Cela posé, proposons-nous le problème suivant
Un rayon lumineux tombe sur une surface métallique sous une incidence égale à o ; quelle est la direction du plan imaginaire de l'onde, du plan de l'onde, du plan d'absor[)tirin, et le coefficient d'absorption?
Le plan d'absorption ne peut être que le plan de séparation des deux milieux ipie nous prenons pour plan des xy. Nous prendrons le plan d'incidence pour plan des xz.
Soit r l'angle du plan imaginaire de l'onde avec le plan des xi/. c'est-à-dire l'angle imaginaire de réfraction. Soit r l'angle du plan réel de l'onde avec le plan des.cî/, c'est-à-dire ■ l'angle réel de réfraction.
Le plan imaginaire de l'onde devra avoir pour équation
X sîn r' -|- z cos r' = 0 ou
,,. . , sin» ....
(1) sinr =; ^ cos 7 A- t siny),
On aura d'autre part
P = — (icsinr -|- ^cosr — V<),
Q = xz,
X étant le coefficient d'absorption.
L'équation du plan imaginaire de l'onde s'écrira alors
X — %\nr -\- : \— cos r — ?x ) = 0,
On a donc
— sin r tans '■' =
— cosr — IX
De l'équation (I) on tire aisément cotr' sous la forme :
cot?-' = A — «B; on a alors
27rB srn r
cet 7- ^ A , X =: r ;
ce qui détermine l'angle réel de réfraction et le coefficient d'absorption.
229. Équations du mouvement lumineux dans un milieu absorbant. — On a proposé diverses ft)rnies pour les équations du mouvement dans un milieu absorbant L'une des plus générales est celle de Voigt (1) qui s'écrit :
avec deux autres équations analogues pour ti et l, auxquelles il faut joindre la condition de transversalilé 0 = o.
La théorie électromagnétique de la lumière a conduit Maxwell à une équation de même forme, mais où les coefficients a, e et e sont nuls.
Ces équations ou d'autres analogues ne peuvent évidemment rendre compte de la propagation de la lumière dans les milieux peu absorbants qui produisent un spectre de raies ou de bandes.
Quel que soit le nombre des dérivées partielles de ; qu'on y introduise, on n'arrivera jamais à rendre compte de la prodigieuse variété de ces spectres. En revanche ces équations paraissent rendre assez bien compte des phénomènes optiques que présentent les métaux.
Cherchons à satisfaire à l'équation (2) en faisant
La partie réelle de cette exponentielle imaginaire sera alors la véritable valeur de ; ; x sera la période de la vibration, V sera la vitesse imaginaire de propagation ; a', 6', y' seront les
(1) Gollinger Naehricliten, 1884, page 137 sqq.
cosinus directeurs du plan imaginaire de l'onde de tellf sorte qu'on aura
On trouve alors, en substituant cette valeur de l dans (2), supprimant les facteurs communs et tenant compte de (3) :
Cette équation montre que la vitesse imaginaire V dépend de T et par conséquent de la longueur d'onde, mais ne dépend pas de la direction du plan de l'onde.
Par conséquent l'indice imaginaire de réfraction —. est
smœ ■
une constante qui liépend de la couleur, mais est indépendante de l'incidence. Il n'en serait pas de même de l'indice réel de
réfraction ^^^
sintp
230. Théorie de Cauchy (i). — Cauchy suppose que les hypothèses qui servent de base à sa théorie de la réflexion vitreuse sont encore applicables à la réflexion métallique.
De ceshypothèses il résulte, ainsi que nous l'avons vu, que si le plan de séparation est pris pour plan de? a?;/, les fonctions
dri d-r^
dTi d^
d-Ti dl
dii dz
dz dœ
dx dy
sont continues.
Nous venons de voir que, dans un' milieu métallique, les équationsdu mouvement sont les mêmes que si l'imlice de ré-
(1) Nouveaux exen^icos dii matliémntiques. Journal de Lionville, première série, t. VII, p. .138.
RÉFl.r.XIOX 37"
fraction était imaginaire. D'antre part, dans les idées do Gauchy, les conditions à la limite sont les mêmes que dans le cas de la réflexion vitreuse. Il est donn inutile de recommencer les calculs; lesformulesde la réllexion vitreuse doivent rester applicables; il sufîit d'y reniiilarcr l'indice de réfraction par sa valeur imaginaire.
Nous savons que dans l'élude de la réflexion vitreuse la théorie de Gaùchy et celle de Fresnel conduisent aux mêmes résultats. Fresneldémontre que le rapport de la vibration réfléchie à la vibration incidente est égale à
sin (>• — y)
sin i 7- -}- <p)
.si la lumière est polarisée dans le plan d'incidence et à
tang (cp — r) tang(y-f->-)
si la lumière est polarisée perpendiculairement à ce plan.
Les angles tp et r sont les angles d'incidence et de réfraction. Si l'on appelle N l'indice de réfraction, ces deux rapports sont égaux respectivement à
cosc — vN- — sin2-i , ,, N- coso— yN'- — sin- i)
A = ■ — '- et \ =: '
cos ç +V'N- — sin- 9 N^ cos s -|-v N^ — sin'- z,
Ces formules se déduiraient sans peine de colles que nous avons données plus haut (203).
Si tx. p, Y sont les cosinus directeurs de l'onde réfléchie, X la longueur d'onde et V la vitesse de propagation dans le premier milieu, le déplacement dû à la vibration réfléchie sera la partie réelle de
Ae'^ ou A'e'''
OU
Si on passe à la réflexion métallique, il faut donner à N une valeur imaginaire ; A et A' sont alors imaginaires et on a
A = A^e'f, A' = AV'I'.
Alors le déplacement dû à la lumière réfléchie sera
AoCOs(P+.f) si le plan de polarisation est le plan d'incidence, et
A^cos(P4-f)
si le plan de polarisation est normal au plan d'incidence.
Il y aura donc polarisation elliptique et la diflérence de phase des deux composantes du rayon réfléchi sera ■]/ — •}'.
L'expérience confirme très suffisamment les formules de Gauchy.
