X1 -64X1 ■ C4XI
nous avons ainsi une forme sextique que nous ne supposerons pas identiquement nulle, de sorte que /n'est pas une série linéaire.
368. Cherchons la condition pour que trois éléments (X), (p.), (v) de y soient alignés; si l'on fait
\llXlVl=p, SX2[i.iVi=^, SXi[a2V2=r,
on trouve sans peine la condition
Clo
co
— âcti
— 4ci
Si l'on fait les (|i.) et les (v) égaux aux (X), on retrou^^e l'équation h = o', si l'on fait. les (v) égaux aux (X), la relation précédente est une équation du second degré en (pi); en écrivant que ses
Hosted by
racines sont égales, on obtiendra une équation pour déterminer ]es éléments de contact des éléments bitangents à y.
Si Çk) et ([Ji) sont des paramètres qui correspondent à un élément double ou triple de y, considéré comme réunion de deux ou trois éléments ordinaires, les éléments (X), ([Ji), (v) sont alignés quel que soit (v). Donc, pour déterminer les éléments doubles, on écrira que les coefficients de v^, ViV2 et v^ sont nuls dans la relation précédemment trouvée. On obtiendra ainsi trois relations quadratiques entre t = \]iii^ u=:z\^ ^^ -h "^2 1^]^ v = X2 p-2 5 alors on pourra déterminer ces quantités facilement; si l'on veut avoir une équation pour déterminer les (X), on éliminera linéairement ^^, u^^ p-, uç, çt, tu entre les trois équations précédentes et celles que l'on obtient en multipliant le premier mem.bre de la relation
respectivement par ^, u^ ç.
Si l'on élimine linéairement les mêmes quantités entre les trois mêmes premières équations et celles que l'on obtient en multipliant le premier membre de la relation
ait -h a2U -h a^^ ~ o
respectivement par ^, w, ç, on obtiendra une équation dont le premier membre sera une forme cubique par rapport aux (a) décomposable en trois facteurs linéaires; si dans chacun de ces facteurs on remplace ai, a2, cl^ respectivement par X^^ — •'k\'^^2^ ^^o on obtiendra trois équations du second degré, et les racines de chacune d'elles correspondent à un élément multiple de f.
La discussion des différents cas qui peuvent se présenter est facile à faire; voici les résultats obtenus : pour les espèces (G), (H), (I), (J), les trois équations du second degré qui correspondent aux éléments doubles n'ont pas, deux à deux, de racines communes; si l'une d'elles a une racine double, il lui correspond un élément cuspidal; dans les cas (B^) et (G^), deux des équations dont nous venons de parler ont les mêmes racines distinctes; la troisième a deux racines distinctes ou confondues, différentes des précédentes; dans les cas (E^) et (F^), deux des équations précédentes ont les mêmes racines confondues; la troisième a deux racines distinctes ou confondues. Dans les cas (G') et (H^), les
Hosted by
