ANALYSE DE L HYPOTHESE DE LAPLACE

Toutefois, tandis que la nébuleuse solaire, libre de toute action extérieure, présentait une figure de révolution autour de son axe de rotation, la nébuleuse planétaire est soumise à l'influence de l'attraction solaire qui v produit des marées : sous celte influence la nébuleuse planétaire s'allonge dans le sens du Soleil et tend à tourner constamment vers cet astre les mêmes points de sa surface. Ainsi s'établit, comme nous l'avons dit, l'égalité entre les durées de rotation et de révolution de la nébuleuse planétaire. Cette égalité qui, pour une raison analogue, a lieu encore aujourd'hui pour la Lune et probablement pour plusieurs satellites, ainsi peut-être que pour les planètes Mercure et Vénus, a dû se rencontrer chez toutes les planètes dans la première phase de leur existence.

Tant que s'est maintenue cette égalité, la nébuleuse planétaire a dû rester dans des conditions impropres à la formation de satellites. En etTet, son volume Y diminuait par suite de la contraction, mais la

1 » 1 (lJ-^ -. . . ...

vitesse M restait la même; donc -v.- dimmuait. condition incompatible avec la production d'anneaux, ainsi que nous l'avons vu dans la Section III. Si l'égalité entre les durées de rotation et de révolution a lieu encore actuellement pour tous les satellites, nous nous expliquons pourquoi il n'y a pas de satellites du second ordre.

44. Etudions de pins près et anal ytiquement les conditions où s'est trouvée la nébuleuse planétaire dans cette première phase où elle tournait sur elle-même dans un temps égal à celui de sa révolution. D'abord, on peut faire au snjet de sa constitution deux hypothèses très différentes : on peut la su[)poser à peu près homogène, ou bien avec une très forte condensation centrale. Pour la nébulense solaire, la seconde hypothèse s'imposait à l'exclusion de la première (Section II). Mais pour une nébuleuse planétaire elle ne s'impose pas autant, et il v a lieu d'examiner successivement les deux hypothèses.

45. Cas d'une masse homogène. — Etudions donc en premier lieu les conditions d'équilibre d'une masse fluide homogène animée d'un mouvement de rotation uniforme o) autour d'un axe de direction lixe Ox passant par son centre de gravité o ; cette masse est soumise à l'attraction mutuelle de ses parties, et aussi à l'attraction d'un astre éloigné G (Soleil) situé dans le plan de l'équateur. Nous supposerons que, en vertu de celte dernière force, le point o décrit un cercle ayant

HYPOTHESES COSilOCOSIQUES

son centre en C, et que la durée de révolution est égale à la durée de la rotation de la masse fluide autour de ox ('). Ce sont bien là des conditions analogues à celles où se trouvait la nébuleuse planétaire que nous étudions.

Prenons pour axes rectangulaires mobiles (fig- i4) l'axe de rotation ox, l'axe oy dirigé vers le Soleil C et l'axe oz, perpendiculaire aux

deux précédents. Dans ces conditions, la théorie élémentaire des marées nous apprend que le jiotcntiel perturbateur dû à l'attraction solaire est

M' désignant la masse du Soleil et / sa distance au point o. Si M est la masse du fluide en mouvement, la troisième loi de Kkpleu donne l'équation

toH" = M -+- M' ;

d'où nous tirons, en appelant

le rapport de la masse fluide à la masse solaire,

('j E, RocuE : Mémoire sur la Jt<jitrc (Twie masse fluide soumise ù Vatlraclion d'un point cloifinc, i8^ç), iSjo, i85i [Acad. de Montpellier, Section des Sciences, t. I, j). u'i?! et 333, t. II, p. 211. Voir aussi Tisserand : Traité de Mécnn'ujue Céleste,

t. II, Cil. Mil, [). 1 lO.

AS.VLÏSE DE l'hypothèse DE LVPL\CE 55

par suite nous pouvons écrire

2 2(1 + [Jt) ^ ^ '

Le potentiel du à la force centrifuge est

Nous voulons prouver que la masse fluide homogène peut prendre, dans l'équilibre, la figure d'un ellipsoïde

\ Il g2 ^. gZ

dont les axes sont dirigés suivant ox, oy, oz. On sait que le potentiel d'attraction à l'intérieur d'un tel ellipsoïde homogène peut s'écrire

P, Q, R étant trois constantes. Si l'on désigne par

les carrés des rapports d'un des axes de l'ellipsoïde aux deux autres, ces trois constantes ont pour valeurs

■('O) N Q = 2-pS I -, —-Ta.

où l'on a posé

A = v'(i 4- ii){i H- su)(i -h /uj.

Donc, lorsque la masse homogène affecte la forme de l'ellipsoïde (17), le potentiel total a pour valeur

56 IIYPOTIIKSES COSMOGOMQUES

Pour montrer que rellipsoïcle( 17) est une figure déqullibre, il sullil de lairc voir qu'on [)eul l'identifier avec une surface équipotentielle

V, -f- \, -+- Y3 = const. ;

celle dernière équation s'écrit

(l\x2 4- Qy'- -s- l\'J) f- ai2(v2 + .■2^ ^ ^L. (,^2 — x' — z") = COUSt.,

et l'identificalion avec féquallun ( 17) donne

Ancc la notation (18), ces deux dernières équations s'écrivent, on le voit de suite,

O — Vs = ^"'^^ + 3 + 1^) ^ I -t- [Ji. '

Ce sont deux équations aux deux inconnues 5 et / : elles détermineront les rapports des axes de l'ellipsoïde qui est une figure d'équilibre. Si nous posons