SIN
Ca
Si l’on appelle &,(x) une fonction constante égale à o(g) pour o£x£g et coïncidant avec o(x) dans l'intervalle (g, L), on aura
sin £x [ tx)" de | <ro(g)<rM,
SA Sin æ
Sin | ; SINX |
LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 27 par suite, en faisant la différence,
: Rues | [ ne CN
Sin
Doit enfin 9(x) une fonction continue qui dans l'intervalle (0, 4) peut changer de signe, mais varie toujours dans le même sens; si Pon appelle g
la valeur de x qui annule 9 (x), on peut écrire
2 ‘ g : le . » ne SIDE nu sin £x sin Âx = f Mo . / te) sin ae + f "0e sinz de
par suile
J|<37rM.
De même, soit (x) une fonction continue dans lPintervalle (&, 2 <5),
variant toujours dans le même sens, mais pouvant être positive où néga-
Uve, on aura par le même procédé
| | pla) de |<hrM [lo(x)| <M].
Ceci posé, supposons que (x) soit une fonction bornée, satisfaisant entre o et 2 aux conditions de Dirichlet, et soit 14 le nombre d’intervalles, dans chacun desquels la fonction varie dans le même sens; on aura d’après
les théorèmes précédents
: . TR A : oi : ut On a suppose h compris entre o el —; supposons h compris entre —etT,
on aura
us 2 il 0 sin {x sin 4 x 4) ——— © ( ) dæ +- - o(x) dx sin æ sin Z ) UT Æ Li Er PRES SIN 7 sinkæ , = ——— o(x) dx + | TE: o(T GP) A SITE | Sin æ 0 lr—h
“/ 5. ESCLANGON.
O7 E. ESCLANGO
, 2 >: À = ; et par suite encore, en appelant 4 le nombre d’intervalles dans lequel 4(x) varie dans le mème sens, [J|< 4ruM.
D'une facon générale, st g et h désignent deux nombres quelconques compris entre —T el +T ou égaux à ces limites, on a en appelant y le nombre d’intervalles (compris dans l'intervalle g, h) où $(x) varie
dans le méme sens
f oc) CM Tete) <MD S ;
el cela quel que soit l'entier positif re Ceci posé, revenons à l’intégrale
TR
6 by\sin(2r Er); Jan) f F(2, 7 L 2) ed RU ;
3 pouvant toujours être choisi entre o et b puisque F est périodique en y.
Tout d’abord on sait (') que, si l’on donne à & une valeur fixe, l’intéorale J considérée comme fonction de y tend uniformément vers F(%, y), c'est-à-dire qu'étant donné € on peut trouver y de façon que pour »2Zv on ait, quel que soit y,
mais l'entier y dépend de «. Si lon pouvait montrer que y à un maximum lorsque à varie, la proposition serait établie. Supposons qu'il n’en soit pas ainsi; donnons-nous une suite d’entiers N,,N,,..., Nz, ... croissant imdéfiniment, et considérons des valeurs &,, 4, ..., 4x, ... pour lesquelles le plus petit des entiers v précédemment définis est respectivement supérieur à NN, NS As mombres dd OUT une valeur limite & comprise entre o et & ou égale à l’un de ces nombres. On en conclut qu'il existe des valeurs 4’ aussi voisines qu'on le veut de «,
et des entiers 7 aussi grands qu'on le veut pour lesquels on à pour certaines
(T) Prcarb, Traité d'Analyse, K4,p 236, SA3,
SE Cr
valeurs y
En (SS] er
Ja, y',n) —F(a, peer
Ye A n Le Lors à " + 1 !
D'autre part, l'intégrale J(4, y, 7), où & est fixe, tendant uniformément vers F(x, y), on en conclut l'existence d’un entier y tel que pour #22 on ait, quel que soit y’,
(4) [f(x nier (a, yiLe
Considérons maintenant la différence J(æ, y’, n) — J(x, y’, n), on a
= - Î DEMREE y -2) RE, vi és TE . T ;
D'après le lemme établi plus haut, remarquant que la fonction de +,
sin(22 +1)} =: — - dy.
siny
1 / ’ b / b \ À F (> Y'+ 7) F(e, VY + 2, possède par hypothèse un nombre de F T :
maxima et de minima inférieur à 4, on en conclut, en désignant par M
le maximum de cette fonction,
Jr nn) J(2, x.) ErEM.
Or si &’ est suffisaniment voisin de &, M sera aussi petit qu'on le veut, de
sorte que l’on pourra écrire
I m Ve
ton Ra enle te y nil
d’où, par la comparaison des inégalités (4) et (5),
J(a', y, n)—F(a,y')|< +|F(a y) —F(ax, y') Je : 3
mais 4’ peut toujours être choisi assez voisin de & pour que, quel que soit y’,
LF(a y) —F(a', y')1<
276 E. ESCLANGON.
de sorte que, quels que soient y'et lentier 2 Zv, on aura pour toutes les
valeurs de x’ assez voisines de 4,
[J(@, J' n) FT Eat, 4) | < €;
ce qui est en contradiction avec l'inégalité (3); le théorème est démontré.
Vu et approuvé :
Paris, le 20 avril 1904.
Le Doyen DE LA FACULTÉ DES SCIENCES,
Pauz APPELL.
Vu el permis d'imprimer :
Paris, le »o avril 1904.
Le Vics-RECTEUR DE L'ACADÉMI& DE PARIS,
