CHAPITRE VII. — FORCEES CANONIQUES, FORME CUBIQUE, ETC. qS
Cherchons les valeurs des rapports anharmoniques déterminés par les éléments (x), (a^^^)^ (a^-^) et (a^-^^). Soit
de sorte que Fun des rapports cherchés est — • En se servant de Fidentité
on a
Pi— 92 ={xa^^^){aS'-U(^^^),
pi— 2p2 =- (^a(3))(a(-2^a(i-0 + (^a(iO(^^^^«^^Oj P2 2pi = {xa^^^)(a^^^ a^'-^) -+- (xa^^-^)(a^^^ a^^^),
pf— piP2-i-pi= - y:{xa^^^y(a^'-^a^^yp;
donC; par un simple calcul de fonctions symétriques que l'on peut abréger en se servant des propriétés des invariants, il vient
pfpl(Pl-p2r^-/^n(a(2)^(3))2^^.D/2, (Pl-t- p2)(pl— 2tp2)(p2— 2pl) = — 27J,
pf — P1P2+ pi = — 9ÎIet, par suite, la double équation
(Pi -+- p2)Hpi — ^ P2)' (p2 — a p,Y ^ 4(p!~ pip2H-p|)3 ^ 9.7pf pKpi — p2)\
l'identité du n^ 59 donne alors la relation
L'écjuation du sixième degré que nous venons de former dépend
de l'invariant absolu 7=^ comme unique paramètre; elle met en
évidence la signification des conditions H r::i: o et J r= o. On remarquera que les formes cubiques
Plp2(pl P2)
et
(Pl-l- P2)(Pl— 2p2)(P2— 2pi)
admettent, à des facteurs nuniéricjues près, le même hessien
p| — pip2-i-pi,
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et que chacune d'elles peut être regardée comme l'invariant cubique de l'autre.
89. La forme y a une racine triple quand H est nul identiquement; il en est de même alors de D et J, et l'on peut ramener /à ]a forme canonique
Si H n'est pas nul identiquement, mais si D est nul, /"a une racine double, non triple; la forme canonique dej^ est alors
7 — • ô Cl I OC i" OC r) ^
en choisissant convenablement les nouveaux éléments de référence, et les valeurs des invariants H et J sont ici
il est facile, par suite, d'obtenir dans ce cas les racines de f.
Dans le cas général, D n'est pas nul, et /a trois racines simples; les racines de H sont simples aussi, et on peut les faire correspondre aux nouveaux éléments fondamentaux; ceci exige, en appelant comme toujours y^ la transformée de/",
considérant ces relations comme des équations linéaires en d^ et a!^, leur déterminant ct^d., — (^f^'o^-i n'est pas nul, puisque H n'est pas nul identiquement; on doit donc supposer
et l'on a la forme canonique
ainsi que cela résulte d'ailleurs des considérations générales du n^ 8o, puisque l'invariant K de ce numéro n'est autre que H, poury; = 3.
En même temps, les invariants H, D, J prennent les valeurs
ce qui rend intuitif tout ce qui a été dit précédemment.
Voici comment on peut opérer cette réduction à la forme cano-
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