VII. — Les invariants multiples et les combinants

37. Étant donné un système S, on peut concevoir que l'on partage les différentes variables qui figurent dans ce système et dans les formes de ce système en plusieurs groupes, et que les variables d'un même groupe soient transformées par une substitution linéaire a-, que l'on ne suppose pas rester la même quand on passe d'un groupe à l'autre.

Pour cet ensemble de transformations, il est facile de définir des invariants absolus et des invariants ordinaires, que nous appellerons invariants multiples; ceux-ci se reproduisent après la transformation, multipliés par des puissances des déterminants des différentes substitutions employées. Leur nombre est facile à déterminer, ainsi que celui des invariants absolus correspondants; les systèmes complets correspondants d'équations aux dérivées partielles s'écrivent immédiatement.

Sans insister sur cette étude directe, nous remarquerons seulement que les invariants multiples doivent être des invariants pour les transformations particulières qui ne changent que les variables d'un seul groupe. Par suite si (5), {t), ..., (Ç), ... sont les autres variables, un invariant multiple sera de la forme

les fonctions F,.^ ,.,. . étant elles-mêmes des invariants pour le système obtenu en prenant ensemble les formes qui sont les coefficients des formes données ordonnées par rapport aux variables (^), (t), . . . , ((^), . . . , et les autres variables.

Réciproquement, il est clair que si une fonction vérifie ces conditions pour chaque groupe, on pourra la regarder comme un invariant mvdtiple du système donné.

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