IDÉES GÉNÉRALES SUR LES PRESSIONS

66. — Définition d'un élément plan et de la pression qui s'y exerce.

Les considéralions précédentes nous conduisenl à faire, pour loule face plane ou sensiblement plane d'un élément de volume, la somme des composantes, suivant un même axe, des actions exercées, à des distances imperceptibles et à travers cette face, par les points matériels qui sont d'un de ses côtés, savoir, à l'extérieur du volume, sur ceux qui sont de l'autre, ou à l'intérieur. Une pareille surface, peu étendue en tout sens, prend le nom élément superficiel ou élément plan. Sur toutes les très petites parties similaires juxtaposées en lesquelles elle est décomposable, parties presque invisibles ou même absolument invisibles et en nombre fort grand, mais de dimensions incomparablement supérieures à la distance de deux molécules contiguës, l'état moyen local de la matière est, en général, sensiblement le même; autrement dit, les conditions physiques y sont pareilles. Donc les trois sommes de composantes, suivant les axes, des actions moléculaires éprouvées à travers chacune d'elles par la matière comprise sur un de leurs côtés, actions existant entre couples de points dont la droite de jonction croise cette partie, se trouveront aussi pareilles pour toutes. Nous les représenterons par une force unique, dont elles seraient les composantes, et que nous supposerons appliquée en un point quelconque de la partie considérée de l'élément plan. Cette force unique fictive s'appellera la pres^ sion exercée sur la partie correspondante de surface.

Elle sera évidemment propre à remplacer, dans les calculs de quantités de mouvements, les actions moléculaires individuelles

CE UU'OK APPELLE PRESSION TOTALE ET P. PAR UXITÉ d'aIRK, SUR UN ÉLÉMENT PLAN. 79

quelle résume. Et elle les remplacera aussi très biea dans les calculs de moments, même quand les moments seront pris par rapportaux axes les plus rapprochés possibles de l'élément plan ; car, en transportant en un seul point de la partie considérée de celui-ci toutes les actions moléculaires exercées suivant des droites qui la Inversent, on n'a modifié les coordonnées Jr^ yj z de leurs points (l'application et, par suite, leurs bras de levier, que de quantités négligeables, même comparativement aux dimensions presque imperceptibles de l'élément plan.

Enûn on appellera />/e5«*o/i totale exercée sur l'élément superficiel donné, une force unique, valant la somme de toutes ces petites forces égales relatives aux diverses parties similaires de l'élément, dirigée, en outre, dans le même sens qu'elles, et appliquée au centre de gravité de l'élément, c'est-à-dire au point dont les coordonnées sont les moyennes des coordonnées de même nom de toutes ses parties. Cette pression totale sera encore propre, tant 3u point de vue des moments qu'à celui des quantités de mouve- "ïcnt, à représenter toutes les pressions élémentaires entrant dans sa composition. En effet, si n est le nombre des pressions élémentaires égales dont elle constitue la somme, que X, Y, Z désignent 'es trois composantes de l'une quelconque d'entre elles, et .r, z 'es coordonnées de son point d'application, le moment de cette P^'Cssion partielle relatif, par exemple, à l'axe des sera J'Y — y\ ; l'on aura pour la somme des n moments analogues

^5 ^ui est bien l'expression du moment correspondant de la prestotale, dont les composantes sont //\, /lY, hTj et dont le

'^^itit d'appKcation a les trois coordonnées moyennes i Sj-, -

' - — Ce qu'on entend par une pression rapportée à l'unité d'aire.

La pression totale étant simplement proportionnelle à l'aire de élément quand on conçoit celui-ci plus ou moins étendu dans ^^ti plan autour d'un point donné, il suffira de la construire, à r^^irtir de ce point, pour le cas d'une surface égale à l'unité, censée

8<> TRACT. ET PRES. PROPRKM. DITES : LEURS COMPOSANT. NORMALE ET TANOENTIELLES .

loul entière soumise aux conditions qui règnenl à l'endroit donl il s'agit. Alors on aura ce qu'on appelle une pression rapportée à V unité de surface, ou, plus précisément, la pression exercée sur Y unité d^aire de l'élément plan considéré d'abord, dont le contour devient ainsi indéterminé et dont Torientation seule reste» par conséquent, définie, à l'endroit où Ton doit le mener. Cetic orientation s'exprime analytiquement au moyen des trois cosinus directeurs de la normale à l'élément, tirée vers l'extérieur, c'eslà-dire du côté où est la matière exerçant les actions moléculaires qu'il s'agit de totaliser.

08. — Cas où la pression est, en réalité , une traction , et cas où elle est une pression proprement dite ; ses composantes normale et tangentielles.

La pression que supporte un élément plan aura, par suite, tou( comme les actions élémentaires qui la composent, sa projection sur la normale à l'élément plan positive quand elle se trouvera dirigée vers le dehors, c'est-à-dire du côté de la matière Texerçant; cas où les attractions intermoléculaires, qui sont justement les actions élémentaires réputées positives, y surpasseront les répulsions. Or il est clair que, dans ce cas où les attractions y dominent, la résultante considérée mérite plutôt le nom de tension, ou celui de traction, que celui de pression y qui, à proprement parler, lui convient seulement quand les répulsions y ont le principal rôle, c'està-dire quand sa composante considérée suivant la normale est négative.

Mais on a eu, pour lui attribuer de préférence la dénomination générique de pression, la raison d'une bien plus grande fréquence du cas où elle se trouve négative. Elle ne devient même jamais positive dans certains corps, les fluides non visqueux, non plus qu'entre deux solides en contact (p. 48), ni, par conséquent, ^ dans les niasses pulvérulentes formées par la juxtaposition d'un grand nombre de petits solides.

il est clair que la pression ou la traction comprendra, en général, outre sa composante normale (négative ou positive), donl il vient d'être parlé et qui s'exerce suivant la normale à l'élément plan, une composante tangentielle, c'est-à-dire rasant l'élément plan, et décomposable elle-même en deux composantes tangen-

LES PRESSIONS SONT FINIES PAR UNITÉ d'aIHE. 8i

Nielles, suivant deux droites rectangulaires quelconques de l'ëlé- ^^cnt, émanées de son centre de gravité.

69. — Les pressions sont des forces accessibles à nos mesures et finies par unité d'aire.

Si les actions moléculaires individuelles échappent à nos me- ^\ires, les pressions ou tractions, qui en constituent des sommes prises, comme Ton voit, de certaines manières, s'évaluent aisément en kilogrammes; car ce sont elles qui, dans les corps terrestres en équilibre autour -de nous, neutralisent la pesanteur. Il suffit, par exemple, de suspendre un poids à un fil vertical, pour que la tension ou traction produite, à travers une quelconque des sections horizontales de ce fil, par sa partie située au-dessus sur celle qui est au-dessous, fasse équilibre aux autres actions extérieures s'exerçant sur l'ensemble de cette dernière partie et du corps, c'est-à-dire à leur poids total : elle lui est donc égale. Ce fait très simple prouve que les pressions sont finies et généralement sensibles sur une aire Jinie, c^esl-d-dirc finies par unité d'aire.

70. — Neutralisation très approchée des pressions et neutralisation analogue de leurs moments, sur un élément de volume.

11 importe d'observer que, dans le calcul, au moyen du principe des quantités de mouvement, de la dérivée par rapport au temps t de la quantité totale de mouvement possédée par un élément de volume suivant un quelconque des axes, cette dérivée, produit de l'accélération moyenne locale correspondante

toujours finie, par la masse ^ni de l'élément de volume, sera numériquement du troisième ordre de petitesse, comme le volume de cet élément auquel la masse S m est (toutes choses égales d'ailleurs) proportionnelle. Or, de même, le poids de l'élément, produit de S/M par la gravité ou pesanteur ^«^j sera du troisième ordre. Il faudra donc que l'excédent du premier de ces deux produits sur le second, c'est-à-dire, d'après le principe des quantités de mouvement, la somme algébrique des pressions exercées, suivant B. — Leçons synthétùjues. 6

82 QUASI-NEUTRALI8. DES PRESSIONS ET DE LEURS MOM. SUR UN ÉLÉMENT DE VOLUME.

Taxe considéré des r, ou des r, ou des 3, sur l'élément de volume, à travers toutes ses faces, soit également du troisième ordre, quoique ces faces et, par conséquent, les pressions individuellement éprouvées par elles, soient du second. Donc, les pressions supportées par les diverses faces d'un élément de volume se neutralisent dans le sens de chaque axe, avec une erreur négligeable comparativement à leurs valeurs.

On peut en dire autant de leurs moments, même quand on fait passer les axes tout près de l'élément de volume ou à son intérieur, de manière à n'avoir pour tous ses points que des coordonnées jK, z de Tordre de ses dimensions. Alors les dérivées en t, comme

^ — ^ ^/^) ' moments des quantités de mouvement,

sont évidemment de l'ordre des produits de 2/n par ces coordonnées, c'est-à-dire du quatrième ordre, ainsi que les moments du poids de l'élément; tandis que les moments des pressions subies par les diverses faces sont, en général, de l'ordre du produit de ces pressions par les coordonnées, c'est-à-dire seulement du troisième. Ainsi, les moments des pressions par rapport à chaque axe se neutralisent à eux seuls, sur toute particule^ sauf des fractions négligeables de leurs valeurs,