T5IT

les garçons.

On voit donc que les nombres relatifs des enfants des deux sexes nés dans ces villes correspondent à-peu-pres avec ceux obtenus à Londres. Depuis 1657 jusqu'à 1737 inclusivement 994056 hommes et 965298 femmes ont été enterrés à Londres 2) ; depuis 1Ô28 jusqu'à 1661 inclusivement 209436 hommes et 190474 femmes dans cette même ville 3).

Les filles C'est par les registres de Breslau, de 1717, que j'ai remarqué

vivent plus \^ première fois que les filles vivent en moyenne plus longtemps ong emps que ^^^ j^^ garçons, et Cela de la manière suivante. Considérons 200 enfants nouveau-nés, à savoir 100 garçons et loo filles. Il est certain qu'en général le nombre des filles qui atteignent l'âge de 10 ans est de beaucoup supérieur au nombre correspondant des garçons. Cela ressort des registres des trois villes mentionnées ci-dessous. Les deux premières colonnes font voir qu'en-dessous de dix ans 100 garçons meurent contre 86 filles. Nous ne parlons que des enfants nés vivants. La troisième colonne donne les nombres des filles qui devraient être mortes suivant cette règle, étant donnés les nombres des garçons, et la quatrième colonne donne les différences entre ces nombres calculés et les nombres observés.

Filles d'après!

A Breslau sont morts en 8 ans

A Dresde en 5 ans et à Leipzig

en 6 ans

Garçons

Filles

la règle

Différences

1) Phil. Trans. No. 380, 381, 400 et 409.

2) M. Maitland, Histoire de Londres, p. 541.

3) John Graunt, Nat. & Pol. Obs. p. 44. Londres, 1662.

Il paraît que dans ces contrées-ci les garçons sont plus exposés Les garçons

que les filles à mourir avant ou pendant la naissance: des 10590 ^^"^ P

, y r, t o i /-Il , exposés que les

entants nés a Breslau en o ans, 'i^o garçons et 222 nlies sont ^,,

' j^ o ï filles a naître

nés morts. Des 7945 enfants, nés en 5 ans à Dresde, 252 garçons morts et 182 filles sont nés morts. Parmi 5576 enfants, nés en 6 ans à Leipzig, les nombres des enfants nés morts étaient de 217 et de 161 respectivement. En prenant la moyenne des enfants nés à Breslau^ à Dresde et <à Leipzig, on voit que le nombre des garçons mort-nés y a été au nombre correspondant des filles environ comme 13 est à 9. Les écarts de cette règle sont donnés par le tableau suivant.

Garçons

Filles

Filles d'après la rèçle

Différences

Tï

Enfants

Al.

Décès

morts

Décès

morts

I Enf^ints Décès morts

Neurembourg 1045

Ratisbonne 220

Ville I ,,, de Joh. Geor. |

I, Attendu r)u'à Londres le nombre annuel des décès surpasse celui des naissances il paraît que de 100 enfants nés vivants 47 seulement alteii^nent l'âge de lO ans.

enfants .

Breslau ] M 350

Dresde ..... ' Nés morts 252

Leipzig ^ r ! 217

Sur 35 enfants nés à Breslau, 2 en moyenne naissent morts ; à Leipzig 1 sur 14 ou 15; à Londres i seulement sur plus de 30.

La table de la page 176 fait voir que parmi 100 enfants nés Décès des vivants, plus de 50 ou 51 meurent en-dessous de 10 ans. i) D'autres données numériques m'ont également montré qu'en général la moitié des enfants atteignent l'âge de 10 ans. En 8 années 11508 personnes sont mortes à Breslau, parmi lesquelles 5752 enfants en-dessous de 10 ans. Les enfants mort-nés ne sont pas compris dans ce chiffre ni dans ceux qui suivent. En 17 18 le nombre des enfants morts en-dessous de 10 ans a été le plus petit: il n'y en avait que 562 sur 11 83 personnes enterrées. Voici les nombres des enfants morts dans quelques villes allemandes ; je n'ai pas considéré les années où la mortalité a été extraordinaire.

Leipzig Dresde Autres villes

Maladies Les registres anglais de la mortalité permettent de déterminer

diverses. queUg gs^ la partie des hommes qui meurent de différentes maladies. Les fièvres, la petite vérole et les spasmes font mourir plus de la moitié des hommes ; mais les deux premières maladies sévissent fort inégalement. Les chiffres que je possède font voir qu'à Londres pendant 4g années la petite vérole a fait le plus grand nombre de victimes (127 sur looo décès) en 1710, et le plus petit nombre

{7 sur 1000) en 1684; en moyenne — des décès est dû à cette maladie. En 21 ans, entre 1702 et 1734, —„- des décès était dû

à la rougeole, en moyenne. En 1 704 il y en avait beaucoup moins,

I sur i8go; mais en 1733, i sur 48; c'est là la plus grande fraction atteinte pendant la période en question. Sur 83 personnes 3 sont mortes d'hydropisie. Sur iio femmes accouchées une environ est morte. Sur 70 ou 71 enfants baptisés, il y avait en général une paire de jumeaux. A Harlem, en prenant la moyenne de 33 ans, ou compte une paire de jumeaux sur 76 enfants baptisés.

II me surprend que pendant les quatre années 1702 — 1706 le

nombre des décès dus à la colique a été 3 fois plus nombreux

que pendant les années 1731 — 1734. H se peut que dans la première de ces deux périodes on ait compris d'autres maladies sous le même nom. Ou faut-il expliquer la différence par la diversité de la composition de l'atmosphère? Ou bien l'art de guérir cette maladie a-t-elle fait de si grand progrès ?

Enfants Les enfants naturels forment à Berlin — environ du nombre

naturels. , r^^i-/ ii-i-ii-i

des entants baptises, et dans tout le domame du roi de rrusse

environ — . A Dresde, en 1721 et 1723 les enfants naturels

formaient un peu plus de — de ce nombre; mais en 1724 et en 1725 les moeurs y paraissent être devenus moins sévères, car

alors ladite fraction était devenue — .

Pour mieux connaître l'état du genre humain, on devrait savoir combien de mariages réguliers il y a en chaque localité et en chaque pays, combien de célibataires, etc. En Allemagne, en beaucoup de localités, on a coutume de mentionner séparément les décès des mariés et des célibataires: à Breslau par exemple pendant 8 ans ces nombres ont été les suivants.

Enfants

Hommes

Femmes

Veufs et

en-dessous

Nombre total

mariés

mariées

Veuves

Célibataires

Demoiselles

de 10 ans

des décès

Pendant 8 ans à Breslau 3287 mariages ont été dissous par la mort d'un des deux époux, ce qui fait 411 par an, en movenne. A leur place en 6 ans (car je ne trouve pas le nombre des mariages en 1717 et 171 8) 2460 couples ont été mariés, ce qui fait en moyenne 410 par an. Ce nombre est à-peu-près égal à celui des mariages dissous. Serait-il permis de conclure que dans une localité où le nombre des habitants reste stationnaire, le nombre des couples qui se marient annuellement égale en moyenne celui des mariages dissous ? Si le premier nombre surpassait chaque fois le second, il paraît bien qu'une telle localité devrait devenir de plus en plus populeuse, et que dans le cas contraire le nombre de ses habitants devrait continuellement baisser, [.es nombres des décès à Dresde ont été pendant 5 années les suivants :

Hommes Femmes mariés mariées

Veufs

Veuves 238 1] Ï38

Céliba-

Demoi-

taires

selles

Enfants

Nombre total des décès

Pendant les cinq années en question 2100 mariages ont été conclus à Dresde, et 1929 mariages seulement ont été dissous par la mort ; mais le nombre des années est un peu troj) petit

l) On trouve ce nombre dans les Pliil. Trans. No. 381, p. 30. Je pense toulefoLs qu'il faut lire 150 au lieu de 238; si non l'addition donnée dans cette Trans. est incorrecte (Note de l'auteur).

Dans le texte les additions ont été faites avec le nombre 23S (\. d. Ir. \

igo

pour que nous puissions en tirer une conclusion certaine. Il paraît que le nombre des mariages diffère beaucoup d'une année à l'autre : en 1724, 413 mariages ont été conclus, et 51g en 1725. En 1721 il paraît y avoir eu une grande mortalité parmi les célibataires et en 1725 parmi les demoiselles. Les nombres des décès à Vienne ont été les suivants pendant trois ans

Année

Hommes 1038

Femmes g42

Garçons ^55^

Filles 1438

Somme . . .

4969 ! 5443 I 5865 F^n 1724 il paraît y avoir eu une grande mortalité parmi les femmes. Inégalité du Si l'on veut calculer les taux des rentes viagères d'après les

nombre des registres de la mortalité des villes dont le nombre des habitants augmente rapidement telles que Londres, il faut se procurer les données nécessaires pour éliminer l'accroissement résultant de l'immigration qui a lieu continuellement. A Londres il meurt en général trois fois plus de monde entre 30 et 40 qu'entre 10 et 20 ans. Ce rapport n'est pas si grand pour toute l'humanité: la raison de cette différence est que le rapport du nombre des personnes vivantes de la première catégorie à celui des personnes de la deuxième catégorie est plus grand à Londres que dans les localités où le nombre des habitants demeure stationnaire et où il n'y a pas d'immigration.

Les deux sexes RiCCIOLUS raconte qu'en Espagne il naît plus de filles que de

à Bologne, garçons, mais que le contraire a lieu en d'autres pays, et qu'aux environs de Bologne, le pays où il demeurait, les deux nombres sont égaux. Il ajoute qu'en 1654 on a compté dans la ville de Bologne 26g48 hommes et 2g235 femmes, tandis que en 1657 il y avait 26ggi hommes et 30432 femmes. Il ne semble que ce ne sont pas là des nombres fantaisistes : l'auteur était professeur à l'université de cette ville. Si l'on suppose que ses nombres ne méritent pas confiance, il faut songer qu'il se serait rendu méprisable auprès de ses collègues et d'autres habitants de la ville, attendu que probablement ces chiffres ne seront pas restés inconnus à beaucoup d'entre eux. Le même auteur raconte aussi i) qu'en cette dernière année on comptait à la campagne autour de Bologne 76gg6 hommes et go8T5 femmes: ici la différence des

igi

nombres des deux sexes est encore plus considérable. En 1650 et

1657 il y a eu une peste en Italie qui venait de la Sardaigne et qui

a enlevé 2) beaucoup d'habitants à Rome, à Gênes et à Naples ; on

peut supposer que cette peste ait sévi aussi à la campagne autour de

Bologne, mais je ne suis pas en état d'affirmer que le nombre des

hommes morts de cette épidémie a été supérieur à celui des femmes.

Pour faire connaître à-peu-près les rapports des nombres des Kapportsdes ,, , , ,. ,, V \ . 1 ) r • ^ „, „ nombres des

adhérents des divers cultes a Amsterdam, on m a tourni a ma

adhérents de demande les chiffres des baptêmes qui ont eu heu dans toutes ^.^.^^^ ^^^j^^^ ^

les églises réformées de cette ville en 1736 et 1737. \msterdam.

An 1736 An 1737

Dans la Vieille Eglise (Oude Kerk) 439

„ ,, Nouvelle Eglise (Nieuwe Kerk) 891

,, l'Eglise du Nord (Noorder Kerk) 652

., ,, de l'Est (Ooster Kerk) 107

,, ,, du Sud (Zuider Kerk) 515

,, ,, de l'Ouest (Wester Kerk) 750

,, „ de l'Amstel (Amstel Kerk) 221

,, ,, de l'Ile (Eilands Kerk) 8

,, la Chapelle ,,Oudezijds'' (Oudezijds Kapel). , 14

,. ,, ,, ,,Nieuvvezijds"(NieuwezijdsKapel) 91

,, ,, grande Eglise wallonnefGrooteWalen Kerk) T15

,, „ petite „ ,. (Kleine ,, ,, ) 53

,, l'EgHse anglaise (Engelsche Kerk, Begijnhof) i

Somme.... 3857 3832

Dans la Vieille Eglise 219 garçons et 220 filles ont été baptisés en 1736, et l'année suivante 223 garçons et 214 filles. La raison du petit nombre de baptêmes dans l'Eglise de l'Ile en 1736 doit être cherchée dans une reconstruction de cette église à cause de lacjuclle on n'y a pas prêché pendant quelque temps. Depuis 1732 jusqu'à 1737 inclusivement, 8319 enfants et 16 adultes ont été baptisés chez les luthériens; ce qui fait en moyenne 1386 enfants par an. Chez les remonstrants, en 1736 et 1737, 53 enfants en tout, c. à. d. 26 ou 27 par an. Chez les Mennonites flamands et les M. du Waterland, en 28 années (1710 — 1737)- 1486 adultes ont été baptisés, c. à. d. 53 par an en moyenne. Le nombre; d(\s

r RicciOLUS, Géographie, p. 67S.

2 RicciOLUS, Chronol., j). 319.

membres est de plus de 1600. Chez les Mennonites du Soleil on a baptisé 13 personnes en 1736 et 21 en 1737. Chez les frisons en 8 années (1730 — 1737), 34 personnes. En y ajoutant encore 6 personnes (eu égard à ceux qui prennent un bain complet, ou qui ne se laissent pas baptiser du tout, et à ceux de Dantzig), on voit que le nombre des nouveaux membres mennonites est de 80 par an. On peut donc admettre que le nombre total des adhérents de ce culte est de 4800 à- peu-près, et qu'ils ont environ 175 enfants par an. Je passe les Quakers et ceux qui baptisent eux-mêmes leurs enfants, ceux de l'église anglaise épiscopale, et ceux de l'église arménienne, attendu que toutes ces communautés sont fort petites et que le nombre annuel des naissances y est par conséquent très-faible. Depuis 1734 jusqu'à 1737 inclusivement, 12 17 juifs allemands et polonais ont été enterrés à Muiderberg et 114 à Zeeburg, c. à. d. 1331 en tout, ou 332 par an en moyenne. Des deux dernières années (dans les deux premières la petite vérole régnait parmi eux) je conclus qu'ils forment environ de la population entière d'Amsterdam. Les juifs portuguais sont aux juifs allemands et polonais dans un rapport de 3 à 8. Les catholiques célèbrent leurs cultes en différents endroits à Amsterdam ; parmi ceux-ci il y en a trois ou quatre où l'affluence est grande. Si l'on savait combien d'enfants catholiques naissent ou sont baptisés annuellement, ou seulement quel est le nombre des décès, on connaîtrait à-peu-près les rapports des adhérents des divers cultes à Amsterdam. On voit que le nombre des enfants qui y naissent annuellement, les catholiques exceptés, et qui vivent jusqu'à l'âge où l'on a coutume de les baptiser chez les réformés et les luthériens, est de 5900 à-peu-près. Le nombre des enlants nés vivants doit être plus grand encore, attendu que beaucoup d'enfants meurent avant d'avoir atteint l'âge où l'on baptise dans les communautés nommées. Autant de fois qu'on trouve 100 réformés dans la ville, les nombres des adhérents des autres cultes, les catholiques exceptés, seront tels que l'indique le tableau suivant i) construit uniquement d'après les chiffres précédents :

l) Le chiffre des luthériens peut être trouvé en multipliant par un certain nombre celui des enfants nés dans cette communauté ; mais ce nombre ne devrait-il pas être plus petit que le nombre correspondant dont on se sert pour calculer le chiffre des réformés? (Note de l'auteur).

Rien ne fait voir quelle raison l'auteur avait de se poser cette question. (N. d. tr.).

Réformés loo

Luthériens 36

Mennonites, Remonstrants, etc. plus de 5

Juifs portuguais plus de 3

Juifs allemands et polonais. . . . moins de g

On voit par là qu'il n'est guère possible de trouver les rapports entre le nombre des catholiques et celui des adhérents des autres cultes en partant des chiffres relatifs aux mariages. En effet, en 6 années, depuis 1732 jusqu'à 1737 inclusivement, 10077 couples ont été mariés dans les églises réformées à Amsterdam, et 5451 à l'hôtel de ville, donc en moyenne 1680 couples par an dans les églises réformées et 908 couples à l'hôtel de ville. Pendant les mêmes six années, 302 mariages ont été conclus annuellement, en moyenne, dans l'église luthérienne ; nombre qui ne s'accorde nullement avec celui des mariages conclus dans l'église réformée, eu égard aux nombres des baptêmes qui ont lieu dans les deux églises. Cette différence provient toutefois en partie de ce que beaucoup de luthériens se marient seulement à l'hôtel de ville, et non pas dans l'église luthérienne.

On pourrait proposer diverses méthodes aisées à appliquer pour Commentiez

tenir des registres plus instructifs. Mais comme elles ne convien- '^^istres pom

raient être rennent pas toutes également bien à différentes localités, je n'en j^^^ j^^

ferai connaître qu'une seule qui peut être utile aux princes lors- instructifs.

•qu'ils désirent savoir si le nombre des habitants d'une ville (ou

d'un pays) augmente ou diminue. Il faut compter d'abord le nombre

■des habitants et noter séparément ceux qui sont nés dans la ville

même et ceux qui sont nés ailleurs. Ensuite il faut noter tous

les ans le nombre des naissances et celui des décès, et parmi ces

derniers il faut noter séparément ceux des étrangers. Supposons

qu'on ait compté 22000 hommes dans une ville, parmi lesquels

2000 qui sont nés ailleurs, et qu'en 10 ans on y enterre 6340

indigènes et 1290 étrangers, tandisque le nombre des naissances

est de 7872. Au bout de ce temps on compte de nouveau le

nombre des habitants et l'on trouve 18760 indigènes et 1684

étrangers. Il s'ensuit que le nombre des habitants a diminué de

^55^- 4^6 ^6 nombre des naissances a surpassé celui des décès

par 242, et qu'il y a eu 974 immigrants et 2772 émigrants.

viagères.

Calcul des Rentes viagères.

Rentes l\ peut être fort utile en certains cas de connaître les lois de

la mortalité du genre humain. Si l'on avait mieux connu ces lois dans les temps passés, le taux des rentes viagères aurait été moins élevé. En Angleterre, sous le roi GUILLAUME III, on donnait encore 14 ^/q i). Le Pensionnaire De WlT affirme que la plupart des rentes viagères, payées par l'Etat en son temps, étaient au

denier g, c. à. d. à un taux de 1 1- %, quoique l'expérience — à en

juger d'après quelques milliers de personnes dont il connaissait la mortalité d'après certains registres des états — lui eût fait voir que, l'intérêt étant de 4 %, le taux des rentes viagères eût dû

être inférieur à i sur 16, ou à 6— %, et- que pour de jeunes personnes il n'eût pas fallu donner plus de i sur 18 ou 5- 7o- Tous

ceux qui sont versés dans cet art, savent que le calcul des rentes viagères a toujours été laborieux. Quelle tablature les deux comptables des Etats de Hollande doivent avoir eu pour faire les calculs d'après la méthode du Pensionnaire! S'ils voulaient arriver à des solutions tant soit peu exactes, ils devaient se servir de grands nombres et faire des multiplications difficiles et de grandes additions 2). Le problème proposé était le suivant. Supposons que durant 99 semestres on doive payer tous les six mois la même somme, p. e. un florin ; la même somme durant 98 semestres à un autre; de même à un troisième durant 97, à un quatrième durant 96 semestres et ainsi de suite jusqu'à i, et qu'on demande quel est le montant de toutes ces sommes en argent comptant, le taux de l'intérêt annuel étant de 4 "/o- Poi^r calculer l'intérêt pendant un semestre on prend la moyenne géométrique. Posons 100 = a, 4 = b; alors 104 = a + b. Posons en outre p = 99,

V— — = r. -^—=s. Te trouve que la somme comptante doit a + b ' I — r '■

être s, p — s -h rPs. En se servant alors de logarithmes, on évite

tout ce long travail de la manière suivante. On a r = 0,98058068,

donc I — r = 0,01941932. Le logarithme de r est — 0,008517.

Retranchez-en le logarithme de i — r, c.à.d. le nombre — 1,711 766.

i) Phil. Trans. No. 196, p. 604.

2) ,,La Valeur des Rentes viagères par rapport aux rentes amortissables", par J. DE WlT, p. 12 — 16, la Haye 167 1.

Vous trouvez ainsi le logarithme de s, c. à. d. le nombre -f 1,70324g; d'où résulte 5 = 50,4951.

Los:. = — 0,017037- P = 99

S 104 ^^3 rPs= 7,2460

r = 0,008516- p + rPs = 106,2460

^mult. par99=P S = 50,4951

Log. r P = — 0,843 1 50 p — 8 + rPs = 55,7509

Log. s = + 1,703239 Le log. de ce nombre est 1,746252

1 ~^ ^'^''' Log. 8=1,703249 + 0,860099 ^^ w o^t^

r-P s = 7,2460 Le résultat demandé est 2815

florins, ce qui s'accorde avec la somme trouvée par les deux

comptables.

Pour que cette méthode puisse servir aussi lorsqu'on veut faire Tontine. le calcul d'une tontine, où les personnes qui appartiennent à certaines classes et qui vivent le plus longtemps reçoivent des payements égaux, j'ai inventé une manière facile de l'appliquer.

Supposons que l'on doive payer à une classe 20000 florins annuellement, durant 80 ans ; à une autre la même somme durant 70 ans; et ainsi de suite jusqu'à 20 ans, et qu'on demande la valeur comptante de cette dette, le taux de l'intérêt composé

étant de 2- %.

Posons ioo = a, 2— = b, 20000 = c, 80 = d ; les nombres d'années successives forment une progression arithmétique, avec la raison e, où e = 10. Le nombre des différentes classes auxquelles nous devons payer est p = 7 dans ce problème. Soit x la somme

ad e

comptante demandée. Soit en outre a = r, ^ + ^ = t et tP = s.

Je trouve alors pour la valeur de x

A l'aide de logarithmes on trouve aisément que la somme comptante est de 3764828 florins et 16 sous. En faisant le calcul relatif à une tontine, il faut avoir égard au nombre des personnes qui forment une classe, parce qu'une tontine de {)eu de personnes ne durera probablement pas aussi longtemps qu'une tontine d'un grand nombre de personnes.

rentes viatîeres

La règle précédente est également applicable au problème du Pensionnaire De WlT. Si l'on suppose que le taux de l'intérêt est de 2 ", 0 P^^ semestre, on aiira p = 99, a = 100, b ^ 2, a + b = 102.

Soit c = Tooo. hn ce cas e = i, d = p, — — - = t, t — i = ,

■"^^1 . ac

r = ■ p , et la somme cherchée est exprimée par bp — a + ar. -—.

A l'aide de logarithmes on trouve ar= 14.0794. Il s'ensuit que la somme cherchée doit être 2801985.

Ce qui précède permet aussi de résoudre le problème suivant.

Supposons qu'un certain capital soit placé à un intérêt annuel de 4*%, mais que tous les ans on doive retirer 7 (»/o du capital, et la dernière année 2^/0. On demande quelle somme celui qui achète ce capital immédiatement après la validation du contrat, devra payer pour obtenir pendant le même temps un intérêt de 3®,o-

Méthode de Qn peut calculer les rentes viagères de diverses manières. La calculer les ^i^thode suivante est longue, mais elle me semble simple et facile à comprendre. Je suppose que le but d'une société soit de vendre des assurances sur la vie à 1000 personnes âgées de 30 ans, de telle manière que la société paye un intérêt de 2— 0/0 de l'argent reçu. On dispose de registres permettant de voir exactement quelle est en chaque année la mortalité parmi les personnes assurées. Si 976 personnes vivent encore après la première année.

augmentez ce nombre de à cause de l'intérêt; ajoutez à la

somme le nombre des personnes qui vivent encore après deux ans;

aut^mcntez ce nombre de nouveau de ; ajoutez-v ensuite le

nombre de ceux qui vivent encore après trois ans, et ainsi de suite, jusqu'à ce que toutes ces personnes sont décédées. J'appellerai A le résultat final. .Multipliez ensuite le nombre 1000 par loo florins; vous trouverez 1 00000 florins. Cherchez à l'aide de logarithmes ce que devient ce capital, si l'on prend un intérêt composé

de 2 "^0 pendant toutes les années comprises entre celle où furent

vendues les assurances jusqu'à celle où la dernière personne est morte. Divisez le résultat ])ar le nombre A ; vous trouverez ainsi quel est le taux des rentes viagères qu'il faut payer à des personnes de 30 ans. J'ai calculé d'après la table désignée ci-devant

par le X*». 2. que si la société veut donner un intérêt de 4 " ole taux des rentes NÎagères pour une personne de dix ans devra être tant soit peu intérieur à 5— ** 0- I^ s'ensuit que notre théorie s'accorde fort bien avec le résultat de l'expérience du Pensionnaire De Wit.

Si quelqu'un estime cette méthode trop longue, qu'il sache qu'on peut la simplifier de différentes façons. On peut prendre une movenne des décès pendant quelques années consécutives, et une nouvelle movenne lorsque le rapport du nombre des décès à celui des personnes restées %-ivantes augpmente considérablement. Soit a le nombre des personnes qui rivent encore un an après la vente des rentes viagères, — le taux de l'intérêt, q le nombre d'années choisi, r le nombre moyen des décès annuels pendant le temps con-

sidéré, — — = c, et cp -j- q — I = h. Une partie du nombre A. dont

P- I P nous avons parlé plus haut, à savoir la partie qui se rapporte aux

années considérées, est alors exprimée par ap — ppr. c*» + rh — a. p. Les mathématiciens verront aisément quelle est la grandeur du nombre q qu'il faut prendre pour trouver un nombre A qui permette de calculer le taux des rentes viagères. Agissez ensuite de la manière suivante.

Ajoutez au capital pour lequel on a vendu des assurances sur la vie, l'intérêt annuel composé pendant le nombre considéré d'années (ce qui se fait à laide de logarithmes). En divisant ce résultat par celui que donne la dernière formule, vous trouverez à-peu-près la rente viagère. Mais si l'on désire une valeur plus approchée, on peut se se^^•ir ensuite de la formule suivante.

B + bp — rpp. Cl — bp + hpr.

Par le nombre B je désigne la formule précédente ou la partie trouvée du nombre A : b est le nombre des personnes qui reçoivent encore la rente viagère après un an. J'appelle q le nombre d'années qu'on choisit maintenant pour la deuxième fois : la mortalité annuelle moyenne pendant ce nombre d'années est r: le reste comme plus haut. En opérant ensuite de la même manière qu'auparavant, on trouvera une valeur fort approchée des rentes viagères. Même on pourrait, si cela était nécessaire, se ser\'ir encore une fois (ou plusieurs fois) de cette dernière formule : mais il est inutile de calculer les rentes viagères si exactement, parce

igS

que la mortalité ne suit pas toujours les mêmes lois. Pour ne pas être trop long, je n'indiquerai pas la valeur de q qu'il faut prendre la deuxième fois, et je m'abstiendrai de diverses observations.

Pour mieux expliquer ceci, posons x = le taux annuel des rentes viagères. Soit loooox la somme totale que les différentes personnes ont reçue (rentes viagères et intérêts) depuis quelques années. Je prends un intérêt de lo ^/o. Les personnes qui recevront encore des rentes viagères l'année suivante sont au nombre de 3000; il en meurt 100 par an pendant quatre années consécutives. Alors 10000 = a, b = 3000, r=ioo, p=io, c= et q = 4. Le calcul arithmétique d'après la première méthode, et le calcul suivant la formule, sont alors les suivants. Ils paraissent exiger à-peu-près le même travail; mais lorsque le nombre d'années est grand et que le taux de l'intérêt est exprimé par de grandes fractions, l'application de la formule est plus aisée, parce qu'on peut en l'employant se servir de logarithmes.

a:= partie =

loooo : 1000

b 3= 3000 rp = 1000

b — rp == 2000 p =3 10 bp — rpp =z 20000 a =- lOooo

Cp =3 II

■< I an partie

2 ans partie

3 a "S partie

4 ans

pc + q — I = 14

Après

pr 3= 1000

pc + q — I . pr = 14000

— bp 3= — 30000

Après

bp — rpp = 30000

cq = '''''

lOOOO

a + bp

— rpp. cq =43923 — 16000

Après

le résultat demande calculé d'après la formule.

Si l'on construit une table donnant les rentes viagères, pour tous les âges de dix en dix ans, d'abord sans intérêt, puis à un intérêt de 2, 2-, 3, 4, 5 ou 6 0/0, et si l'on prend une table de la mortalité telle que la table No. 2, dont nous avons parlé ci-devant, on verra la grande ressemblance qu'il y a entre les rentes viagères et l'intérêt, ressemblance telle que dès qu'on a calculé quelques rentes viagères, à des taux d'intérêt différents, on trouve de suite et presque sans calculs (quel que soit le nombre

d'années ou quel que soit le taux de l'intérêt), quel doit être le taux des rentes viagères.

J'ai trouvé autrefois la règle suivante. Supposons que le capital d'une personne que j'appelle A, soit placé à intérêt composé, par exemple looo florins à 3 ^/q par an; et qu'en même temps une deuxième personne B cède son capital qui est de 1000 florins également, à condition de recevoir, lui et ses descendants, une

rente annuelle de 3 ^ "/q. Les rentes viagères reçues sont

mises à un intérêt composé de 3 ^/(,. Après quelque temps on trouve que A et B possèdent le même capital. Pour trouver la grandeur de ce capital on n'a qu'à appliquer la règle suivante: retrancher le taux de l'intérêt annuel de celui des rentes viagères, et diviser ce dernier par la difl^érence trouvée. Le quotient a ici la valeur 255000001. En multipliant ce nombre par 1000, on trouve la grandeur des deux capitaux. En se servant de logarithmes, on trouve que le nombre d'années est de 655. Mais si l'on ne dispose pas d'une table de logarithmes et qu'on veut néanmoins calculer approximativement le nombre d'années, il faut diviser le nombre qui exprime l'augmentation du capital en groupes de trois chiffres de droite à gauche. On obtient ainsi 255 | 000 | 001. Multipliez ensuite par 10 le nombre des traits qui ont servi à partager en groupes le nombre en question, ce qui donne 20. Elevez 2 à une puissance telle qu'on trouve à-peu-près le nombre •exprimé par le premier groupe de chiffres (à gauche). C'est 2^ qu'il faut prendre ici. Ajoutez donc 8 à 20, ce qui donne 28.

Multipliez 28 par 70 , ce qui donne 1967. Divisez 1967 par 3 (le taux de l'intérêt). Vous trouvez ainsi 655 ; c'est là le nombre

des années. Lorsque le taux de l'intérêt est peu élevé on peut prendre le nombre 70; s'il est de 5 %. le. nombre 71; de 10 ^/o? le nombre 72. La règle est la même quel que soit le taux de l'intérêt. Si, en élevant 2 à une pu'ssance entière, on ne peut obtenir un nombre à-peu-près égal au premier groupe de chiffres, on doit jirendro une frat:tion convenablement choisie.

.Si l'on a placé à un intérêt composé de 4 ^ "0 un capital de

7388 florins, et qu'après un certain laps de temps ce capital est devenu de 59128 florins et 16 sous, on demande pendant combien "de temps ce capital a produit son intérêt. Le capital est devenu

42 " fois plus grand. En élevant 2 à diverses puissances, on voit que ce nombre est entre 2'^ et 2^. Or, 25^ ou 2^ = 45. L'augmentation du capital est donc exprimée à-peu-près par le chiffre

2 5-^. Multipliez donc 70 par 5 , et divisez le produit par le taux

de l'intérêt (4—). Vous trouverez ainsi 88 années et 5 mois. Ce

nombre est le même que celui qu'on trouve à l'aide de logarithmes. Si l'on avait placé à un intérêt composé de 4 ^/q un morceau

d'arefent d'un poids égal à d'un pied cubique d'argent

de la même espèce (mesure de Paris), morceau qui aurait environ la grandeur d'un grain de sable, combien d'années faudrait-il pour que l'on reçut, capital et intérêts, un morceau d'argent aussi grand que la terre tout entière ? Si l'on prend pour diamètre de la terre une longueur de 3923 15Ô4 pieds parisiens 1), la grandeur de la terre sera à celle du petit morceau d'argent, qu'on a placé à intérêt, comme 316 suivi de 29 autres chiffres est à i. En y ajoutant encore l'intérêt produit en trois mois, on obtient un capital qui surpasse celui qu'on avait mis à intérêt (32 suivi de trente zéros) fois. Or 32 = 2^ et ^-= \o. Multipliez ce 10 par 10, ajoutez-y l'exposant 5, vous trouverez ainsi 105. Multipliez 105 par 70— et divisez le résultat par 4 (taux de l'intérêt) ; vous trouverez ainsi 1850 à-peu-près. C'est là le nombre d'années qu'il s'agissait de trouver.

Cette règle peut servir aussi pour nous faire savoir quelle sera à-peu-près la grandeur d'un capital qu'on a placé à intérêt composé, au bout d'un grand nombre d'années. Exemple : quelqu'uni m'a demandé quel capital on posséderait au bout de 5662 ans si l'on plaçait à un intérêt composé de 4 0/0 un seul écu. Je multiplie ce nombre d'années par 4, ce qui donne 22648 ; en divisant ce produit par 70—, je trouve 321. En écartant le dernier chiffre, on a 32, ce qui multiplié par 3 donne 96. Le dernier chiffre étant I, il en résulte que le premier chiffre du nombre cherché est 2,. et que 96 autres chiffres le suivent. Ce nombre est trop grand pour qu'on puisse se le représenter. Si l'on voulait payer cette somme d'écus par un morceau d'argent cubique, de même valeur

l) Suite des Mémoires de Math. & de Pliys. 17 18, p. 302.

que l'argent de nos florins, ce morceau serait si grand que si un corps volait le long d'une des arêtes de ce cube avec une vitesse uniforme looo fois plus grande que celle d'un boulet de canon i), ce corps serait loin de parcourir, en looooo millions d'années, la cent-millième partie de l'arête du cube.

On vend quelquefois des assurances sur la vie, l'âge étant indéterminé. Il s'agit alors de posséder un grand nombre de données relatives à des personnes déjà décédées; lesquelles permettent de voir de combien le nombre total diminue par les décès annuels. On m'a donné un registre de loooo personnes pour lesquelles on avait acheté des rentes viagères, faisant voir le nombre annuel des décès. De 40 à 44 ans le nombre annuel des décès était de 146; à 45 ans, 141 ; de 46 à 49 ans, 140 par an; de 50 à 53 ans, 132 par an; à 54 ans 131, de 55 k 58 ans, 122 par an, à 60 ans enfin iio seulement. J'ai des raisons pour ne pas douter des nombres donnés; je crois cependant qu'en les tirant des livres des rentes viagères on n'a pas noté les nombres qui se rapportent à chaque année séparément. En effet il n'est pas croyable que pendant plusieurs années consécutives, le nombre des décès reste le même et qu'il diminue si rapidement tous les cinq ans. Il me semble que pour trouver plus rapidement les nombres en question, on a pris la moyenne des décès de 5 à 5 ans. La table suivante donne le nombre annuel des décès. Les premières colonnes indiquent le nombre des survivants de 5 à 5 ans.

Vies de loooo Personnes.

Reste

Décès

Années

Reste

Décès

Années

Reste

Cette table donne une idée plus exacte des nombres des survivants que celle qu'on m'a donnée. En calculant, d'après cette table, quel doit être le taux des rentes viagères, en supposant une rente

amortissable de 2 % par an, je trouve à-peu-près 4^ %. Mais

I Dans l'hypothèse que cette vitesse est de 600 [jie-.is parisiens ])ar seconde.

si l'on prend un intérêt de 4 %. le taux des rentes viagères sera

de 6 %, ce qui s'accorde assez bien avec le nombre -^, trouvé

d'après l'expérience par le Pensionnaire De Wit. Calcul de la On peut calculer les rentes viagères encore autrement. J'ai vaeur comp- gj^j^j entre autres une méthode, d'après laquelle l'argent des tante des paye- , . • ^ , , ,

assurances qu on reçoit est considère comme devant être payé

selon différentes classes et à des époques déterminées ; j'ai calculé la valeur comptante de cet argent, ce qui n'est pas difficile quoique les progressions ne soient ni arithmétiques ni géométriques, pourvu qu'on en connaisse la loi. On demande par exemple quelle est la valeur comptante, lorsque les payements sont représentés par tous les nombres cubes depuis l'unité jusqu'à n inclusivement. En prenant un intérêt composé, et en supposant que b florins à payer après un an valent au comptant a florins, je trouve la somme comptante par le calcul suivant.

6 aa

6bn.

a n + bn

En choisissant convenablement les nombres a et b, on peut faire que b — a = I . La formule devient alors

ab + 6 aabb ~~ . b -|- ns + ab + an + nn — n . 6 b,

ou, en posant ab = p,

p + 6 pp — -. b + n' + 6 p. b + n + 6 b. nn — n.

En remplaçant a, b et n par des nombres, on peut aisément faire voir la validité de ces formules. Lorsque n = 3, b=: 11, et

a^ 10, la somme comptante sera 27 -. Si le nombre donné des

années est très-grand, et que le taux de l'intérêt renferme une grande fraction, on peut à l'aide de logarithmes trouver la réponse désirée avec peu de peine et sans erreur considérable : ce qui serait à-peu-prcs impossible, si l'on voulait se servir seulement

de l'arithmétique ordinaire. En posant n = l'iniîni et 2 = p.

on trouvera pour la somme comptante l'expression 6 pp + p. conformément au résultat du célèbre JACQUES Bernouli.I i).

En prenant un intérêt composé de 2 %, on trouve que la

valeur comptante de tous les payements, jusqu'à l'infini, est de 16139240 florins: celle des mille premiers payements est égale à cette même somme diminuée de 19 sous seulement. Si l'on prend un intérêt de i %. la valeur comptante de tous les payements, jusqu'à l'infini, est de 613 millions de florins; celle des derniers payements, de 1000 jusqu'à l'infini, est de 79778g florins.

A l'aide de ce qui précède, on peut aussi résoudre le problème suivant. Quelqu'un doit payer i florin au bout d'un an, 8 florins au bout de deux ans, 27 florins au bout de trois ans, 64 florins au bout de quatre ans et ainsi de suite (nombres cubes). On demande quel doit être le taux de l'intérêt composé, pour que la valeur comptante des 1000 premiers payements soit inférieure d'une tonne d'or à tous les pavements suivants jusqu'à l'infini. La réponse doit être si exacte que l'erreur ne dépasse pas

"— %. Réponse: i^^ %.

On a imprimé à Amsterdam, en 1729, un ,, Calcul des Rentes Lecaiculdei

viagères d'après la grandeur des Rentes amortissables" par ISAÀC rentes viagère-

DE Graaf, qui est basé sur quelques hvpothèses et où l'on n'a ^°" ^^""^ ^^* , , , ^ i- .' , , . j , sur l'expérienct

pas eu égard aux données exactes fournies par les registres de la

mortalité. La mortalité n'écoute pas nos suppositions; c'est par l'expérience qu'il faut la connaître, car sans elle on perd le fil. Considérons cependant la base sur laquelle l'auteur nommé construit sa théorie. Il exige qu'on accepte avec lui sans discussion les deux propositions suivantes, textuellement reproduites ici:

L ,,Que la force vitale de l'homme est la plus grande à l'époque de sa naissance ;

II. ,,Que cette force vitale ou pouvoir de continuer à vivre s'épuise avec le temps, en diminuant d'une certaine quantité tous les six mois ; cette diminution étant d'abord faible et presque insensible (quoique jamais nulle ou négative), puis phis grande après plusieurs années et surtout à la fin ; de telle sorte que la diminution du semestre suivant, quelque petite ou quelque grande qu'elle puisse être, est toujours supérieure à celle du semestre précédent, jusqu'à

l) „De Seriebus Infmitis", p. 249, IJasil. 1713.

ce que la force vitale est entièrement épuisée : c'est alors, et alors seulement, que finit la vie d'après notre hypothèse."

Mais comment peut-on accepter ces propositions sans aucune modification ? Il s'ensuivrait qu'il est plus avantageux d'acheter des rentes viagères pour de jeunes enfants ou pour des enfants nouveau-nés que pour ceux qui ont déjà atteint l'âge de dix ans. Or, tout-le-monde sait que le contraire est vrai; car si l'on considère loo enfants nouveau-nés, il ne s'en trouvera plus que 47 au bout de dix ans; tandisque de 100 enfants âgés de 10 ans, 93 vivent encore en général au bout de 10 ans.

Pour des personnes de 30 ans, le taux des rentes amortissables étant de 3 %, celui des rentes viagères sera de 6,34632 %, c. à. d,

de plus de 6^ %, d'après les calculs de cet auteur i). Lorsqu'il

s'agit de personnes de 50 ans, le taux des rentes amortissables

étant le même, M. DE Graaf trouve un taux de 7,91189 % pour

les rentes viagères 2). Il cherche à trouver la mortalité d'après les

résultats du Pensionnaire De WlT. Mais, pour obtenir une table

de la mortalité à laquelle l'on puisse se fier, il faut extraire des

Livres des Rentes Viagères, les données relatives à un grand

nombre de personnes déjà décédées ; on doit noter l'âge qu'elles

avaient en achetant une assurance sur la vie, et la durée de leur

vie. En effet, il ne faut pas se fier à d'autres qui prétendent avoir

obtenu leurs données de cette façon ; ce ne sont là bien souvent

que des hypothèses pures, comme l'expérience me l'a prouvé ; je

me fierais donc davantage à la table de la page 201 si j'étais

assuré qu'on l'a véritablement tirée des registres mortuaires.

Solution de Les méthodes prétédentes peuvent servir à l'examen de quelques

quelques pro- projets. Supposons par exemple qu'on nous propose les conditions blêmes par les • • xt • • h ^

,, , que je vais nommer. Nous pouvons exammer si elles sont accep-

methodes pre- i i i • •

cédentes tables en calculant le taux annuel de l'intérêt. La compagnie qui

vend les assurances peut également s'en servir pour rejeter les projets suivant lesquels elle payerait un intérêt trop élevé.

On veut vendre des assurances sur la vie à des personnes âgées de 10 ans. Durant les 10 premières années on donnera un intérêt annuel de 4 %, durant les 10 années suivantes de 5 %, durant les 10 années suivantes de 6 %, etc. Le taux de l'intérêt augmente

i) Pag. 33.

2) Pag. 35.

de I % tous les dix ans. Si l'on suppose que la cinquième partie de l'argent reçu par la compagnie doit être versée dans le trésor public, quel sera le taux de l'intérêt annuel payé par elle?

On pose la même question en supposant qu'on ne payera rien durant les lo premières années; durant les lo années suivantes 4 «0, durant les lo années suivantes 8 o/o, puis 12 0^0, puis 16 "0 etc. : le taux de l'intérêt augmente de 4 t>/o tous les dix ans. L'impôt à payer à l'Etat est le même que précédemment.

Pour des personnes âgées de 30 ans qui achètent des assurances sur la vie, on veut donner 3 0/0 durant les 10 premières années, 6 « 0 durant les 5 années suivantes, 9 0/0 durant les 5 années suivantes, 12 O/o durant les 5 années suivantes, etc.: le taux augmente de 3 o/o tous les 5 ans. L'impôt est le même que précédemment. On pose la même question.

Même question, si l'on paye 5 0/0 durant les 10 premières années, 6- 0/0 durant les 5 années suivantes, 8 0/0 durant les 5

années suivantes, etc. : le taux augmente de i— f>/o tous les 5 ans.

Même question, si l'on veut vendre des assurances sur la vie à des enfants de deux ans (ou en-dessous de deux ans) qui ne commenceront qu'après 18 ans à recevoir leurs rentes, à savoir 10 O'o durant les 10 premières années, 11 oy^, durant les 10 années suivantes, 12 "/o durant les 10 années suivantes, etc.: le taux augmente de i o/o tous les 10 ans. L'impôt est le même.

Même question, si dans le cas précédent on donne 7 O/o durant les 10 premières années; 11 0/0 durant les 10 années suivantes; 15 "J, 0 durant les 10 années suivantes et ainsi de suite: le taux augmente de 4 Oq tous les 10 ans.

Même question, si dans le cas précédent on suppose que les rentes viagères ne sont reçues que 28 ans après qu'on les a achetées; à savoir to 0/0 les 10 premières années, 20 0/0 les lo années suivantes, 30 «/o les 10 années suivantes, puis 40 0/0, etc.: le taux augmente de 10 O/o tous les 10 ans. L'impôt est le même.

Supposons que nous devions payer des rentes pendant 15 ans (on peut se figurer cju'il y a un contrat de survivance), à savoir 8 0/0 durant les trois premières années, 9 0/0 durant les trois années suivantes, puis 10 "/o, puis 11 0/0, et enfin 12 0/0 pendant les trois dernières années. L'impôt est le même que précédem-

ment. On demande quel est le taux de l'intérêt payé par la compagnie qui reçoit l'argent.

Même question, si nous devons payer des rentes pendant 30 ans, à savoir 3 ",0 durant les 5 premières années, 4 % durant les 5 années suivantes, 5 0/0 durant les 5 années suivantes, 6 Vo durant les 10 années suivantes, et 7 0/0 durant les dernières 5 années. L'impôt est le même.

Supposons qu'une société désire vendre des rentes viagères à des personnes quelconques, sans différence d'âge. La moitié des rentes de tous ceux qui meurent sera au profit de la société, et l'autre moitié à celui des survivants. Si l'on veut payer des rentes viagères annuelles de 5 0/0 (la cinquième partie de l'argent étant versée dans le trésor public), quel sera le taux de l'intérêt payé par la société ? Le nombre des décès est tiré des Livres sur les Rentes Viagères.

Les contrats de cette espèce présentent pour la société cet inconvénient que parmi un grand nombre de personnes il y en a souvent un qui atteint un âge extrêmement élevé ; ce qui est pour elle un grand désavantage.

Je pourrais ajouter ici les solutions de ces problèmes qui ne sont ni longues ni difficiles. Je pourrais parler également des assurances achetées par deux ou plusieurs personnes. Mais je crains que cela ennuyerait le lecteur; c'est pourquoi je termine ici.

Le Problème suivant sert seulement pour remplir une page vide.

Un grand nombre de joueurs A, B, C, D, etc., n + i en tout, jouent avec des chances égales, aux conditions suivantes. A et B commencent, et mettent chacun une unité à l'enjeu. C remplace le vaincu et met la même somme à l'enjeu; il joue avec le vainqueur, et celui qui gagne alors doit jouer avec D qui met lui aussi la même somme à l'enjeu ; et ainsi de suite. Lorsque tous ont eu leur tour, A joue de nouveau en faisant la même mise d'une unité. On continue de la même manière jusqu'à ce que quelqu'un a gagné la partie, c'est-à-dire jusqu'à ce qu'il a vaincu successivement tous ses adversaires. On demande l'avantage ou le désavantage de chaque joueur.

Ce Problème est fort difficile. Je n'ai donné autrefois que la formule, sans indiquer comment on la trouve. Je ferai voir maintenant quelle a été ma méthode ; mais pour ne pas trop m'étendre

je ne développerai qu'une partie des calculs et j'indiquerai où l'on peut trouver le reste. Le célèbre NICOLAS Bernoulli, professeur à l'université de Petersbourg il n'y a pas longtemps, trouve que les chances de A ou de B pour gagner le jeu sont à celles de C comme i +2" est à 2" i). Posons pour simplifier 2" = a,

I + 2" = b, j- = c, donc a = b c. Si nous posons d ^ le nombre

des chances de A ou de B, celles de C seront c d, de D c c d, de E c3 d, et ainsi de suite. La somme de ces chances doit être égale à la certitude, donc à i. Par conséquent

d-f-d + cd + ccd + c3d + etc. jusqu'à c" ~ ' d = i .

Les termes (le premier excepté) forment une progression géométrique; donc

En substituant de nouveau — à c, on trouve

"d ou

bn— I

Si nous appelons g le dénominateur de cette fraction, nous

bn — I

bn -

aurons d

g Appelons x l'avantage ou le désavantage de A ou de B, y

celui de C, z celui de D, u celui de E, etc. On trouve alors,

suivant le professeur nommé 2),

x + d.a — ncd

y+ cd.a — ne cd Z = ,

et ainsi de suite pour les autres grandeurs correspondantes.

Pour trouver maintenant la formule générale, j'agis comme suit. Dans la dernière équation remplacez de nouveau a par b c, ce qui donne

y = cx + dc --

1) Philos. Trans. 1714, Octobre, Novembre et Décembre. No. 341, p. 134 et 135.

2) p. 138 et 139.

Posons I

v = cx+i — — .cd,

z =cv — I — — .ccd,

U:^CZ+ I — — .c^d.

cd = e. Alors

y = cx + e = cx+e z = cy + ec =ccx+2ce u = cz + cce = c3x +3cce w := c u + c-^ e = C-* X + 4 c3 e etc. etc.

Si r est le numéro d'ordre d'un joueur quelconque, donc r = o pour A et pour B, r ^ i pour C, r = 2 pour D. etc. l'avantage ou le désavantage d'un joueur quelconque peut être exprimé par

e'^x + r e c''~^ La somme de la première colonne est

x + x + cx + ccx4-c3x + etc. (n + i) termes.

Cette somme est , '- — d

:ède.

La somme

I + C + CC+ C3 + C++ etc. I c-fcc + c3 + c*+ etc. I

c c + c3 + c"* + etc. I

c3 + c4+etc. fj^isqu'à c^

c* + etc. I

etc. I

^ „ après ce qui precec

de la deuxième colonne se calcule de la manière suivante

'"~^ chaque expression étant divisée par I - c.

La première somme est une progression géométrique; c'est pourquoi la somme des deux dernières colonnes prises simultané-

Remplacez alors c par r- et i — c

ce — c"

etc.

ment est

par — (qui lui est égal), vous trouverez

i + 2c + 3cc-f4c3 4-5c4 + etc. jusqu'à n

bn — I — a" — I n — l.an — I

bn-.

En multipliant la valeur de d trouvée ci-dessus par c ou —, on obtient cd= . En multipliant de nouveau par i — , , on

trouve e = ■ Multipliant encore par

bn — I — an— I n — l.a" —

bn — 3 bn-

on trouve

Si l'on y ajoute la valeur ç~'— de la première colonne, cette

somme qui représente l'avantage ou le désavantage de tous les joueurs, doit être nulle. On trouve ainsi

bn— 2 -" ■ •

x= . a. n— b.b" — ba"-' — n — i.a""'.

En substituant dans la formule générale qui donne l'avantage ou le désavantage de chaque joueur, c. à. d. dans la formule •c"" X + rec'^~\ la valeur trouvée de x, ainsi que les expressions

r b — n.a.bn— 3

g = 2b" — ab"-' — a" , a

on trouve la formule suivante qui exprime l'avantage ou le désavantage d'un joueur quelconque :

bn — r — 2 n — b . ar

2 r . b" — a" b -f arb"-' -f r -f i — n . a"

2b"> — abn— I — an

Supposons par exemple qu'il y ait 5 joueurs et qu'on veuille calculer l'avantage ou le désavantage du quatrième joueur D. On a alors a = 16, b= 17, r = 2, n = 4; le terme b""""^"- est donc égal à I ; c'est pourquoi son avantage est exprimé par

4 — 17. 16- . 2 ou 2

16789760 ou ^ --.

Si l'on trouve -f-, c'est un avantage; si l'on trouve — , c'est un désavantage. Si l'on pose r = o, l'avantage ou le désavantage des <leux premiers joueurs, A et B, est toujours

, ab» — a» b ■

2b" — a bn— I — an et celui du dernier joueur

2bn — abn— I — a"

Le calcul des chances peut être réduit à deux questions générales: la première est celle du nombre des chances dans le cas d'un tirage, la seconde celle des dédommagements qu'il faut donner aux joueurs qui laissent passer leur tour; les deux formules générales que j'ai inventées autrefois pour résoudre ces questions, se trouvent dans le Calcul des Chances, i) La solution de presque tous les autres problèmes qu'on peut poser, résulte de ces deux formules. Supposons par exemple qu'il y ait q joueurs qui se proposent chacun de jeter avec quelques dés, pour gagner l'enjeu , un même nombre de points. A fera d'abord un coup, puis B en fera 2, C 3, D 4, etc. d'après une progression arithmétique. Lorsque tous auront jeté, A fera de nouveau i coup, puis B 2 coups, C 3 coups, etc., comme auparavant, jusqu'à ce que l'un ou l'autre gagne le jeu. Si b représente le nombre total des chances, c. à. d. des coups qu'on peut faire avec les dés, c les chances de gagner le jeu du premier coup, quelle sera la partie de l'enjeu à laquelle un joueur qui a le numéro d'ordre r a droit? Si l'on pose

-— — = a, la formule 2) dont nous avons fait mention, fait voir

que la part demandée du joueur sera

Que le nombre des joueurs soit aussi grand qu'il vous plaira, de sorte que r peut être un grand nombre, vous trouverez néanmoins facilement la solution à l'aide de logarithmes.

i) Calcul des chances par l'Algèbre, Problème I et Problème III.