ ^ ?m7î (moda^'/nTc), quelles que soient les orientations.

Remarquons que le rapport anharmonique {yztu) peut s'écrire ^ d'après une formule précédente,

yt . zu sin-^H — siïi — ; —

yu . zt sin^^^ — siïi^ — -. — 2 lin 2 un

125. Soient 0\ et O2 les deux éléments fondamentaux, dont aucun n'appartient à l'absolu. On peut, sans altérer la généralité, faire Aq = Ao = i , définir 0^ et O2 par les coordonnées (i, o), (o, i), et orienter ces éléments en faisant les radicaux A^^ correspondants égaux à I . Si enfin on appelle 9 la distance Oi O2, on a

par suite

COS — ^- = Al, sin^ — r— = v/Jl); 2 un 2 im

F = ^1 -h 2 cos — -. — Xi X2 -\- xl. ^ 2 un ^

et, en outre, l'orientation de l'espace est déterminée par

y/D = sin-

2 un

Hosted by