SUPERPOSITIONS
Lorsqu'on étudie au microscope, en plaque très mince, des plages de feldspath triclinique à nombreuses lamelles hémitropes, la composition complexe de ces cristaux ressort en général avec une extrême netteté ; car les divers individus cristallins maclés ne
M, (ii'g
Mx («'f.^
FiG. 23.
présentent pas les m^mes intensités lumineuses et ne passent pas dans leurs positions d'extinction simultanément. Cependant, durant une rotation de 360* sur la platine du microscope, on saisit diverses positions pour lesquelles Thomogénéité se rétablit et le cristal tout entier parait alors uniforme.
Nous avons cherché à établir les règles qui président à ces positions d'égale intensité lumineuse. Dans ce qui va suivre, nous supposerons : 1* que la plaque mince ne dépasse pas 0"*,01 d'épaisseur ; 2* que la biréfringence (n^ — Wp) atteint au maximum 0,015. Dans ces conditions, le retard eX se meut entre et 150 millionièmes de millimètre, c'est-à-dire entre et g x^ (jaune moyen). On peut dès lors, sans grave erreur, remplacer la valeur sin' « -^ par -p- et d'ailleurs on se trouve dans le cas signalé page 52, pour lequel les faisceaux des diverses courbes, afférentes aux colorations diverses, se confondent sensiblement entre eux. On suppose les niçois croisés.
Soient (fig. 23) OMi, 0M|, les positions des axes n'^i, n\t des deux minéraux juxtaposés, dont nous considérons les ellipses (E^), par rapport à la position OP de la section principale du polariseur. Posons
"'«I + ^\i = A| ^Wl + "'m = ^2
Nous traçons la bissectrice OQ de Tangle aigu 2 ®, fait entre eux par les deux axes n'^i, n'^j, et nous choisissons la direction positive suivant laquelle nous compterons les angles to, faits par OP avec OQ, de telle sorte que la section 0M| (correspondant à Bt > Bf) soit dans le sens positif à partir de OQ.
On a
et pour les positions d'égale intensité lumineuse dans lesquelles
B,» sin' 2 (m — f) = B,« sin» 2 (w + y)
D'où l'on déduit deux séries de valeurs &>, suivant que l'on prend la racine carrée du second membre avec les signes + ou — :
(2) Signe + tg. 2 « = tg 2 , g^-^'
Signe - tg 2 «• = tg 2 ? L-^i
Chacune de ces équations donne, pour w, une séiîe de valeurs à angles droits : si c, t sont les plus petits angles c», fù\ on aura :
et d^ailleurs la relation suivante lie toutes ces valeurs :
tg 2 û) tg 2 co' = tg' 2 y
On a, par le choix des variables, posé 2 y < ^ et B, — B, > o. Il en résulte que, dans la série positive tg 2 « est toujours plus grand que et que 2 y. Donc on a :
ou
2«<5 el2«>2î>
En d'autres termes, pour les différentes positions d'égale inten-
Sijne 4 f > e > y FiG. 24
site lumineuse qui correspondent au signe +, le plan principal du polariseur devra être placé dissymétriquement, hors de Tangle
aigu fait par les axes n'^^ n'^,, et plus près de Taxe n'^, correspondant à la section la plus biréfringente (fig. 24).
Dans la série correspondant au signe — , on a également
Mais ici : On en déduit
tg 2 w' > ou 2 w' > et < -
tg 2 w' < tg 2 y
Les positions du polariseur, correspondant aux égales intensités lumineuses, sont encore ici voisines des axes de la section la
Sitfne . < S ' < 9
Fi6. 25.
plus biréfringente ; mais elles sont plus rapprochées de la symétrie que les précédentes et comprises dans les angles aigus n'g, n'g, ou «V n'p. (fig. 25).
On peut facilement vérifier ces premières conclusions, en étudiant les plages feldspathiques à lamelles hémitropes. Pour une rotation de 360"* sur la platine du microscope, on trouve en effet 8 positions d'égale intensité lumineuse à angle droit, 4 par 4, si
Ton fait abstraction des parties où les lamelles hémitropes se recouvrent Tune l'autre. La sensibilité du procédé est fort grande et ne le cède en rien à la recherche des extinctions.
Plages complexes, superpositions. — Si, pendant la rotation, on examine les parties de la plaque où des lamelles hémitropes se recouvrent Tune l'autre, on constate que, dans quatre des précédentes positions d'égale intensité lumineuse, à angle droit Tune sur Tautre, les portions complexes de la plage se fondent uniformément dans rintensité commune, tandis que, dans les quatre autres positions, ces mêmes portions ressortent plus foncées sur l'ensemble plus clair.
Ce fait d'observation nous a induit à traiter théoriquement le cas où les deux minéraux justaposés se superposent. Nous supposerons d'abord que Ton a seulement affaire à deux lamelles superposées, d'une épaisseur m, pour le premier minéral, m, pour le second, comptée perpendiculairement à la plaque mince, et nous admettrons, comme nouveau postulatum, qu'on peut négliger l'obliquité de la surface de contact des deux lamelles, eu égard aux faibles différences que présentent entre eux les indices de réfraction principaux.
Nous pouvons dès lors appliquer les formules connues * relatives à la superposition de deux plaques biréfringentes, toutes deux perpendiculaires aux rayons lumineux. Ces formules sont les suivantes :
— sin 2 w, sin 2 w, sin 2 (w, — wj sin' ir * * •
+ cos 2 Wj cos 2 w, sin 2 (w, — w,) sin' ic ■ * * 1 = ^
+ sm 2 w, sin 2 w, cos* (w, — w,) sm* 'k — * — *— ^ — -2 — ?
— sm 2 M^ sm 2 w, sm* (w, — Wj) sm* i: — ï — î-r — - — ?
Remplaçons comme précédemment les sin* tz 4- par leurs arcs et développons en sin2û)4, cos 2wj, sin 2û^, cos2w,.
* Verdet. Leçons d^ optique physigt^e, t. II, p. 109.
On trouve
/ m,* Bj* (— siu 2 û), sin 2 w, cos 2 w, cos 2 w, + sin' î w, cos' 2 «,)
+ m,* B,* (— sin 2 w, sin 2 w, cos 2 M^ cos 2 w, + sin* 2 w, cos* 2 «,)
. m *B,*-f-nî,*B,* + 2m,fn,B, B., , . ^ . « „ a
-I — 2 — L L-J — 1—1 ! — * * - >(-f sm 2w, sin 2w, cos 2<Uj cos 2»,
X* ) + sin* 2 Wj sin* 2 w, + sin 2 w, sin 2 wj
, m «B.'-f în,*B,*— 2m,rWjB^B,, , . « . « « «
1- — ! — i— î- — 2 — 2- ■ — ^— ^— (+ sin2w, sm2 Wjcos 2w, cos2<ii»,
+ sin* 2 w, sin* 2 w, — sin 2 w, sin 2 «,) En ordonnant en B, , B, et simplifiant, on obtient : (4) ^ — >t ('''i ^1 ^*" 2 Wj + fHi B, sin 2 w,)*
Simplifiée au moyen des postulata énoncée plus haut, la formule ne tient plus compte de Tordre de superposition des deux minéraux et permet d'intervertir cet ordre. Au lieu de deux lamelles, on peut donc en supposer un nombre quelconque, puis réunissant ensemble les diverses lamelles de même nature et de même orientation, on appellera m^ lepaisseur totale des lamelles du premier minéral, mt celle du second; mi + rut sera donc l'épaisseur de la plaque :
Dès lors, en tenant compte des équations (1), Téquation (4) devient :
Telle est l'intensité des plages composées dans lesquelles les rayons lumineux traversent successivement une épaisseur m^ du premier minéral et m, du second.
Si nous supposons réalisé le cas des intensités lumineuses égales, pour les valeurs w = i =t n ^ (signe +), on aura
L'intensité commune sera la même non seulement pour les plages exclusivement composées d'un ou de l'autre des minéraux juxtaposés, mais encore pour celles qui comportent des superpositions multiples.
Si l'égalité Ii = I, = t' se rapporte aux valeurs w' = «' =b n ^ (signe — ), on trouve :
L'intensité des plages complexes sera moindre que celle des minéraux justaposés et non superposés ; il y aura même extinction des plages complexes pour m^ = m,.
On peut se proposer de chercher si les plages composées d'une épaisseur /w, du premier minéral et m, du second se comportent
FiG. 26.
comme si elles possédaient une ellipse (E') d'intersection par la plaque mince et, dans le cas affirmatif, quels sont les axes de cette ellipse.
Dans ce but, posons (fig. 26)
Pour une valeur quelconque de y^ l'équation de condition (4) nous donne
on
{nix + tUt) B sin 2 «» = m, Bi sin 2 &>i + ^^ Bi sin 2 &>,
{m^ + m,) B sin 2 0» = fiij B, sin 2 (w + t,,) -f m, B, sin 2 (w + r„)
Faisons successivement « = o et «^ = ^ nous avons nécessaire-
ment les relations
(m, + m,) B = m, B, cos 2 r^^ + m, B, cos 2 r,^ tHi Bi sin 2 r,, -f m, B| sin 2 t^^=z o
Cherchons maintenant la forme de la courbe obtenue en composant les ellipses (E*) des deux minéraux juxtaposés de telle façon que, suivant une direction P quelconque (fîg. 26), nous ajoutions les rayons vecteurs p, et p, de ces ellipses, en les prenant proportionnels aux épaisseurs m, et m,. Le rayon vecteur de la courbe cherchée p aura une valeur donnée par Tégalité.
(wii -f m^ p = fw, p, + m, p,
Or, en rapportant les ellipses (E',) et (E'j) à leurs axes, on a sensiblement*, nour
Al ^ n'gi + n'p, A, = n'^, + n'p, Bi = n'^ — n'pi . B, = n'^ — n'p,
On en déduit
/ I \ I ♦», A| + fWj A.
Le terme en sin 2 w est identiquement nul, à cause des équations de condition (6) ; et le terme en cos 2 w a pour coefOcient
On a donc
/ » wï, A, -|- fw* A, , (m, + rru) B ^
(m, -h wi,) P = ' *^ ' * + \ ces 2 a,
OU
en posant
wii + mj
__ m^ Aj + w>. A,
Le lieu cherché est donc sensiblement une ellipse et, pour tous les angles &>, les intensités lumineuses d'un minéral, qui en serait doué, seraient précisément celles des plages complexes dont nous
* Cs. Mallard. Minéralogie physique^ II, 269.
DES POSITIOiNS D'ÉGALE INTENSITÉ LUMINEUSE 81
avons étudié plus haut les propriétés. Cette ellipse est rapportée à
ses axes; OM en représente Taxe îig'
Posons
ïîj— i:, =2y MOQ = v
D'où Ton tire
^i^'i' + f De Téquation de condition
fw, Bj sin 2 >;, + rw, B, sin 2 ïj, = o
on déduit
M. rt «, . rt ^1 B| — wî, B,
tff 2 V 1= tir 2 9 »— ï — =-ï-î
^ *" ^ fw, B, + m, B,
On peut évidemment étendre ces conséquences à un nombre quelconque de corps composants, d'épaisseur m,, m„ ms, etc., et de biréfringence B,, B2, B3.
On retrouve ainsi l'approximation signalée par M. Mallard *, qui se résume pour un mélange quelconque de minéraux, dans la composition, suivant une direction quelconque, des rayons vecteurs, des ellipsoïdes élémentaires. Mais il convient de ne pas oublier que cette approximation suppose les postulata que nous avons cherché à mettre en évidence plus haut : des corps très peu biréfringents et des lamelles extraordinairement minces, enfin une biréfringence totale de la section n'équivalant pas à un retard
dei>.
Les ellipses (E*) des corps composants sont identiques. — Quand on étudie deux séries de lamelles d'un même minéral, juxtaposées par hémitropie, et que Ton se borne à étudier les sections appartenant à la zone de symétrie perpendiculaire à la face d'association, les ellipses (E') des deux corps juxtaposés sont superposables. Tel est le cas de la zone perpendiculaire à y* dans les feldspaths tricliniques.
Alors, on a Bi= Bî, et les équations (2) et (3) (page 74) deviennent :
tg 2 w = 00
tg 2 w' z= * Cs. Mallvrd. Minéralogie physique^ p. 270 et suivantes.
Lies MINÉRAUX DES ROCHES.
Si donc on compte les angles à partir de la bissectrice de Tangle (n'jj (n'j^, réclairement commun aux deux corps composants et aux plages complexes se produira quand le plan principal du polariseur sera à 45* de la bissectrice, qui coïncide avec la trace de la macle, ou lui est perpendiculaire : suivant cette bissectrice et sa perpendiculaire, il y aura éclairement commun des deux corps composants et extinction relative des plages complexes ; cette extinction sera totale pour les points où Ton a w, = m,.
Applications pratiques. — Détermination de la biréfnngence d'une section quelconque comportant un retard inférieur à g \. Si Ton a, juxtaposées en plaque très mince, une section de biréfringence connue B et une autre section de biréfringence inconnue X, on peut déterminer, par deux mesures d'angles, la valeur X.
On amènera successivement à Textinction chacun des deux corps, et au moyen du mica quart d'onde, on aura soin de mesurer les extinctions se rapportant par exemple aux axes n/.
On connaîtra ainsi Tangle M, Mt = 2 y (fig. 23). Puis on amènera les deux minéraux à une de leurs positions d'éclairement commun, par exemple à celle qui correspond à Tangle w = « et Ton mesurera « =fc ? .
Les équations (1) donnent alors
B sin 2 ri — y) B sin 2 (t + y)
~ sin 2 (f -f y ; ' ~ sin 2 (c — y)
suivant que le corps X est plus ou moins biréfringent que le corps B.
Détermination de la biréfringence B d'une section composée de deux minéraux Bi et /?«, d'épaisseurs m, et m«.
Nous avons posé (page 79) les deux équations de condition
{m^ + mj B = mj Bj cos 2 îJj + m, B, cos 2 >;, = m, B, sin 2 r^ + m, B, sin 2 ij,
Elevons au carré et ajoutons membre à membre;
(m, ^- w,)« B» = m,« B^« -f tw,* B,« + 2 m^ m, B, B, cos 2 (u, — «,)
équation qui donne la valeur cherchée.
DES POSITIOiNS D'ÉGALE INTENSITÉ LUMINEUSE 83
Si Ton se trouve dans le cas où Bi = Bj, cette valeur se simplifie :
g ___ g v/m^» 4- m^^ + ^ fn^ m, cos 2 [m^ — n^) * m, + w,
Si enfin Ton a mi = m»
B = B, cos (vj, — V3,) = B, cos 2 f
Application au microcline. — Grâce à la théorie, qui vient d'être exposée, on peut rigoureusement démontrer que Forthose, qui paraît intimement associé au microcline, n'existe pas en qualité de minéral réellement individualisé; cet orthose spécial est un composé submicroscopique de lamelles hémitropes de microcline. En effet, quelle que soit l'orientation des sections, en plaque très mince, des nombreux microclines que nous avons étudiés, il existe toujours quatre positions à angle droit (« + n |) pour lesquelles l'association de microcline et d'orthose paraît entièrement homogène et d'égale intensité lumineuse entre les niçois croisés.
D n'y a donc que deux corps à orientation optique différente en présence, et ces deux corps sont le cristal fondamental de microcline et ce même cristal retourné de 180® autour d'un axe d'hémitropie perpendiculaire à y*. Cet axe sert en effet et aux lamelles maclées suivant la loi de l'albite, et à celles se touchant suivant une des face de la zone phK Dans le microcline, cette seconde macle, analogue à celle de la péricline, paraît avoir pour face d'association une face voisine de A*, intermédiaire entre A*
Si l'on étudie spécialement les sections de la zone perpendiculaire a y* et notamment la face jd, le quadrillage du microcline est à angle droit; l'éclairement commun se produit alors à 45** des traces d'hémitropie, et les filonnets d'albite, plus biréfringents suivant /?, ressortent en blanc sur le fond grisâtre uniforme du microcline.
Les quatre autres positions d'égale intensité lumineuse des lamelles de microcline (t + ^ |) coïncident ici avec la direction même des mailles du réseau quadrillé. Alors les parties où les lamelles hémitropes se superposent en quantités égales paraissent éteintes et simulent les extinctions de Torthose parallèlement à
pg\ On peut expliquer en outre par des mélanges en proportions inégales, d'une part les passages gradués des ombres aux parties éclairées, d'autre part les anomalies signalées par M. Des Cloizeaux dans quelques-uns des orthoses * associés au microcline de Lipowaia (Oural) et de Broyé près Marmagne (Saône-et- Loire). Ces anomalies consistent dans Textinction dudit orthose, taillé suivant;?, à 4 ou 5** de la trace g\
Il est facile de calculer que, dans la face jo, Tassociation à parties égales de microcline maclé et non maclé, qui simule Torthose, présente une biréfringence égale à celle du microcline multipliée par y/- puisque Tangle 2? est ici égal à 30"* (formule B = B, cos2(p).
Application aux lamelles hémitropes des feldspaths tncliniques. — Les lamelles hémitropes des feldspaths tricliniques, notamment les belles plages à laides macles des anorthites, se prêtent aisément à une vérification du problème général. Elle permet de distinguer facilement les lamelles hémitropes suivant la loi de Talbite et suivant celle de Carlsbad ; Tenchevètrement des deux macles est souvent très compliqué, et Téclairement commun d'un des systèmes donne une vue nette de l'autre.
On peut constater expérimentalement de la même façon que Taxe de rotation de la macle de la péricline se confond sensiblement avec celui de la macle de l'albite. Cependant le procédé est assez sensible pour que, lun des systèmes de lamelles hémitropes étant effacé, l'autre s'estompe encore très légèrmient.
Enfin la même méthode permet de constater que, dans la majeure partie des cas, les lamelles hémitropes d'un système déterminé appartiennent toutes à un seul feldspath.
Cependant l'exemple contraire s'est présenté parfois à nous, notamment dans les plages d'anorthite du gabbro d'Husaas (Norwège)* L'exemple suivant qui s'applique une section de la zone perpendiculaire à g\ rend compte des faits observés. Les bandes hémitropes 1, 2, 1, 2, suivant la loi do l'albite, s'éclairent unifor-» mément à 45° La bande 3, qui présente une série de petites
* Df.s Ci.oizEArx. Caractère du microcline (Annales de chimie et de physiqu^^ 5' série, t. IX, 1866, p. 15 du tirage à part).
DES POSITIONS D'ÉGALE INTEiNSITÉ LUMINEUSE 85
lamelles hémitropes suivant la loi de la péricline, prend à 45"* une teinte également uniforme, mais nettement différente de Tensemble voisin.
Applications aux bandes concentriques des feldspaths. — L'examen des nombreux feldspaths, contenus dans les roches, montre que généralement ils sont composés par juxtaposition de bandes concentriques. Or, dans ces diverses bandes, les propriétés optiques et notamment les extinctions varient irrégulièrement, bien que l'orientation cristallographique y paraisse la même, comme lattestent la permanence de la forme extérieure et le prolongement fréquent des macles au travers des bandes.
M. Tschermak a expliqué le fait en admettant une variation dans la composition chimique des bandes, variation qui dépend d'ailleurs des proportions successivement diverses d'albite et d'anorthite, associés dans les bandes concentriques.
Mais ces bandes se présentent dans l'orthose, dans l'albite, dans Tanorthite chimiquement purs ; l'explication précédente ne peut donc s'appliquer à tous les cas.
La méthode des intensités lumineuses égales permet tout au moins d'approfondir l'observation des faits.
Premier cas fréquent, — Il existe 4 positions à angle droit d'égale intensité lumineuse, dans lesquelles les cristaux zones paraissent entièrement homogènes. Non seulement les bandes concentriques et les facules disparaissent, mais encore l'effacement se produit avec celui des lamelles hémitropes suivant la loi de l'albite.
Deuxième cas également fréquent. — Les bandes concentriques s'effacent toutes simultanément dans le cristal fondamental, mais ces positions d'égale intensité lumineuse ne coïncident plus avec l'effacement des lamelles hémitropes.
Troisième cas, assez rare. — On ne trouve aucune position dans laquelle les bandes concentriques prennent toutes la même intensité lumineuse.
Pour faciliter Tinterprétation théorique de ces divers cas, je rappellerai que, dans nos expériences de reproduction artificielle.
nous avons vu, M. Fouqué et moi, les microlithes feldspathiques élémentaires, allongés suivant Farête pg\ se grouper tantôt radialement en sphérolithes, tantôt parallèlement en faisceaux préparant alors les grands cristaux. Il convient donc de se représenter un cristal de feldspath comme un agrégat de microlithes, allongés tous suivant une direction unique parallèle à pg\ et tantôt orientés optiquement dans le même sens, tantôt retournés de 180*" par rotation autour d un axe perpendiculaire à g\ L'association si fréquente des macles de Talbite et de la péricline confirme cette observation.
Quand le feldspath ne présente pas de bandes concentriques, sa composition est homogène.
Sinon, dans le premier cas^ on peut augurer qu'il n'y a que deux corps optiquement dissemblables en présence, et que ces corps sont, comme dans le microcline, les microlithes du feldspath fondamental et ces mômes microlithes retournés par hémitropie. Il y a donc dans ce cas incertitude pour toutes les extinctions autres que celle de la face g^ ; et les diverses variétés d'albite récemment étudiées, notamment celles de quatre-Ribeyras que M. Fouqué a si complètement traitées*, semblent fournir la preuve que ce cas est fréquemment réalisé dans la nature.
Le deuxième cas paraît exiger l'absence d'hémitropie submicroscopique et, sans prouver la théorie de M. Tschermak, il ne lui est pas opposé. La méthode des éclairemcnts communs prouve qu'il n'y a alors en présence que deux corps optiquement différents et que le second de ces corps ne se confond pas, comme précédemment, avec les lamelles hémitropes.
Enfin le troisième cas suppose plus de deux corps composant, ou tout au moins deux corps et des retournements hémitropes.
* Bull. Soc. Min,, t. VI, 1S83, 196.
