A,A').BC=:(A,A')(M,M
De même, pour multiplier 0(A,A') par B(G,C'), on prend OB = 1 (y?i?'. 35) sur la première de ces droites; puis on
LIGNE D II O ITi; .
CONIQUKS RKCTll, IGNKS. 53
élève à celle-ci les perpeiidiculaires B(C,C'), (A,A'); on lire Û(C,C'), qui rencontre l'axe tic la disjoinlc ( V, A') en (L,L'); on mène ensuite aux composantes OC, OC les pa-
Fis. 35.
rallèles LM, L'M', jusqu'à leur rencontre avec les composantes respectives de la disjointe (A, A'), et Fou en conclui
Faut-il encore trouver le produit de deux segments scalènes,tels que 0(A,A'), B(C,C')?
Sur 0(A,AO (Jig.36) on prend toujours OB^i; puis on élève les perpendiculaires B(C,G'), (A, A'); on tire O(C.C'), qui rencontre l'axe de celle-ci en (L,L'); on mène aux composantes OC, OC les parallèles LM, L'M', jusqu'à leurs intersections M et M' avec les composantes respectives de la disjointe (A, A'), et le produit demandé n'est autre que
0(A,A').B(C,C')~^(A,A')(M,]Vr).
Ajoutons enfin que, pour B(C, C) = 0(A, A', il vient
Malgré leur simplicité relative, les opérations précédentes conduiraient difficilement à l'exti^action des racines. Au contraire, les opéi'ations concernant les segments rectangles permettent d'atteindre aisément ce but. Mais, comme la tran-
Fig. 3G.
lS
silion des segments rectangles aux segments droits est des plus simples, on peut dire que les opérations qui vont suivre sont communes à ces deux sortes de segments.
Il est d'ailleurs avantageux de représenter un segment rectangle par sa première composante. C'est ainsi que
OB 1= OA + AB i, OB' — OA + AB' /,
Fis. 3-.
par exemple(yi^. S'y), désigneront ])our nous deux segments rectangles ayant même partie réelle OA, mais des parties imaginaires ABf, AB'/, de sens contraires entre elles.
MGNK UROITK. — CONIQUES RECT I L IGN i:S. 55
Les droites OB, OB' prennent alors le nom de quantités géométriques. Chacune d'elles se définit par son module et son argument, c'est-à-dire par sa longueur OB ou OB' et l'angle positif AOB' ou négatif AOB', qu'elle fait avec la direction fixe OA. De plus, toute quantité géométrique est réelle ou imaginaire, selon qu'elle coïncide avec OA ou avec une pei'pendiculaire à cette direction.
Cela dit, s'agit-il d'additionner les quantités géométriques OB r^ OA 4- AB/, AD = AC + CDj {fig. 38) ?
On dispose ces quantités de telle sorte que OG soit la somme de leurs parties réelles, puis on mène à AD la pa-
Fig. 38.
rallèle BB jusqu'à sa rencontre en B avec la direction CD; et, comme CBï est la somme des parties imaginaires AB/, CDf, la somme cherchée n'est autre que 0B= OC + CBt.
Comme BR est par construction équipollente à AD, on voit que l'addition des quantités géométriques OB, AD consiste à les composer cinématiquement.
Veut-on maintenant multiplier, l'une par l'autre, les quantités géométriques OB = OA -t- AB/ , OD = OC -\- CD/
^fig' 39)?
Le produit de OB par OC est la quantité géométrique
0[2i = Oa -t- ai3/; et la similitude des triangles OAB, Oa[3,
qui ont un angle droit compris entre côtés proportionnels,
donne 0['i:^OB.OC.
56 CIIAPITRK II.
Si l'on multiplie de même OB par CD/, on trouve pour produit a[5'= xx -^ y'?-^' h et la similitude des triangles OAB, aa'i3'donnea3'=OB.GD.
Les produits partiels 0(5, a^', étant placés de telle sorte (|ue Oa' se trouve être la somme de leurs parties réelles, si Ton mène à a^' la parallèle (5R jusqu'à sa rencontre en K
Hg. 39.
avec la direction a'i3', la somme de leurs parties imaginaires est a'Rï, et le produit cherché 0R:= Oa'-t- a'Ri.
Mais, il y a plus, le produit OR peut se déduire directement de ses facteurs OB, OD.
En effet, les triangles OGD, 0(iR sont semhlables comme ayant un angle droit compris entre côtés proportionnels, puisque 0,3==0G.0B et que ^SR = a^' = GD.OB. Il en résulte, d'une part, (iOR^GOD; d'où aOR= AOB + GOD; d'autre part, OR = OD.OB; et, par suite :
Le produit de deux quantités géométriques a pour argument et pour module la somme des arguments et le produit des modules de ses facteurs.
LIGNK DROITE. — CONIQUES RliCTI LIGNES. 57
Les autres opérations relatives aux quantités géométriques se déduisant des précédentes, je n'en donnerai pour exemple que la recherche d'une moyenne proportionnelle et d'une moyenne symétrique entre deux quantités géométriques.
Soient OB = OA 4- ABf, OD = OC -^ CD i {fig. 4o) les quantités données.
La moyenne proportionnelle cherchée est la quantité géo-
Ing. 4o.
métrique avant pour argument la demi-somme AOM des angles AOB, COD, et pour module
y/OB . OD =r v/OB . OD' =: ON.
Elle n'est donc autre que le rabattement de ON sur OM, c'est-à-dire OE = OG J- GE/.
La moyenne symétrique entre les segments donnés s'obtient de même en multipliant OE par i : ce qui donne la quantité géométrique OF=OHH-HFt perpendiculaire à cette dernière moyenne.
Coniques rectilignes.
Le système de deux droites quelconques situées dans un même plan s'appelle, pour plus de brièveté, conique recli-
C H A P 1 1 Ri: II.
ligne. Le point d'intersection de ces droites est le centre de la conique.
Une conique rectiligne peut être formée de deux droites réelles simples ou disjointes, d'une droite réelle et d'une radiée ou de deux radiées.
Parmi les coniques de celte dernière catégorie, le système de deux droites rectangles inverses l'une de l'autre mérite surtout de fixer l'attention. Je lui donne le nom de conique rectangle imaginaire ou simplement de conique rectangle.
Le centre d'une pareille conique est tantôt réel, tantôt imaginaire.
Ainsi, les droites rectangles 0(M,M' i, 0( M',M ) {fig. 4i )
Fig 4i.
ayant pour origine commune le point réel O, forment une conique rectangle dont le centre est celte origine.
De même, la conique rectangle résultant de la combinaison des droites inverses O et O', qui se coupent en un point imaginaire (a),a)') a pour centre ce point \fig. 42)-
LIGNE DROITE. — CONIQUES H E CT I L I G i\ E S. 69
J.cs intersections d'une conique rectangle et d'une droite réelle ne sont autres que celles de ses composantes avec cette droite. D'où ii suit que, pour obtenir les intersections de la conique rectangle O et de la droite réelle AB, par exemple {fig. 40' "^ suffit de mener OP perpendiculaire à AB, puis de rabattre la première droite sur la seconde suivant PIM et
Fig. 42.
PM'. Les points (M, M') et (M', M) sont les intersections cherchées.
On trouve de la même façon les intersections de la conique rectangle (w,a)'j {fig- 4^) et de la droite réelle AB. Ce sont les points (M, M' j et (N,N').
La conique rectangle ne laisse pas d'offrir une grande analogie avec la circonférence. Elle a, comme celle-ci, des
6o ClIAl'lTUE 11.
cordes et des diamètres se coupant à angle droit et porte souvent le nom de circonférence infiniment petite.
La corde interceptée par une conique rectangle sur une droite réelle est la différence des segments compris sur celte droite entre l'un quelconque de ses points et ses intersections avec la conique.
Ainsi, la corde interceptée par la conique O sur la droite réelle AB {fi g. 40 est le segment imaginaire ayant pour composantes M'M et MM'.
De même, la corde interceptée sur la droite réelle AB par la conique (o),(o') {fig- 42) est le segment scalène formé par les composantes NM et N'M'.
D'après ce qu'on a dit précédemment, le milieu d'une corde a toujours pour composantes les milieux des siennes.
Le lieu des milieux d'un système de cordes parallèles étant , par définition, un diamètre conjugué de celles-ci, la perpendiculaire menée du centre d'une conique rectangle à l'une quelconque de ses cordes est un diamètre conjugué de cette corde et de ses parallèles.
Car la perpendiculaire O P, abaissée du centre de la conique O sur la droite AB {fig. 40' coupe cette dernière en un point réel P dont les composantes sont évidemment les milieux de celles de la corde interceptée (M', M) (M, M') et l'on voit aisément que OP passe aussi par les milieux des cordes parallèles à cette dernière.
De même, la perpendiculaire abaissée du centre de la conique (w,w') sur la droite AB {fig- 4^) coupe la corde (N,N') (M,M'j en son milieu (L,L'); ou, en d'autres termes, les composantes INM^ N'M' de cette dernière ont pour milieux respectifs L et L'.
En effet, le centre (to,w') de la conique est déterminé par le point auxiliaire (/,/). Mais les triangles /NM, /'N'M' sont isoscèles. Donc, les points L et L' sont les milieux de leurs bases NM, N'M'. On verrait de même que la disjointe
l-IGNIi DUOITi:. — CDMQUIÎS IIECTIMGNES. f) !
(Wîw) (/,/') passe aussi par les milieux des cordes parallèles à(N,N') (M, M').
Ces propriétés descriptives de la conique rectangle font assez pressentir celles des autres coniques rectilignes. Toutes admettent une infinité de systèmes de diamètres conjugués et les intersections mutuelles de ces coniques se ramènent à celles des droites qui les composent.
Etant données sur un plan deux droites cpielconques, on peut les rapporter à un même système d'axes, exprimer chacune d'elles par l'équation qui la caractérise, puis en conclure l'équation de la conique recliligne qu'elles concourent à former.
Si les deux droites en question sont concourantes et qu'on prenne leur point d'intersection pour origine, leurs équations respectives étant
y r= aa:, y := bx,
celle de leur système est
(>' — ax) (y — bx) r= o, ou
y^ — (a + 6) xy + abx- ^=^ o.
Réciproquement, l'équation homogène
Aj- -\- ^xy + C^- = o
dont les coefficients sont réels, imaginaires ou mixtes, représente toujours une conique rectiligne ayant pour centre l'origine des coordonnées.
En effet, mise sous la forme
a(^V'+BK) --C=o,
cette équation, comme on le verra plus loin, ne cesse jamais d'avoir deux racines a et b de modes quelconques, ^lais elle
cil V PITRE II.
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ors S écrire
et l'on en conclut qu'elle représente un système de deux droites radiées ou réelles.
Remarquons enfin, avant de clore cette étude, qu'avec les coniques rectilignes apparaissent de nouvelles propriétés segmentaires ou métriques des figures.
Soient, par exemple, (M, M), (M', Mjles intersections de la conique rectangle O et de la droite réelle Â.B {fig. 43)-
Fis. 43.
On sait que, pour obtenir ces intersections, il suffit de mener à AB la perpendiculaire OP, puis de rabattre celle-ci sur celle-là suivant PM, PM'.
Les sécantes A (M, M';, A(M', M) ayant pour demi-somme AP et pour demi-différence PMi, leur produit
A(M, M'). ArM', M)
— ÂP — PMi'^ ÂP V PM = \P"+ OP = ÔÂ'
reste constant lorsque la droite AB tourne dans le plan de la figure autour du point fixe A. Ce produit se nomme la puissance de A relativement à la conique rectangle.
Si l'on mène OB perpendiculaire à OA et qu'on joigne au point O le mifieu G de AB, ce qui donne GO ^ GA, les
LIGNE UUOITU:. — CONIQUES HECTILIGXES. 63
quatre points A, B, ( M, M') (M' M), satisfont aux. relations
