PIE (EP: I
On aura donc B?—
périeur on peut remplacer par l’expression :
AJ : RE Le module GE devient alors V = (1+ 42) D?:2+ = (1+4?) (1+ D'Je?
ou encore Reis /p 2? + (1 +D?)e? (4)
Il ne s’agit ici que du module m1 de l'erreur de l’indice due aux erreurs sur les données; il faudrait calculer aussi
le module x de l’erreur due au fait que les données sont incomplètes, et le module & de l'erreur totale serait y—\/ pêui
La formule (4), qui exprime l’erreur sur l’indice calculé comme une moyenne arithmétique pondérée des prix rela-
fs, c’est-à-dire l’indice de forme générale — en fonction
des erreurs commises sur les prix relatifs et sur les poids, et de la dispersion des mêmes grandeurs, conduit à elle seule à des conclusions théoriques extrêmement importantes. Rappelons que dans cette formule :
e représente les erreurs sur les prix relatifs (module des prix relatifs).
: représente les erreurs sur les poids (module des poids).
D représente la dispersion des prix relatifs (écart quadratique moyen des prix relatifs par rapport à leur moyenne arithmétique simple).
À représente la dispersion des poids (écart quadratique moyen des poids par rapport à leur moyenne arithmétique simple).
Or il résulte immédiatement de la forme même de l’expression de l’erreur relative sur l’indice que les erreurs relatives sur les prix relatifs influent plus sur cette erreur que les erreurs sur les poids, et que la dispersion des prix relatifs influe plus que la dispersion des poids, parce que les facteurs e°, :?, A°, D° sont petits par rapport à l’unité. Ce résultat est d’autant plus heureux que, comme nous l’avons vu, les poids ne sont jamais connus très exactement et peuvent être très dispersés.
La formule (4) ne doit être appliquée que dans le cas où l’on veut procéder à une évaluation générale de l’erreur commise sur l’indice en partant de données fixées a priori sur la dispersion et l’erreur des prix relatifs et des poids. Mais si l’on connaît tous les éléments de l’indice, on peut calculer directement l’erreur qu’il comporte en fonction des erreurs que comportent les prix relatifs et les poids qui ont servi au Calcul de l’indice. Dans le cas de la moyenne arith-
” ie SD. = métique pondérée ! — ST l'erreur relative sur l'indice, Pa 1 % 2P;({+ei)lli({ + si) ZPil AI TES EH (+ ci) “ZA.
Loose "SPilh ZI]; PAR Pill; Il; :
L'erreur élémentaire sera SP. Te HAS rer op) Cest = Œ 1 End 1
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désignant comme ci-dessus e module des ei et des si pare et
à-dire
:, 1e module de l'ser Env er CTP) e 6 » le module de —— s à pe 1 VIE JA Œ Ti Pi) e*. (5) Or les quantités Pi, Il, et à sont connues, on peut donc
caleuler SP;:11:,Y1É 9% et SP IE, et la formule (5) permetira de déterminer l’erreur sur l’indice en fonction des erreurs < et e sur les données.
Le professeur Edgeworth a appliqué les formules précédentes aux chiffres fournis par Palgrave dans son appendice au 3 Rapport sur la Dépression du Commerce. Il a admis que l’erreur probable sur les prix relatifs et sur les poids
était de 10 %. D'où pare et < une valeur de = = 0,21.
Ceci étant, il a appliqué la formule (5) aux données de 4885 et il a trouvé pour l'erreur relative sur l’indice un module de 8 %. L'erreur relative sur le résultat est donc moindre que l’erreur relative commise sur les données. En supposant que les poids étaient seuls erronés (e=0), il a trouvé pour module de l’erreur relative sur l'indice 2,5 %. On vérifie ainsi que l'erreur sur les prix a plus d'importance que l'erreur sur les poids.
D'autre part il a calculé la même erreur par la formule (4) en supposant D—0,05, A=1,38, ces deux chiffres résultant d’un calcul fait sur les éléments de l’indice de l’Economist pour trois années successives. Avec ces valeurs (e= : =0,21; D=—0,05; A=—1,38) le module de l'erreur relative sur l’indice est de 7,7 %, résultat voisin du précédent.
Ces calculs n'étaient qu’une application de formules théoriques. Le professeur Edgeworth est allé plus loin et s’est efforcé de les vérifier expérimentalement. Pour cela, il a par exemple considéré comme vrais les indices obtenus à partir des chiffres de Palgrave et formé des indices erronés en multipliant les prix relatifs et les poids par des chiffres pris au hasard dans une série de chiffres variant autour de 4 conformément à une loi de module égal à 0,21. On obtient une telle série en divisant par 90 des sommes de 20 chiffres pris au hasard. Les différences entre les indices exacts et les indices erronés ont été trouvées très voisines de l’erreur probable théorique. Il a comparé également une moyenne arithmétique simple et une moyenne arithmétique pondérée obtenue en prenant pour poids des sommes de 20 chiffres pris au hasard. Nous avons vu que le module théorique de l'erreur était dans le cas de la moyenne arithmétique simple
à D Xe. Dans l'exemple du professeur Edgeworth on
avait :n=19:4—0,08; : —0,21, D'où =0,014 et une erreur probable théorique de 0,067. Or la moyenne pondérée à été trouvée en excès de 0,08 sur la moyenne simple; la concordance est très satisfaisante.
En admettant pour D une valeur de 5 % (valeur tirée des statistiques de l’Economist), le professeur Edgeworth est arrivé aux conclusions suivantes, concernant l’exactitude d’un indice calculé par la formule © appliquée à 27 éléments :
4. Si les poids seuls sont erronés, l’erreur moyenne sur le résultat est 20 fois plus petite que l’erreur à laquelle chaque poids est sujet.
2, Si les prix relatifs seuls sont erronés, l’erreur sur le résultat est environ 4 fois 1/2 plus petite que l’erreur à laquelle chaque prix relatif est sujet.
3. Si les poids et les prix relatifs sont erronés, et si l’erreur est la même pour chaque espèce de données, l’erreur sur le résultat est 4 fois 1/2 plus petite que l'erreur sur les
éléments. Si l’erreur sur les poids devient 2 fois plus grande que l'erreur sur les prix relatifs, l’erreur sur le résultat n’en est pas sensiblement accrue. Pour que l’erreur sur le résultat augmente de 50 %, il faut que l’erreur sur les poids soit 5 fois plus grande que l’erreur sur les prix relatifs (rendant ainsi l’erreur totale sur le résultat 3 fois plus petite que l’erreur sur les prix relatifs).
Aussi le professeur Edgeworth conclut-il : « Soignez plus les prix que les poids » (1).
Le professeur Irving Fisher a procédé de son côté à l’évaluation de l’erreur à laquelle sont sujets certains indices actuels. Il s’agit d’une évaluation a priori, qui doit toute sa valeur à la grande expérience de son auteur. Le professeur Irving Fisher évalue séparément les erreurs dûes :
