État djoamique ; vitesses

Or l'état statique change, en général, d'un instant à l'autre ; car X, y, z sont, pour chaque point M, trois fonctions graduellement variables de t, ne se réduisant à des constantes que dans le cas très particulier du repos. Donc, pendant que s'écoule, à partir de l'époque i, un instant infiniment petit dt, x, y, z éprouvent certaines variations ds, dy, dz ; et il est clair que la rapidité actuelle du changement de place, ou du mouvement de M, est mesurée par les '^^'^'^^^^ 'j; ' ~^ ' j7 ' ^^^ nous appellerons souvent, pour abréger, u, v, w. Ces trois dérivées '^' — ■ , augmentations instantanées, rapportées à l'unité de temps, des coordonnées du mobile M, sont dites ses trois vitesses suivant les axes; et l'on appelle sa vitesse réelle une droite V, égale au rapport à dt du chemin simultanément parcouru

menée à partir de la position actuelle du point dans la direction même de cet élément ds de la trajectoire décrite. La droite V dont il s'agit, quand on se la représente construite dans l'espace, est l'équivalent des trois vitesses u, v, w suivant les axes, qui expriment analytiquement, c'est-à-dire au moyen de quantités variables seulement en plus ou en moins, ce qu'elle exprime géométriquement, c'est-à-dire pour Vorientation et la grandeur tout i ta fois. Le mouvement actuel de M se trouve donc corn-

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plètement représenté, en grandeur (rapidité) et en direction, par cette Mgne

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diagonale d'nn parallélépipède rectangle ayant pour arêtes, parallèles aux X, y, z, les vitesses u, v, fv du point suivant les axes, censées représentées de même par des droites tirées, à partir de M, dans les sens positifs ou négatifs des axes selon que leurs signes sont plus ou moins : elle vaut, en grandeur, la racine carrée de li

dt

et elle dépend, en direction, des rapports mutuels de celles-ci.

On appelle état dynamique du système cet état actuel de

mouvement, exprimé par les vitesses géométriques V = jt de

tous les points du système ou par leurs composantes algébriques

{u, v, w) = '^' Il pourra, comme on voit, se délînir, d'une

manière abrégée, la dérivée de l'état statique par rapport au temps.

7. — Digression snr l'addition géométrique ou composition des droites.

On remarquera que, dans le parallélépipède dont V et m, v, w sont respectivement la diagonale et les trois dimensions, V joint les deux extrémités de la ligne brisée formée par trois arêtes ayant respectivement les grandeurs et les directions des composantes u, c, w.

Généralisant cette remarque, pour l'appliquer à des droites en nombre arbitraire et orientées à volonté dans l'espace, on appellera composantes d'une droite donnée issue d'un point quelconque, d'autres droites émanées du même point, telles, qu'une ligne brisée en émanant aussi, et formée de côtés respectivement égaux et parallèles à ces autres droites, aboutisse au même point que la proposée. Celle-ci est dite la résultante, ou encore la somme géométrique, de ses composantes; et elle a évidemment pour projections, sur un quelconque des axes coordonnés, la somme algébrique des projections, sur le même axe, des compo-