C H A P I T R K II

De même, si l'on prend sur Ox iflg.iO) les longueurs OU = (7, RS = RS'=6; sur Or, les longueurs OT=c. TV=:=TV''= c/; puis, que par les points S, S', V, V, on mène aux axes des parallèles qui se coupent en N, N', N", ]\'", on trouve, outre les points réels N, N', IS", N"', les points imaginaires :

)• = c ^- di.

y :-- c — di, y ^= c — di.

y ■= c -{- di,

y :^- c H- ûf, r r^ C -r- d.

y zzz c ~ di, y — c - di\ y ^-= c — di.

y=zc-^ di \

et l'on obtiendrait aussi facilement les coordonnées de toiil autre point du plan des axes.

Quant aux changements d'axes, ils s'appliquent aux coor-

Fig. 21.

^ = « -H- bi,

as =:z a — bi,

x^^a -^ bi,

X ^=a — bi,

X r=ia-\- bi,

(iN'"

X =^ a — bi.

(lY

JI

to

.fj

Cj'

Jï' 0

(J(jnnées imaginaires ou mixtes comme aux coordonnées

mgm: dkoiti:. - (:oxiqi:i:s UKcriMOMis. 4i

Il est bon d'ajouter toutefois que les axes peuvent être simples ou disjoints sans amener, dans les formules de transformation, d'autres changements que la substitution de certaines valeurs imaginaires ou mixtes à des valeurs réelles. S'agit-il, par exemple, des axes xx', yy' ifig. 21), qui se disjoignent en restant parallèles à eux-mêmes et deviennent, l'un x^x^, l'autre J'iji'i? Tandis que leur origine O se transforme en un point imaginaire (w, «') ayant pour abscisse O (A, A') r= a -h 3^ et pour ordonnée (A, A') («, o)') ::= y -î- s^^ les coordonnées x = OP, j- = PM, d'un point quelconque M de leur plan se remplacent par d'autres Xi = (o), w) (/?, p'), y ^= (p, p')M, généralement plus compliquées. Mais, entre ces nouvelles coordonnées et les anciennes, on a toujours les relations de la forme

X ■=z a -h Xi. y z^b — Yi,

à condition d'y remplacer les constantes a et h par leurs valeurs respectives

Propriétés segmentaires et métriques de la droite. — Ce qui distingue essentiellement la ligne droite de toutes les autres lignes, c'est que les segments qu'elle intercepte sur les axes, à partir de l'origine, ou sur des parallèles à ces axes à partir du point où elles se rencontrent, ne cessent jamais d'être proportionnels.

Ainsi, la droite réelle qui coupe les axes et leurs parallèles menées par le point O' en A, B, A', B' {fig. 22). donne la proportion

0\ O'A' ÛB ~ CFÈ-'

et l'on verrait aisément qu'il en est de même de la droite radiée.

cil A P I T II li II.

Mais, pour exprimer plus simplement les propriétés segmenlaires et métriques de la droite, il suffit de faire passer l'axe des abscisses par un de ses points réels, pris pour origine, et de ne considérer que des parallèles à l'axe des ordonnées.

Dans ces conditions, la droite devient le lieu des points dont l'ordonnée est à l'abscisse dans un rapport constant. De

plus, elle se traduit algébriquement par une équation du premier degré à deux \ariables, qui forme l'expression générale de ses propriétés méti4ques.

Pour le faire voir, considérons d'abord la droite réelle OM passant par l'origine O du système x x\ y y' supposé rectangulaire {fi g- 23).

Si l'on prend sur cette droite le point réel A, puis les points imaginaires (B,B'), (C, C), dont l'un a ses composantes symétriques par rapport à l'origine 0,et dont l'autre est quelconque, les coordonnées du premier point sont x=Oa, y ^ k.a\ celles du second x=^Obi^ y^B6f; celles du troisième ^ = O (c,c'), j^ = {'c, c') (G, C), et ces dernièi-es peuvent s'évaluer en projetant le milieu D deCC, d'abord en d sur Oo;, puis enEsur Ce, ce qui donne O(cc') = Od-^ dci, (c,c')(C,G') = cE-^EG/.

Or, tous les triangles de la ligure étant semblables, on en

LIGNE UKOITE. — - CONIQUES UECTILIGNES. 4^

conclut immédiatement

ka Wb[ cE+EC; Oa Obi Od->r dci

De plus, en désignant par m la valeur commune de ces rapports égaux, qui est réelle, et par x, y les coordonnées

Fis;. 23.

dun point quelconque de la droite OM, on trouve pour I équation de cette droite

Enfin, si l'on prend sur y y' -, à partir de l'origine O, une ordonnée/?, réelle, imaginaire ou mixte, et que, par l'extrémité de cette ordonnée, on mène une parallèle à OM, on voit que cette parallèle est, selon les cas, simple ou disjointe, mais que le rapport de l'ordonnée diminuée de p d'un quelconque de ses points à l'abscisse correspondante restant égal à m, son équation n'est autre que

mx.

La droite rectangle s'exprime par une équation du premier degré dans laquelle le coefficient angulaire m se remplace par i.

Soit, en effet, O (A, A') (yfig. 24) la tige d'une droite rectangle dont l'origine réelle coïncide avec celle du système de coordonnées et dont l'axe se confonde avec O x.