CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

Si (x) et (jo') sont correspondants, on a

F^2 = 0)2 0)3 F^'2 ou F^2— w^w'gF^c'^,

suivant le cas; et de même (^'|^^)= a)^ (^[^), dans tous les cas.

Si F était donnée sous une forme quelconque, on procéderait comme au n° 378 pour obtenir la forme des substitutions cr' et a■'^ Ainsi pour F = ^2 + -^3? ^^ trouvera les substitutions cr' sous la forme

a;^= wi^', — (w\ + o)';)^2-f- — : (a)\ — a)';)^3,

427. Les substitutions o-^ donnent, en choisissant une détermination fixe pour \/iÙ2^ii et définissant l'orientation de (x') par

y^F^2= y^ (02003 y/F^'2, les formules

ces substitutions transforment les éléments (cp) et (^i>^) de l'absolu en eux-mêmes, respectivement.

Les substitutions o-'^, au contraire, échangent entre eux les deux éléments de l'absolu, et donnent

y z ~ —yz(mod^i7jnz), t) Ç' = '—^ t]^,

en prenant y/F^2z=: y/w'^Wg y^F^'a, pour déterminer les orientations des éléments correspondants (x) et (x^).

Les substitutions o-^ sont les similitudes proprement dites, et les substitutions q" sont les similitudes symétriques.

Dans tous les cas le rapport constant r =: ±= est dit rapport

de similitude pour la substitution a-.

Envisageons d'abord les similitudes : les invariants correspondants sont, avec les notations du n^ 206,

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et cela quelle que soit la forme F, si l'on a appliqué ce qui a été dit plus haut; (o^, 0)2, 0^3 sont donc eux-mêmes des invariants. L'équation en p a les trois racines to^, Woj ^3, que nous supposons d'abord distinctes. A la racine (o^ correspond l'élément double [g) ou Oj, et un élément double de seconde espèce d'équation

tOi — Cl)2 Wj — W3

on peut le choisir pour Q^ , et ceci revient à supposer iù\ = w^' = o.

Alors les éléments doubles sont, d'une façon générale, les six éléments fondamentaux.

D'après une propriété générale des homographies, la distance (0|^)(Q^^^) est constante, (i) et Çcj) étant deux éléments correspondants : on a

(OiO(Oi^^) 0^2-1-0^3 • (OiO(lligO __ ^-(0^3-^2)

et ces formules sont générales.

Le rapport de similitude est r =^

V W2OJ3

Quand on a 002= ^3, il j a nécessairement homologie; ce qui précède subsiste, mais tous les éléments de O^ et 0, sont doubles; on dit que l'homographie a-' est une homothéde; le rapport de

similitude est toujours

Dans ces deux cas, quand le rapport de similitude est égal à dz I , on dit qu'il y a rotation, et une rotation est un mouvement. Quand l'homographie cr^ est à la fois une homothétie et une rotation, c'est une homologie involutive, à moins qu'elle ne se réduise à la substitution identique.

Les cas limites du cas général, obtenus en supposant OL)|r= 0)3 ou (0^ = 0)3, sont peu intéressants.

Si enfin on a w, == t02=: tog, tù\ et iù\ n'étant pas tous deux nuls, il existe une infinité d'éléments (^x) doubles, définis par

(Jù\ X2 -I- W I ^3 = 0,

et une infinité d'éléments (^) doubles définis par ^^ = 0. Si (Ç)

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