LES LIGNES SINGULIÈRES

Les lignes singulières ont attiré l'attention des chercheurs dès le début de la théorie des fonctions analytiques. Des exemples simples avaient montré la possibilité de ce cas^ et des recherches générales s'imposaient.

Or, si l'on examine à l'heure actuelle les résultats acquis, on constatera sans peine que les résultats généraux sont excessivement rares, à peu près inexistants. Tout se réduit à une collection d'exemples montrant que les circonstances les plus diverses sont compatibles avec la notion de fonction analytique. Ce n'est que dans la Thèse de M. Painlevé qu'on trouve quelques essais de démonstrations générales. Il parvient ainsi à des énoncés très intéressants qui demanderaient à être étendus à un plus grand nombre de cas.

La plupart des exemples simples dont je viens de parler sont relatifs à des séries de Taylor admettant leur cercle de convergence comme coupure. Des procédés de formation assez généraux ont été donnés pour de telles séries; on peut même dire avec M. Borel, en précisant convenablement le sens de ces mots^ que le cas où le cercle de convergence est coupure est pour une série de Taylor donnée le cas général.

Examinons rapidement ces exemples devenus classiques. Le premier est celui de Weierstrass relatif à la série

qui définit dans le cercle |2;|-<i une fonction analytique. Si l'on examine la valeur de J \z) sur la circonférence de ce cercle^ on trouve que c'est une fonction continue de l'arc dépourvue de dérivée (au moins si ah<^\). Ce cercle est donc coupure essen-

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tielle de la fonction. M. Hadamard a étendu ces propriétés aux séries

dans lesquelles les entiers b„, pour les valeurs de l'indice supérieures à un certain entier p, ont un plus grand commun diviseur qui croît indéfiniment avec p. Le raisonnement est assez simple pour être reproduit : la fonction présente nécessairement un point singulier z,, sur le cercle de convergence. Supprimons alors les p premiers termes de la série^ ce qui revient à négliger une fonction holomorphe et par suite ne change pas les points singuliers. La nouvelle série^ '^(z),ne change pas si on change z

en z.e 'i , q désignant le diviseur commun aux è«. Donc la fonction cp^ et par suite f, admettent, outre le point z,,^ les points singuliers

c'est-à-dire^ puisque q peut grandir indéfiniment, un ensemble partout dense de points du cercle et par suite tout le cercle.

Un exemple plus curieux encore est dû à M. Fredholm. Il est relatif à la série

qui admet aussi son cercle de convergence pour coupure^ et qui cependant^ sur ce cercle^ est continue ainsi que toutes ses dérivées. Si l'exemple est simple, la démonstration de ce fait est assez artificielle^ puisqu'elle fait appel aux théorèmes de M"^^ Kowalewski sur les équations aux dérivées partielles.

En adoptant notre terminologie relative aux points singuliers^ nous voyons donc que les points singuliers qui appartiennent à une ligne peuvent être des points transcendants ordinaires contrairement à ce qui se passe en général.

D'ailleurs^ je m'empresse d'ajouter que sur une ligne singulière il peut y avoir des points d'indétermination^ complète ou non. Tous les points de la ligne peuvent même être essentiels^ comme le montrent des exemples faciles à former.

Supposons de même que tous les points de la ligne soient trans-