Le problème du plan incliné

Le grand mécanicien inconnu que nous avons appelé le Précurseur de Léonard de Vinci avait, dès le xiii* siècle, résolu le problème du plan incliné par une méthode si belle et si sûre qu'elle eût mérité de ravir d'emblée tous les suffrages. Mais il ne suffit pas qu'une vérité ait été découverte, il ne suffit pas qu'elle ait été justifiée par des raisonnements parfaitement justes et rigoureux, pour qu'elle prenne rang en cet ensemble de doctrines qui constituent la science universellement acceptée ; il faut encore que les esprits se soient accoutumés à la comprendre ; de même, il ne suffit pas qu'une lumière brille dans l'obscurité pour que nous voyions clair ; il faut encore que nos yeux se soient accoutumés à en supporter l'éclat.

Parfois, cette préparation des esprits à accueillir une vérité dont la preuve est parfaitement concluante, demande des années ou même des siècles ; et, plus tard, l'historien de la science demeure stupéfait que les hommes aient tardé si longtemps à percevoir cette clarté ; oublieux de l'accoutumance qui a fortifié sa vue, il s'étonne de cet éblouissement prolongé.

En aucun cas, peut-être, cet éblouissement capable d'aveugler les penseurs et de leur faire méconnaître une vérité trop éclatante ne s'est manifesté plus nettement qu'au sujet du problème du plan incliné.

La solution du problème du plan incliné est, nous l'avons vu, parfaite dès le xiii^ siècle. Or, au début du XV* siècle. Biaise de Parme a en mains le traité qui renferme cette solution. L'adopte-t-il ? En aucune façon ; il lui oppose une fausse évidence, une conception visiblement insoutenable de l'égalité de deux poids, et il la rejette comme un paradoxe.

La solution du problème du plan incliné ne paraît pas

davantage avoir été prise comme vérité acquise par les géomètres de la fin du xv* siècle.

Regiomontanus, admirateur du traité De numeris datis, avait sans doute lu les Elemenia super demonstrationem ponderis ; il est permis de penser que cette lecture avait attiré son attention sur le problème du plan incliné. Toujours est-il que dans une lettre adressée à Christian Roeder, professeur à Erfurt, le 4 juillet 1471, Regiomontanus pose ( 1 ) le problème suivant :

« Deux poids (fig. 53) sont attachés l'un à l'autre et équivalents par situation (secundum situm equipollentia) ; s'ils étaient détachés de leur lien commun, l'un d'eux descendrait verticalement et l'autre obliquement. Le chemin oblique du second poids fait avec l'horizon un angle de vingt degrés, l'angle droit valant quatre-vingtdix degrés. Je demande en quel rapport sont ces deux poids. Je nomme poids équivalents des poids qui s'empêchent l'un l'autre de descendre. Que l'on regarde donc bc comme une droite horizontale, ab comme une droite dirigée vers le centre du monde, que ac et bc forment un angle de vingt degrés, que le moindre poids d tende à descendre suivant ab et le plus grand poids e suivant ac si l'on supprimait le lien qui les unit. »

L'emploi des mots secundum situm equipollentia nous

(1) Ce passage a été signalé par Maximilian Curtze dans une noie publiée par la Bibliotheca Mathematica, S»» Folge, Bd. II, 1901 ; p. 335.

permet d'augurer, avec une grande probabilité, que ce problème est suggéré par les principes de Jordan us.

Maximilien Curtze a fait observer que les problèmes posés par Regiomontanus dans ses lettres étaient, en général, des problèmes dont il possédait ou croyait posséder la solution ; il est donc à présumer que ce géomètre pensait avoir résolu le problème du plan incliné ; en tous cas, il est bien certain qu'il ne le regardait pas comme résolu par ses prédécesseurs ; peut-être, il est vrai, ne connaissait-il point le remarquable traité composé au xiii* siècle par le Précurseur de Léonard de Vinci.

D'ailleurs, les géomètres durent hésiter à prendre pour vraie la détermination, donnée par cet auteur, de la pesanteur apparente d'un grave posé sur un plan incliné lorsqu'ils connurent la détermination toute différente qu'en avait donnée Pappus.

Pappus semble être le seul géomètre de l'antiquité qui se soit occupé du problème du plan incliné. Ce mathématicien vivait à Alexandrie, au iv* siècle de notre ère ; il y a composé ses Collections (i) ; bien que cette œuvre ne nous soit pas parvenue dans son intégrité, elle est cependant, pour l'histoire de la science hellène, d'une extrême importance.

Le VHP Livre de ces collections porte le titre suivant:

« Ilepis^ei ^£ ii.Yija.viY.à. TrpoêXv^f/ara <7v\xiiiv.Ta. àvôv/pà ». Parmi les

" problèmes mécaniques variés et délectables » qui sont ainsi annoncés, se trouve traité le problème du plan incliné (2).

Dès son point de départ, Pappus se trouve en absolue contradiction avec la Statique moderne ; il admet, en effet,

(1) IlAnnOY 'AAESANAPEÛI luvaywyf,, Pappi Aleïandrini CoUeo liones quae supersunt e libiis manuscriplis edidit, laiina interpretatione et commcnlariis instruxit Fridericus Hultsch. Volumen III. Berolini, MDCCCLXXVIll.

(2) Loc. cit., p. 1029.

que pour mouvoir un certain poids a sur un plan horizontal, il faut le tirer parallèlement à ce plan par une certaine force y; l'observation vulgaire lui donnait raison ; seul, un plus haut degré d'abstraction et d'analyse devait mettre sur le compte du frottement la résistance qu'un poids éprouve à se mouvoir sur un plan horizontal; seul, il devait conduire les géomètres à ce principe, tout opposé à celui de Pappus : une force, si petite soit-elle, suffit à

mettre en mouvement n'importe quel poids sur un plan horizontal parfaitement poli.

Pour tirer le même poids « sur un certain plan incliné, il faut une force 0; c'est le rapport de la force 0 à la force y que Pappus cherche à déterminer, et voici par quel raisonnement il y pense parvenir :

Sur le plan incliné |^>t (fig. 54), se trouve une sphère pesante, de poids a, qui touche le plan en X. Pappus se demande tout d'abord comment on pourrait maintenir cette sphère en équilibre. Il assimile ce problème de Statique à un problème sur la balance ; la balance qu'il considère aurait son point d'appui en \\ elle porterait, pendu au centre e de la sphère, le poids « de cette sphère,

tandis que le poids p, destiné à l'équilibrer, serait suspendu à l'extrémité yi du rayon horizontal erj. Pappus admet (et, par là, il semble avoir entrevu la loi d'équilibre

du levier coudé) (i) que le poids p aura pour valeur — a.

Le poids a étant tiré sur le plan horizontal par la force y, il faudrait, pour tirer le poids ^ sur le même plan, une

force ^ = -jy. Pappus admet alors que la puissance 0,

capable de hisser le poids a sur le plan incliné, sera la

somme des forces y et d, en sorte que l'on aura - = — .

Telle est la solution, bien éloignée de la vérité, dont certains géomètres, Guido Ubaldo par exemple, se contenteront encore à la fin du xvi* siècle ; contre laquelle Galilée devra, à plusieurs reprises, déployer les ressources de sa dialectique.

Léonard de Vinci a certainement connu les deux

(l)Le principe (ie cette théorie est la notion du moment d'un poids suspendu à l'extrémité d'un bras de levier oblique ; or, cette notion était sûrement connue par les géomètres de l'École d'Alexandrie à l'époque où Pappus écrivait ; Héron (a) la formule nettement. La partie des Mécaniques de Héron où il est fait usage de cette notion ne se trouve pas dans l'extrait de cet ouvrage qui se trouve joint aux Collections de Pappus; elle est demeurée inconnue jusqu'à la publication de M. Carra de Vaux ; elle n'a donc eu aucune influence sur Léonard de Vinci et n'a pas contribué nu développement de la Mécanique moderne. De même, Héron remarque (6), à propos du treuil que cet « instrument et toutes les machines de grande force qui lui ressemblent sont lents, parce que plus est faible la puissance comparée aux poids très lourd qu'elle meut, plus est long le temps que demande le travail. 11 y a un même rapport entre les puissances et les temps. » Il répète les mêmes observations à propos des moufles (c) et du levier (d). Mais ces passages, eux aussi, n'ont été connus que par la publication de M. Carra de Vaux. Ils n'ajoutaient rien, d'ailleurs, à ce qu'enseignaient à ce sujet les Quœstiones mechanicœ.

{a) Les Mécaniques ou l'Élévateur de Héron d'Alexandrie, publiées pour la premièie fois sur la version arabe de Qostâ ibn Lûkâ et traduites en français par M. Carra de Vaux. Extrait du Journal Asiatique. Paris, 1894. Livre I, Art. 54, p. 91.

(6) Lac. cit., p. 131.

(d) Loc. cit., p. 136.

solutions du problème du plan incliné qui avaient été proposées avant lui. L'une d'elles, en effet, se trouve dans le traité De ponderibus composé par ce géomètre du XIII*' siècle auquel il doit tant que nous l'avons nommé son Précurseur. L'autre, celle de Pappus, a visiblement inspiré quelques-uns des raisonnements par lesquels il s'est efforcé de résoudre ce problème.

Bien loin, en effet, que Léonard ait regardé la détermination de la pesanteur apparente d'un grave sur un plan incliné comme définitivement acquise à la science, il n'a cessé d'être préoccupé par cette détermination. Nous

avons dit, au Chapitre II, quelles réponses, tantôt exactes, tantôt erronées, il avait énoncées.

Il est des cas où nous saisissons l'immédiate influence exercée sur Léonard, en cette recherche, par le traité de son Précurseur. Voici, par exemple, un passage (1) où nous reconnaissons la proposition qui, dans ce traité, précède immédiatement la solution du problème du plan incliné :

« Si A, B, poids (fig. 55) ne poussent pas vers le centre

(Ij Les Manuscrits de Léonard de Yinci, publiés par Ch. Ravaisson- Mollien, Ms. G de la Bibliothèque de l'inslilut, fol. 77, verso.

du monde, étant, comme ils sont, séparés, leur jonction tend à ce centre du monde, comme nous enseigne la ligne centrale MN qui passe par les proportions des poids 2 et 4 ; mais les positions des poids n'ont pas d'espaces proportionnés, parce que dans les mêmes obliquités un même poids peut rester haut et l'autre bas sans que de telles situations, différentes en hauteur, changent la proportion double des poids. »

Que cette invariabilité de la pesanteur apparente aux divers points d'un plan incliné soit, chez Léonard, un ressouvenir du traité de son Précurseur, on n'en saurait douter ; deux pages plus loin, se trouve le passage (1) où il critique d'une manière si sagace la démonstration qui a conduit Jordanus à une proposition erronée sur la stabilité de la balance et où il lui oppose la méthode des déplacements virtuels telle que son Précurseur l'a appliquée au problème du plan incliné. Il semble donc que tout presse Léonard d'accepter la solution proposée par le géomètre du XIII® siècle. Il n'en fait rien, cependant. Il suffit de regarder la fig. 53 pour constater qu'il regarde les deux poids A et B comme respectivement proportionnels à PM et à QM, selon une règle erronée qu'il a souvent admise.

La solution du problème du plan incliné, proposée par le Précurseur de Léonard, reposait sur un postulat que, déjà, Jordanus avait implicitement introduit dans la démonstration de la règle du levier. Ce postulat peut se formuler ainsi : La puissance motrice employée à soulever un poids a pour mesure le produit du poids par la hauteur dont on l'a élevé ; lorsque ces deux éléments changent en raison inverse l'un de l'autre, la puissance motrice ne change pas. Or nul, mieux que Léonard, n'a compris la justesse et la portée de ce postulat ; nul ne l'a plus nettement formulé ; nul n'en a plus constamment poursuivi

(l)Ms G, fol. 79, recto.

l'application aux diverses machines. Et cependant, Léonard ne paraît pas avoir compris à quel point ce principe était propre à déterminer la pesanteur apparente d'un grave placé sur un plan incliné ; jamais il n'en a fait usage pour obtenir cette détermination. Lorsque, visiblement guidé par la lecture de son Précurseur, le grand peintre aborde pour la première fois cette détermination, il en emprunte la valeur au grand mécanicien du xiu* siècle, mais il délaisse sa démonstration pour un raisonnement qui semble imité de Pappus.

Nous trouvons les traces de ces premières tentatives dans le cahier A conservé à la Bibliothèque de l'Institut ; dans ce cahier dont le folio 5 porte, à son recto, des raisonnements tout semblables à ceux qui démontrent la dernière proposition du traité primitif de Jordanus ; dans ce cahier auquel appartenaient les feuillets, arrachés par Libri, où Léonard, méditant sur l'équilibre du levier, a consigné la critique dos principes de Pelacano, où il a noté le premier éveil, en sa pensée, de la notion de moment, visiblement tirée du traité de son Précurseur. Ses méditations sur le plan incliné sont donc contemporaines de celles que nous venons de citer.

Pour déterminer la vitesse avec laquelle un corps descend un plan incliné ou la pesanteur apparente de ce corps posé sur ce plan (ce sont grandeurs proportionnelles pour qui admet la Dynamique péripatéticienne) il use, nous l'avons dit, d'un raisonnement où l'on trouve un reflet, sans doute bien affaibli mais, cependant, non méconnaissable de l'argumentation de Pappus.

Au Chapitre II, nous avons cité un texte, emprunté au Manuscrit A, où ce raisonnement se trouve exposé ; le même manuscrit nous en a gardé ( i ) une autre rédaction que voici :

(1) Les Manuscrits de Léonard de Vinci, publiés par Ch. Ravaisson- MoUieii, Ms. A. de la Bibliothèque de l'Institut, loi. 21, verso.

IQO

« Du MOUVEMENT ET DU POIDS. Tout covps pesant désire tomber au centre ef l'opposition qui est la plus oblique lui fait le moins de résistance. Si le poids se trouve en A (%. 56), sa résistance vraie et directe serait AB, mais en

jy.âô.

quelque partie que la roue touche terre, là se trouve son pôle, et la partie qui reste la plus grande en dehors de ce pôle tombe ; SX étant le pôle, il est clair que ST pèsera plus que SR ; d'où il convient que la partie ST

tombe, qu'elle vainque et enlève SR, puis qu'elle se meuve sur la pente avec furie. Et si le pôle était en N, autant NC entre en BC, autant la roue courrait plus fort sur la pente que s'il était en X. «

Quelque étrange que soit ce raisonnement, il n'en a pas

— igi —

moins — nous en avons fait la remarque au Chapitre II — conduit Léonard à une évaluation exacte de la pesanteur apparente d'un grave à la surface d'un plan incliné.

Cette évaluation, on la retrouve plusieurs fois dans ses notes, pourvu que l'on admette avec lui la proportionnalité entre cette pesanteur apparente et la vitesse de chute. On y lit, par exemple, des passages tels que celui-ci (i) :

« Le poids N tombera plus vite que le poids M (fig. Sj) d'autant que la ligne AB entre dans la ligne AC. »

On y lit encore l'énoncé que voici (2) :

« La chose descendra plus lente par la ligne BC (âg. 58) que par la ligne BD d'autant que la ligne BC est plus longue que la ligne BD,les choses étant d'égales pesanteurs et rondeurs... Mais encore elle descendra d'autant plus lente que la partie du contact est plus voisine du centre de la gravité qui se meut. ■»

Voici enfin une curieuse remarque (3) où est impliquée une exacte connaissance de la loi du plan incliné :

" Tel sera à la balance (fig. 5g) le poids AB que lui est le poids CD. «

(i) Les Manuscrits de Léonard de Vinci, publiés par Ch. Ravaisson- Mollien, Ms. A de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 33, recto.

(î) Les Manuscrits de Léonard de Vinci, publiés par Gh. Ravaisson- MoUien, Ms. M de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 42, recto.

(3) Les Manuscrits de Léonard de Vinci, publiés par Ch. Ravaisson- Mollien, Ms. H de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 81 [33], verso.

Il ne faudrait point presser beaucoup cette remarque pour en faire sortir l'ingénieuse démonstration que donnera Simon Stevin.

Nous avons vu, au Chapitre II, comment Léonard de Vinci avait esquissé, de la règle du plan incliné, une démonstration qui impliquait une exacte connaissance de la loi de la composition des forces. 11 ne semble pas toutefois que cette démonstration, non plus que l'argumentation imitée de Pappus, aiont suffi à fixer son adhé-

sion. Le plus souvent il adopte, aussi bien au sujet du plan incliné qu'au sujet de la loi de la composition des forces, des règles erronées.

Il n'est, dans l'œuvre mécanique de Léonard de Vinci, aucune idée essentielle qui ne soit issue des écrits des géomètres du moyen âge et, particulièrement, du traité de ce grand mécanicien que nous avons nommé le Précurseur de Léonard. Notion de moment d'une force, distinction entre les états d'équilibre stable et les états d'équilibre instable d'une balance, détermination de la composante d'une force suivant une direction donnée, évaluation de la puissance motrice comme produit du

poids soulevé par la hauteur à laquelle on l'élève, théorie flu plan incliné, toutes ces idées avaient été vues ou entrevues dès le XIII® siècle. Il en est qui se réduisaient à uti germe minuscule, à une simple ébauche et qui, dans les notes jetées sur le papier par Léonard, ont acquis im développement d'une merveilleuse ampleur. D'autres, au contraire, avaient, dès le moyen âge, atteint leur perfection, que le grand peintre a en partie méconnues ; telle la théorie du plan incliné.

Grâce aux réflexions de Léonard de Vinci, ajoutées aux œuvres de l'Ecole de Jordanus, il n'est guère, en Statique, d'idée essentielle qui n'ait été clairement aperçue et formulée au moment où s'ouvre le xvf siècle. Combien il s'en faut, cependant, que cette science soit, dès lors, définitivement constituée ! Les vérités qui, pour la composer, doivent se souder les unes aux autres en un corps de doctrine sont encore éparses et disséminées ; elles apparaissent mêlées à beaucoup d'erreurs ; la clarté des postulats exacts qui doivent justifier ces vérités n'est pas encore perçue par des yeux trop accoutumés aux fausses évidences.

Le XVI® siècle tout entier et le début du xvii® siècle suffiront à peine à faire le tri entre les théorèmes vrais et les propositions erronées, à dissiper les malentendus nés d'un langage non encore fixé, à faire disparaître les fausses évidences, à montrer l'accord de vérités qui semblaient contradictoires, à retrouver, en un mot, ce qui était déjà inventé au xiif siècle.