BUT DE LA MÉCANIQUE PHYSIODE. NOTIONS CINÉMATIOHES INDISPENSABLES

i . — Idée générale de la Mécanique.

L'espril humain, en observant les phénomèues naturels, y reconnaît, à côté de beaucoup d'éléments confus qu'il ne parvient pas à débrouiller, un élément clair, susceptible par sa précision d'être l'objet de connaissances vraiment scientiligues. C'est l'élément géométrique, tenant à la localisation des objets dans l'espace, et qui permet de se les représenter^ de les dessiner ou de les construire d'une manière au moins idéale. 11 est constitué par les dimensions et les formes des corps ou des systèmes de corps, par ce qu'on appelle, en un mot, leur configuration à un moment donné. Ces formes, ces configurations, dont les parties mesu-

( ' ) Ces Leçons sont les premières du Cours de Mécanique physique professé i la Sorbonne par M. J. Boussinesq, cours dont le but est une eipositioD approfondie des idées et des métliodes permettapt de mettre en équation les problèmes de la mécanique des solides naturels, des fluides et des semi-fluides, avec un aperçu des résultats qu'on en déduit, complété, chaque année, par l'étude de quelqu'une des questions spéciales les plus important«s.

B. — Leçons synthétiques. i

1 LA HicAMQUl A PDDR OBJIT L'ÏLÉMBHT OBOHBTIIIQUE DES PBËKOMàHES.

rables sont des distances et des angles, tantôt se conservent, du moins à peu près, pendant un certain temps et paraissent mente se maintenir dans les mêmes régions de t'espace (ou dans ce qui nous semble tel), pour constituer ce qu'on appelle le repos, tantôt changent sans cesse, mais avec continuité; et leurs changements de lieu sont ce qu'on appelle le mouvement local ou simplement le mouvement.

D'une manière générale, l'étude de ce mouvement, des changements de lieu éprouvés par les corps, se nomme Mécanique.

La Statique en est la partie relative au cas spécial où s'annule le mouvement, c'est-à-dire o£i persistent la situation et, par suite, la figure des corps. On y comprend, par une extension bien naturelle, l'étude des cas, an moins les plus simples, où un système de corps, tout en se déplaçant, conserve des distances invariables entre ses diverses parties, c'est-à-dire ses dimensions avec sa forme, éléments constitutifs de sa configuration. Et, par opposition à la Statique, on appelle. Dynamique l'étude propre du mouvement.

2. — HypothftsoB spéciales i la HAoaniqoe rationnelle; leur insuffisance dans l'étude de phénomènes très importants.

Pourquoi a-t-on été amené à diviser la Mécanique en Mécanique rationnelle et en Mécanique physique? A quoi répond cette distinction? Telle est la première question que nous devons nous poser ici.

Les phénomènes naturels se trouvant très complexes, et, de plus, nos connaissances sur la constitution intime des corps étant fort imparfaites, nous sommes inévitablement conduits, dans l'étude de leurs mouvements, à faire, sur cette constitution, des hypothèses seulement approchées, très précieuses néanmoins lorsqu'elles sont simples et qu'il existe des cas, reconnaissables à l'avance, où la nature les réalise à fort peu près. Or ce qu'a de propre la Mécanique rationnelle tient justement à deux hypothèses de cette espèce, imaginées, chacune, pour une des deux sortes de corps que l'on rencontre le plus souvent et qui diEfèrent autant que possible l'une de l'autre. Je veux parler des solides et des fluides, les premiers pourvus d'une forme déterminée, les seconds affectant successivement les formes les plus diverses,

[NROmSANCS DES HTFOTHBSES DE LA MÉCANIQUE H

mais surtout celles des solides qui les louchent. La Mécanique rationnelle, fruit des premières spéculations mécaniques des géomètres, a tout naturellement poussé à l'extrême les caractères distinctifs de ces corps. D'une part, elle a supposé les solides invariables, c'est-à-dire tout à fait indéformables, de manière à simplifier au plus haut degré la question de leurs mouvements, qu'elle réduit à n'être que des mouvements d'ensemble où se conservent toutes les distances mutuelles des diverses parties. Et, d'autre part, elle a supposé, au contraire, les fluides doués de la propriété, diie Jluidité parfaite, consistant en ce qu'ils seraient absolument dépourvus de toute tendance à garder une forme quelconque.

Or ces hypothèses, suffisantes pour l'explication de certains phénomènes, se trouvent absolument en défaut dans d'autres.

Supposons, par exemple, que les déformations d'un solide, bien que fort petites, même imperceptibles, atteignent les limites qui amènent la rupture. Que deviendra, à partir de ce moment, l'hypothèse de la conservation absolue de la forme du corps, alors que cette forme est détruite ? Et comment se contenter d'une théorie qui, négligeant absolument les petites déformations, dont les grandes sont de fréquentes conséquences, ne permet pas de prévoir ces grandes déformations, c'est-à-dire le phénomène de la rupture, si capital pour l'ingénieur tenu avant tout d'en préserver ses constructions? Le physicien lui-même est . très intéressé à connaître les petites déformations dont il s'agit; car ce sont elles qui différencient les corps sous le rapport de leur plus ou moins d'élasticité et de dureté, elles aussi qui, se produisant dans des milieux matériels de natures diverses, iransmel- - tent et constituent le son, la lumière, la chaleur.

Quant aux fluides, l'hypothèse de \evT Jluidité parfaite ne se montre pas moins insuffisante dans l'étude d'un très grand nombre de faits. Tel est, pour ne citer que le plus important, l'écoulement le long des tuyaux de conduite ou dans les cours d'eau. Par exemple, un fleuve issu, comme le Rhin ou le Rhône, de sources situées à des altitudes de aooo™ et plus, aurait d'après cette hypothèse, en arrivant dans la plaine ('), une vitesse yj'igh

(') Malgré l'iinDiobiliBatiaQ d'une mince couche liquide, adhérente au lit. '

NOTION DU POINT UATÉniGL ; SA RAISON Ii'£TRK. 5

4. — Hypothèse atomiqtie Bor la constitution des corps ; points matériels.

Dès le début de toute étude sur un système donné de corps et sur leurs mouvements, le géomètre sent la nécessité de bien se représenter et définir les objets dont il s'occupera. Or il ne parvient à la netteté désirable, dans cette construction idéale des phénomènes et dans leur expression analytique, qu'en regardant chaque corps comme un ensemble à^atomes sans étendue ni dimensions, dits points matériels, dont il voit chacun occuper à tout instant, dans l'espace, une situation déterminée ; et il définit quantitativement cette situation elle-même, au moyen de ses trois coordonnées X, y, s par rapport à un système d'axes rectangulaires fixes.

Ce qui l'oblige à arriver ainsi jusqu'à des éléments sans étendue, jusqu'à àes points, c'est que, justement, les points sont les seuls êtres géométriques dont la situation soit précise, ou puisse s'exprimer nettement au moyen de trois quantités simples, de trois longueurs ^ly, a- Autrement dit, la distance, qui est par excellence, dans les phénomènes, la chose mesurable, n'a de sens que lorsqu'elle relie deux points. C'est, on le voit, une nécessité logique inhérente à la nature même de l'esprit humain, qui nous fait idéaliser de la sorte les éléments matériels. Portés, par une tendance instinctive, à ramener l'inconnu au connu, l'obscur au clair, nous profitons de la ressemblance des objets extérieurs avec les formes géométriques pour les leur identifier : notre intuition des figures géométriques présente, en elTet, le plus haut degré de netteté, landis que nous n'avons des objets extérieurs qu'une - perception confuse.

Aussi plusieurs géomètres, le P. Boacovich, Ampère, Cauchy, de Saint- Venant, etc., ont-ils regardé cette conception d'atomes sans étendue comme réelle, comme parfaitement conforme à la véritable structure de la matière. Sans aller jusque-là (car ce serait supposer un accord bien extraordinaire, bien parfait, entre le monde idéal atteint par l'esprit du géomètre et le monde physique perçu par nos sens), nous remarquerons que les procédés d'observation, aux moments de leurs plus grands progrès, n'ont jamais reconnu d'erreur dans les conséquences résultant de l'ap-

6 cm od'om imtcnd Faii l'ktat aTATiQDC

plîcation de nos idées géométriques aux choses : preuve que ces idées n'oDl pas cessé d'être supérieures, pour l'exactitude pratique, aux moyeus de mesure les plus précis, et que les désaccords possibles ou même probables entre elles ei les objeu, ou notamment entre les points matériels hypothétiques, atomes sans étendue, et les véritables éléments de la matière, se trouvent relégués dans une sphère, celle des infiniment petits de la nature, inaccessible à nos intelligences et destinée probablement à nous échapper toujours.

S. — État statique d'un système matériel.

Concevons donc un système fini de points matériels, que nous imaginerons d'abord assez éloigné de tout autre pour pouvoir être supposé seul dans l'espace. Nous appellerons

M|, Mj, .. ., M^, ..., Mf, ..., Mn les n points qui le composent: ix„y„z,), {Xi,y3,zt}, ..., {xp,yp,sp), ...,{x,,y,,z^), ,.., {x„,y„,Sn) leurs coordonnées à l'époque t, par rapport à un système d'axes rectangulaires fixes ; /■p^ la distance mutuelle de deu\ quelconques d'entre eux M^, M; , distance déiînissant leur situation relative et dont l'expression générale est

enfin apj, bp^, Cpq les cosinus directeurs de cette droite, censée tirée de M^ vers M,, cosinus dont les valeurs sont

= ZsZll£

Quand nous aurons à écrire ainsi plusieurs formules analogues, il nous arrivera souvent, pour abréger, de les condenser en une formule multiple, qui sera, par exemple, à la place des trots relations (2),

{apq, OpqjCpqf —

rpq

De même encore, pour abréger, nous supprimerons les indices lorsqu'il n'en résultera pas d'équivoque, c'est-à-dire quand il s'agira momentanément d'un seul point ou encore d'une seule