KL = 5 19,36 EL = 542,78 EK

5o QUATRIÈME LEÇON.

Comment on rattache les points secondaires au réseau

principal,

74. Quand le réseau d'une triangulation est construit, on y rattache certains points remarquables di ts points secondaires, d'où l'on peut voir deux côtés successifs du réseau sous des angles convenables , par la méthode du n^ SO. Plus on multipliera ces points secondaires , plus on assurera l'exactitude de Tensemble.

Nous ne reviendrons pas sur la solution graphique du problème du n^ 20 , mais nous présenterons ici la solution trigon ométrique .

75. Problème. — Trois points a^ b^ c (fig. 5) sont situés sur un terrain uni y et Von demande d'y retroui^er le point m , d'où les distances ab et bc ont été vues sous des angles a et & quon a déterminés.

Soient ab •=a^ bc = b^ et prenons pour inconnues les angles mab =z x et mcb = y. Les triangles amh et cmb donnent

d'oij

ou

et

, /7sin.r ^ sin r

bm = -r: , bm = — ;-- - t

sm a sin 6

^sino; ^ sin j sin a sin 6

sin X ^ sin a

sin jr rt sin 6

Soit (p un angle auxiliaire tel que

^sina ^ ^ a sin b

on aura

sin.r

-, rrrtangep,

sin j

LEVER DES PLANS. 5l

d'où

sin X — sin/ tang y — i

-— ; ci: ,

sin X -h sin j tang ^ -|- i ou (i;ozr le Traité de Trigonométrie j n^lA)

t^g|(^ -X) ^ tangy + tapg4g ^

tang-i-(a?-f-j) H- tang y tang 45° ^'^^ ^ ^

On a d'ailleurs, en désignam par o) l'angle aie,

jr -+- j^ = 36o" — a — 6 — w ,

donc

tang|(a: — ^)=: tàng(<p — 45°)tang U So** -~ ^^ "*^ ^ "^ "^ V

A l'aide de cette formule , on calculera Tangle \[x — y) , et comme x -hy est connu , on aura les angles :t: et j^ qui déterminent la position du point m.

Remarque. — Si l'un des facteurs de tang f (x — j) est nul sans que l'autre soit infini , les angles x et ^ sont égaux entre eux. Mais si le second facteur est infini , le premier est nul et la valeur de tang*^ {x — y) se présente sous la forme 7. On peut vérifier que , dans ce cas y le problème est effectivement indéterminé. En effet, la condition pour que

/on a-hê + w tang I 100''

soit infinie est que

c'est-à-dire que le quadrilatère abcm soit inscriptible ; par conséquent, les deux segments capables des angles a et 6 construits sur ab et bc respectivement, et dont l'intersection détermine le point m , coïncident. Alors tang {tf — 45°)

est nulle. En effet, tang 9 = -r-i : -: — *, mais -r-s et -. —

°^ sm6 sma' sm6 sin a

sont les diamètres des cercles circonscrits aux triangles abm

:>2 q^uAtrieme leçon.

elac/fiy et puisque ces deux cercles coïncident, on a

lang ^ = I, par suite <p = 45°> et tang [<f — ^5°) = o.

Tracé du plan sur le papier.

76. Quand la triangulation d'un lever est terminée, il ne reste plus qu'à tracer le plan sur le papier ou à dessiner la carte. Pour cela , on rapporle à Téchelle adoptée les différents triangles qui composent le réseau et dont tous les éléments ont été calculés, en faisant usage de la règle, de Féquerre et du rapporteur dont nous avons parlé aux n°*4., 5et6. .^

On a ainsi la représentation sur la carte des points principaux du terrain. Il faut y rapporter ensuite les détails. Le lever des détails s'effectue généralement à l'aide de la planchette ou de la boussole , d'après les procédés que non* allons indiquer.

De la planchette,

11, La planchette est une tablette rectangulaire ou carrée supportée par un trépied (fig- 5i). La tablette a de o"^,4o à o"^,6o de côté et o''*,oi5 d'épaisseur environ. Dans les opérations qui exigent une grande exactitude, on se sert d'une planchette dont la tablette est réunie au trépied par un genou , dont les pièces principales sont deux tiges horizontales perpendiculaires entre elles , et qui permet de placer facilement; la tablette dans un plan horizontal. Pour cela, le trépied ayant été fixé, il suffit de faire tourner successivement la tablette autour des deux axes horizontaux. Si la planchette est dépourvue de genou ^ il est nécessaire de déplacer les pieds pour amener la tablette dans une position horizontale. On vérifie l'horizontalité à l'aide d'un niveau à bulle d'air. Dans tous les cas , un axe vertical fixé à la tablette permet de la faire tourner

LEVER DES PLAJSS. 53

dans son plan , et une vis de pression donne le moyen de la fixer.

Le complément de la planchette est l'alidade à pinnules ou à lunettes. Nous avons donné la description de la première au n° 15.

78. L'alidade à lunettes est formée d'une règle de bois ou de cuivre , au milieu de laquelle une tige verticale supporte une lunette à réticules , qui peut tourner autour d'un axe horizontal perpendiculaire à la règle.

79. On nomme plan de collimation le plan qui passe par les (ils des pinnules, ou, s'il s'agit de l'alidade à lunettes, celui qui est décrit par la ligne des réticules. Ce plan doit être parallèle à l'une des arêtes de l'alidade. Quelquefois même, celte arête est tout entière contenue dans le plan de collimation. Dans tous les cas , elle prend le nom de ligne de foi. Pour vérifier si la condition du parallélisme est remplie , on place l'alidade sur le bord d'un plan horizontal d'une assez grande étendue , on vise un objet A quelconque, on tire un trait le long de la ligne de foi, et on le prolonge jusqu'au bord opposé du plan. En plaçant l'alidade à l'autre extrémité de cette ligne, et du même côté , on doit apercevoir l'objet A.

80. Quand on fait usage de l'alidade à lunettes, il faut s'assurer que l'axe de rotation est bien perpendiculaire à la ligne des réticules. Pour cela, on place l'alidade sur un plan horizontal , et l'on vise un point éloigné A -, on tire un trait au crayon le long de la ligne de foi , puis on dévisse la lunette , on la retourne bout pour bout et on la revisse j on replace l'alidade de manière que la règle soit à droite du trait si elle était à gauche, ou inversement: dans celle seconde position, l'objet A doit être sur la ligne des réticules. Si cette condition n'est pas remplie, au moyen

de vis qui font mouvoir les réticules , on modifie convenablement Tinstrumeiit.

81 . La planchette peut servir à mesurer les angles. Soit en effet BAC l'angle qu'on veut évaluer : on place l'instrument de manière que la tablette soit horizontale et que le sommet  de Tanglc s'y projette en l'un de ses points a ^ on fait passer la ligne de foi de Talidade par ce points on l'amène ensuite à coïncider successwement avec les deux côtés de l'angle en la faisant tourner autour du point a , et dans chaque position on tire un trait le long de la ligne de foi. L'angle cherché est celui des deux traits; on peut l'évaluer, si l'on veut , à l'aide du rapporteur.

Levier à la planchette.

82. Les instruments employés pour le lever à la planchette sont la chaîne , une alidade et une planchette sur la tablette de laquelle on a collé une feuille de papier destinée à recevoir la carte minute. Deux méthodes peuvent être employées.

Première méthode, dite par cheminements. — Pour faire le leyer à la planchette des points A , B, C , D, E d'un terrain [fig. 22) , les verticales de ces points étant figurées par des jalons qui y sont plantés , on met la planchette à la place du jalon qui est en A ; la tablette est rendue horizontale , et Ton marque sur le papier, à l'aide d'une aiguille qu'on y enfonce, la projection a du point A. On place l'alidade de manière que sa ligne de foi soit appliquée contre l'aiguille , puis on la fait tourner jusqu'à ce que sa ligne de visée rencontre successivement les verti^ cales des points B, G, D, E, F; et, dans chaque position de l'alidade, on tire un trait le long de sa ligne de foi. En rapportant sur ces lignes à l'échelle adoptée les longueurs AB, AC, AD, AK, AF, mesurées avec la chaîne, on aura

les poinU a, &, c^ d^ é?, f^ qui seront^ sur la carte, les homologues des points A,B, G,D, E,F.

83. Deuxième méthode, dite des intersections, — Après avoir tracé sur le papier (fig, 22) les lignes a|3, ay^,,,^ qui marquent les différentes positions données à la ligne de foi de Falîdade , on rapporte à l'échelle AB en ab sur la première. Ensuite on transporte la planchette de manière que le point b soit sur la verticale de B, et on V oriente au moyen de la boussole , comme il sera dit plus loin , ou bien en faisant coïncider la ligne de foi de l'alidade avec le trait ab , et faisant tourner la tablette jusqu'à ce que la ligne de visée rencontre la verticale du point -A. Cela fait, on place la ligne de foi de l'alidade contre l'aiguille que Ton a d'abord plantée en &, et Ton fait tourner Talidade de manière que sa ligne de visée rencontre successivement les verticales des points C, D, E, F; les positions de la ligne de foi sont marquées par les traits iy', bd\ bt'. Les points d'intersection c^d^e^fàe ces lignes et des premières a y, a$^ ae, ainsi que les points a, i^, forment le lever du terrain.

84. Les constructions que nous venons d'indiquer sont tellement délicates, qu'il faut toujours recourir à desvériiications. Ainsi, un point du lever ayant été obtenu, soit par la méthode de cheminement, soit par celle des intersections, pour vérifier sa position, il faudra déterminer de nouveau ce point par l'une des deux méthodes , en se servant d'un nouveau sommet du contour ou d'une nouvelle base.

De la boussole,

85. La boussole [fig- Sa) consiste en une aiguille aimantée portée sur un pivot par une chape en agate et enfermée dans une boîte carrée recouverte d'un verre. Le fond de la

boîte est garui d'un lîmbe en papier divisé en degrés et dont le centre est la projection de celui de Taiguille. L'un des côtés de la boite peut servir de règle et prend le nom de ligne de foi. Pour éviter, dans les voyages, que la pointe du pivot ne soit émoussée par le choc de Taiguille , un levier coudé soulève celle-ci et la tient pressée contre le verre dès qu'oq ferme la boîte.

86. La boussole donne le moyen d'orienter la planchette^ c'est-à-dire de la placer dans diverses positions parallèles. Elle peut aussi servir à mesurer les angles.

La planchette étant dans une première position , on place la boîte sur le bord, de manière que l'aiguille vienne au zéro du limbe, on tire un trait le long de la ligne de foi ; la planchette étant ensuite transportée dans un autre lieu , on place la boussole de manière qu'elle occupe , par rapport au trait, la même position que primitivement, et l'on fait tourner la tablette jusqu'à ce que l'aiguille revienne au zéro du limbe : alors la planchette est parallèle à sa première position 5 et l'on dit qu'elle est orientée ,

87 . Lorsque la boussole est destinée à mesurer les angles , elle porte un niveau à bulle d'air sur l'un de ses côtés; une petite lunette est placée le long de la ligne de foi ^ la boîte est en outre réunie à un trépied par un genou à coquille semblable à celui du graphomètre décrit au n*^ 16. Pour mesurer la dislance angulaire de deux points A et B ifiS' ^^)' ^^ place la boussole de manière que la boîte soit horizontale , et que le centre O coïncide avec le sommet de l'angle 5 ensuite on la fait tourner autour de son centre jusqu'à ce que l'axe de la lunette passe par l'un des points A : Taiguille aimantée prend alors une position ca et coïncide avec une division a du limbe*, on fait tourner de nouveau la boîte jusqu'à ce que l'axe de la lunette passe par le second point B, raiguillc conserve toujours la mênie direc--

LEVER DES PLANS. Sy

lion et coïncide avec une seconde division ê du limbe; Tangle o — a ou a — ê est égal à l'angle ACB et peut être pris pour Fangle AOB, à cause de la petite distance OC . {Foirn'' 64.)

Le^er ci la boussole.

88. Dans le lever à la boussole, on mesure les angles formés par les plans verticaux qui passent par les lignes tracées sur le terrain avec le plan vertical de l'aiguille aimantée; ce dernier plan a une direction sensiblement constante pour tous les points d'un terrain peu étendu.

Pour mesurer l'un de ces angles , celui que forme le plan P par exemple, avec le plan vertical de l'aiguille, on place la boussole de manière que le point autour duquel tourne la lunette soit dans le plan P. La boîte de la boussole étant rendue horizontale à l'aide du genou et du niveau qu'elle porte, on la fait tourner autour de l'axe du genou, jusqu'à ce que l'axe de la lunette soit tout entier dans le plan P ; ce dont on est assuré lorsqu'un point de la trace de ce plan sur le sol est vu dans la lunette sur l'axe des réticules. Comme la direction de la ligne qui passe par les divisions o et i8o de la boite est parallèle à la trace du plan P sur le limbe, l'angle formé par cette droite avec l'aiguille qui est immédiatement donné par la division du limbe est l'inclinaison cherchée.

89. Pour relever un contour DABCE (fig, 24) , on placera la boussole successivement en A , R , C , . . . ; AMj , BM2 , CM3 , . . . , étant les traces des plans verticaux qui passent par l'aiguille dans les diverses positions de la boussole, ces lignes seront parallèles : on mesurera, comme il a été dit, les angles DAM,, BAM, , ABM^, CBM^, BCM, , ECM2, et, comme vérificalion,. on doit trouver que les angles BAMi, CBM^ sont les suppléments des angles ABlVIg,

58 QUATRIÈME LEÇOff.

CBMt 9 on mesurera ensuite , avec la chaîne , les longueurs DA, AB, BC,CE.

On tracera sur le papier destiné à recevoir le lever une droite am pour représenter la direction fixe de la trace du plan vertical passant par l'aiguille de la boussole^ en un point a de cette ligne , on fera des angles dam , mab respectivement égaux aux angles DAMi , BAMi ; on prendra sur les côtés de ces angles des longueiu*s ad^ ab^ qui représentent à Féchelle adoptée AD et AB *, on mènera par le point b une droite formant avec am un angle égal à CBM^ , et Ton prendra sur cette droite une longueur bc^ qui représente à Téchelle la ligne BC , et continuant ainsi , on formera le lever du contour.

LEVER d'uM pays DE MONTAGNES. 5g

LEVER D'UN PAYS DE MONTAGNES

Réduction de la base à rhorîzon . — Table pour la réduction des bases à l'horizon. — Réduction des angles à l'horizon. — Détermination des différences de niveau. — Du niveau d'eau. — De la mire. — Du nivellement.

90. Nous avons supposé , dans tout ce qui précède , qu'on opérait sur un terrain sensiblement horizontal. Lorsque le terrain est incliné ou inégal , le lever consiste à construire une figure semblable à la projection horizontale des différents points du terrain.

Mais comme cette projection est insuffisante pour déterminer complètement le terrain , on mesure les hauteurs des points qu'on y considère par rapport au plan de projection , qui prend alors le nom de surface de niueau ou plan de nweau. Ces hauteurs sont appelées cotes y et l'opération par laquelle on détermine les cotes est un nwellement. Comme on peut prendre pour plan de niveau le plan horizontal qui passe par l'un des points de la surface du terrain, on n'a à mesurer que des différences de niveau.

On voit que le lever d'un pays de montagnes doit se faire de la même manière que celui d'un terrain uni \ la seule différence est qu'il faudra réduire à l'horizon la base et les. angles observés , et même cette réduction sera naturellement effectuée, si Ton fait usage du cercle pour mesurer les angles et des règles pour mesurer la base. Alors , pour opérer le nivellement, on se sert d'instruments que nous décrirons plus loin.

Souvent on n'a à sa disposition qu'une chaîne et un gra-

6o CINQUIEME LEÇON.

phomctrc. Alors on réduit à Thorizoa la hase cl les angles mesurés, et Ton en déduit, comme on va voir, les différences de niveau.

Réduction des bases à V horizon,

91 . Soit AB la base mesurée avec la chaîne et qu'il s'agit de réduire à l'horizon [fig- îi5). On placera un graphomètre au point A qu'on suppose être le plus bas , et on disposera le limbe dans le plan vertical d^ AB, de manière que son diamètre soit horizontal. On parvient à remplir cette dernière condition au moyen d'un fil à plomb qui, dans ce cas, doit pouvoir être appliqué sur le limbe et amené à passer par le centre et par la division 90 degrés. On marquera alors sur une règle, à partir d'une de ses extrémités A', la distance O'A' égale à la distance AO du centre du limbe au sol^ on transportera ensuite l'extrémité A' de la règle au point B, et on la placera verticalement en B z : on aura