AB = CB

Potassium = métal potassium,

Potassium = potassium flottant sur l'eau;

Donc métal potassium = potassium flottant sur l'eaa.

« Il y a là réellement, dit M. Stanley Jevons, un syllogisme du mode darapft dans la troisième Sgure. avec cette diCTérence que nous obtenons une conclusion d'un caractère beaucoup plus exact que celle de l'ancien syllogisme. Des prémisses : le potassium est un métal et le potassium flotte $ur l'eau, Aristote aurait conclu que quelque métal flotte sur l'eau; mais, si l'on demande quel est ce quelque métal, la réponse sera certainement : le métal appelé potassium. »

VI. Les infërences précédentes ont toutes pour fondement l'application de la première loi de la pensée aux termes divers des identités. Mais là ne s'arrête pas le champ de la déduction. En employant les propositions disjonctives, et en y appliquant les lois de contradiction et de dualité, nous pouvons parvenir à des conclusions qui dépassent singulièrement la portée de la logique péripatéticienne. C'est ici que va se manifester, avec la fécondité du procédé de substitution, la simplification extrême qu'il apporte au système de Boole.

STANLEY IBVONS 161

Nous savons en quels termes Boo)e a posé le problème général de la logique; nous savons aussi quel appareil complexe de procédés mathématiques il emploie à le résoudre. Il s'agit d'en donner, & l'aide du seul procédé de substitution, sous la garantie des lois de la pensée, une solution plus conforme à ces lois. plus simple, plus claire et tout aussi générale.

Déterminons d'abord la nature et les lois de la relation alternative. — Boole a pensé, après Hamilton, que toute alternative est logiquement exclusive, c'està-dire qu'aucun des objets dénotés par l'un de ses termes ne peut l'être en même temps par l'autre. D'autres, au contraire, ont soutenu que souvent dea alternatives sont compossible» , c'est-à-dire que les difTérents termes en sont vrais en même teipps des mêmes objets. Whately en cite l'exemple suivant : « La vertu tend à nous procurer ou l'esiime de nos semblables, ou la faveur de Dieu, » et il ajoute : « Ici, les deux membres sont vrais, et par conséquenr, en affirmant l'un , nous ne sommes pas autorisés à nier l'autre. » Whately a raison. Il y a des alternatives compossibles, de même qu'il y en a d'exclusives; mais c'est là une question de fait; la logique, par suite, ne doit pas considérer toute alternative comme exclusive. Là est l'erreur capitale de Boole; elle l'a conduit à subordonner ta logique à l'algèbre, et à chercher dans les procédés du calcul numérique les moyens de ré' soudre le problème général de la logique. La condition fondamentale du nombre est que chaque unité doit être absolument distincte de toute autre unité. Telle n'est pas la condition essentielle des termes logiques. Aussi, pour résoudre le problème de la déduction en général, faut-il se garder d'importer dans la logique les conditions propres à la science des nombres.

16â Les LOGICIENS AMGUIS GOSTEUFORAINS

Rappelons-nous ^e les lois de H pensée sont au nombre de trois : loi d'identité, une chose est identique avec ette-Tndme; kn de contradiction, une chose ne peut pas, dans le même tenbps et au même liev, posséder des alhibiUs eoBtrftdictoires; loi de dualité', toute ehoce dok oo poeséder tin attribut donuô aa ne pas le posséder. Unies, ces trois lois nous permettent d'ftnalyser tous les résottatsd'flne assertion quelcom^e, c'est'à'dire de détamainer la description d'une cissse quelconque d'objets sous les condîtiMts contenoes dans cette assertion. La kn de dualité développe toutes les classes que peuvent constituer toutes les combinaisons possibles de ces êondilknis;^ la loi d'identité nous autorise à substituer h un terme ce qei'en affirme être identique & ce terme; enfin lait» de contradiction nous conduit à éliminer toute classe ou toute alternaUva conlradictoire avec les conditioiis données.

Considérons des eKem^es très-simples. On donne) la prérmssft suivante : Un métal est an élément, et (A demande de âétennineTf d'après cette assertion, la description des corps compoâ^ ou non éléntentdres^ Par la loi de dualité, je dév^oppe la classe non-éU^ msnt en deux alternatives : ce qid est noU'élénDiMK est ou métal ou non-inétal. Mais, d'après la prënisstf^ un métal est un élément^ substituant à mitai, dans IM première alternative, son éqiiiv^eM, élément, j'aboaTiï à cette assertion : un non'éténiewt est uA étément.. ta loi de contradiel»!! m» tort» k esclore eeite altenïir' tiva; reste donc l'autee alternative ; u« won-étémeni est onnon»métai. C'est fce rôsullat^ demandé. Soient mainteBant le» dens préfKKses :

Lefer est un métaf, [1]

Un métal est un élément. [2J

8TANLK? lEVONS 1S3

Nons pouvons, en appliqlEuit aax Mrmee combinés de ces prémisses la loi de dualité, obteoic les combi* naisons suivantes :

Le fer est un rnétaî élément, [a]

ou un métal oon-ét^séof, [^]

ou on non-métal étément, [y]

ou un non-métal non-éiément. [S] Mais la prémisse [1] exclut les combinaisons [7] et [3], c'est-à-dire celles qui contiennent le terme non-métal; la prémisse [2] exclut la combinsùson [^], c'est-à-dire celle qui contient le terme non-élément. Donc la combinaison [a] seule est vraie et contient la description complète de la classe fer sous les conditions données par les prémisses.

Pour faire voir la fécondité du procédé, exprimons symboliquement les prémisses et les combinaisons précédentes, et convenons que le signe •)• sera le signe de l'alternative :

Préiiiisses ï A a= B, [1]

On demande la description complète de A. Les alt«natives à conudérer doivent donc contenir A : SBC, ABc, AbC, Abc, A = ABC -r- ABc -1- AbC -^ Afic.

Lesalteruulives AbGet Aficsoiit contredites et annulées par la prémisse [I}, car cbacune d'elles contient b, contradictoire de B, donné comme klentique h. A; l'alternative ABc est contredite et éliminée par la prcmissQ ^23, cai' elle contient e,. contradictoire .de C,

donné comme identique k B. qui lui même est identique à A par la prémisse [1]. Donc ABC est la liescriplion complète de A sous les conditions [1] et [2J.

De même, nous pouvons obtenir la description de ia classe c (non-élément), sous les mêmes conditions. Par la loi de duiilité, c peut être développé dans les aller* natives suivantes :

ABc Khc aBc abc c = ABc l- Abc ■!■ oBc 1- abc.

Mais ABc et Abc sont en contradiction avec la prémisse B ^ C ; aBc est en contradiction avec la préiniàse A = B; donc abc est la description de la classée.

On obliendiaitde la même façon la descrij^tion d^ toute autre classa, B, G, a, b, sous les mêmes conditions.

Que le nombre des conditions données et par suite celui des alternatives possibles s'accroisse, les procédés de solution seront toujours les mêmes, et ils sa ramènent, en tout cas, à des opérations uniformes do classification, de sélection et d'élimination des contradictoires. Développer, par la loi de dualité, toutes les alternatives qui peuvent exister dans la description du terme demandé par rapport aux termes contenus dans les prémisses; éliminer toutes les alternatitres qui contiennent des termes contradictoires, et mettre en équation les termes restants avec le terme en question, voilà le tout de l'inférence déductive indirecte, féconde au delà de ce que pouvaient faire concevoir les procédés limités de la logique péripatéticienne.

Ainâi, pour prendre un exemple des plus simples, soient les deux termes A et B, et les prémisses

BTANL13T JISTONS <[|S

A r= AB, \\]

B = BC. p]

On demande ce qu'est A- D'après la loi de dualité nous avons :