SIMON STEVIN

Dès l'antiquité, les physiciens qui ont abordé les problèmes de l'équilibre les ont attaqués par deux méthodes bien distinctes.

Aristote, moins géomètre que philosophe, ne voit dans l'équilibre qu'un cas particulier du mouvement ; la Statique n'est point une science autonome, ayant ses principes indépendants ; elle n'est qu'un chapitre de la Dynamique ; ses propositions se doivent tirer des lois générales qui dominent le mouvement local.

Archimède, plus géomètre que philosophe, dirige les «fforts de son puissant génie moins à la pénétration profonde de la nature des choses qu'à l'enchaînement rigoureux de propositions, toutes déduites d'axiomes clairs et incontestables.

Or, l'étude du mouvement est trop peu avancée à l'époque d' Archimède — et peut-être encore à notre époque — pour qu'on y puisse trouver de ces propositions auxquelles l'expérience de chaque jour confère une évidence qui exclut toute contradiction. On peut, au contraire, dans l'étude de l'équilibre, trouver de semblables propositions. Ce sont elles qu'Archimède postule, dont il fait les hypothèses sur lesquelles il fonde la Statique, devenue science autonome.

Ces deux courants distincts, on les peut reconnaître au cours de tout le développement de la Statique ; tantôt les progrès de cette science sont promus par la méthode d' Aristote, tantôt ils sont achevés par la méthode d'Archimède.

C'est à la doctrine du Philosophe de Stagire que se rattache presque exclusivement l'évolution dont nous

venons de retracer l'histoire ; les lois de la Statique qui vont se généralisant et se précisant à travers les écrits de Jordanus de Nemore, du Précurseur de Léonard, de Léonard de Vinci, de Cardan et de Galilée sont issues des germes que renfermaient les Uriyavucc TrpoGÀyjpaTa.

Il suffit, au contraire, de feuilleter la Statique (i) de Simon Stevin pour reconnaître, dans le géomètre de Bruges, un fidèle disciple du géomètre de Syracuse.

Simon Stevin naquit à Bruges en 1548, Il fut, pendant quelque temps, teneur de livres et caissier à Anvers ; plus tard, il obtint un emploi dans l'administration des finances du Franc de Bruges. La franchise des droits sur la bière lui ayant été refusée, il quitta sa patrie ; nous savons qu'en iSyi, il ne l'habitait déjà plus. 11 visita la Prusse, la Pologne, la Suède et la Norvège, puis vint s'établir dans les Pays-Bas septentrionaux, où il passa le reste de sa vie. Dès 1 58i , il demeurait à Leyde ; en i582, il y publiait son premier ouvrage ; le 16 février i583, il se faisait inscrire comme étudiant es lettres à l'Université

(i) La statique de Stevin parut d'abord en flamand sous le titre : De Beghinselen der Weeghconst, beschreven dver Simon Stevin van Brugghe. TotLeyden, inde Druckerye van Christoffel Plantijn, bij Françoys van Raphelinghen. MULXXXVI. Elle était divisée en deux parties, dont l'une traitait des principes généraux de la Statique et l'autre de la recherche des centres de gravité. Deux autres écrits y étaient joints : l'un, intitulé De Weeghdaet, traitait des applications de la Statique ; l'autre, De Beghinselen des Waierwichis, exposait l'Hydrostatique.

Plus tard, Simon Stevin publia, en flamand, toutes ses œuvres mathématiques sous le titre : Wisconstige Gedachienissen, inhoudende t'ghene daer hem in gheoeffent hceft den Doorlvchtichsten Hoochgheboren Vorst endo Heere, Mavrits Prince \an Orengien, Grave van Nassau, ..., Beschreven deur Simon stevin van Brugghe. Tôt Leyden, inde Druckerye van lan Bouvvensz, Int laer MDCMll.

Le deuxième volume de cette collection, intitulé : \ierde Sivck der xoisconi'tighe Ghedachtnis&en vande Weeghconst. Tôt Leyden, bij Jan Bouwensz, Anno MDCV, contient la Statique. Les quatre premiers livres reproduisent la Statique publiée en 1586. Stevin y a joint un cinquième livre, Yanden Anwang derWcderwichtdaet, sur les applications de l'Hydrostatique ; un appendice, intitulé : Anhang der Weeghconst, inde welcke ondor anderen vveerleyt vvorden ettlicke dvvalinghcn der wichtige ghedaenten ; enfin une sorte de supplément nommé Byvovgh der Weeghconst. Ce supplément contient quatre parties, dont la première, Yan het Tavicicht^.

de cette ville. En iSgo, il quitta Lejde pour Delft, puis pour La Haye. Sa réputation scientifique était considérable. Il devint professeur de mathématiques et intendant des finances du Prince Maurice de Nassau, inspecteur des digues, quartier-maître général de l'armée des Etats. Il mourut en 1620.

La Mécanique de Stevin, avons-nous dit, n'est nullement celle d'un philosophe ; elle est avant tout une oeuvre de géomètre. La prédilection de Stevin pour la méthode, si belle dans sa sobriété et sa rigoureuse précision, qu'Archimède tenait de son maître Euclide, apparaît dès l'abord en la savante ordonnance de la Statique composée par l'illustre Flamand. C'est avec une minutieuse régularité qu'il range les définitions, les déclarations, les postulats, les propositions, les exemples à la place que leur assignent les lois de la logique déductive ; plus encore qu'Euclide et Archimède, Stevin s'efforce de mettre à nu l'ossature du

est consacrée à la Spartosiatique (équilibre des fils) et la sccomle, Yant Catrohcicht, est consacrée à la Trocliléoslalique ou équilibre des poulies.

La coUeclion dont nous venons de parler fut, en même temps, traduite en latin par WiUebrordus Snellius et publiée sous le titre : Hypomnemata mathematica. La partie qui nous intéresse est ainsi désignée : Maihema' ticorum Hypomnematum de Staiica, quo comprehcnduntur eainquibus se exercuit Jiluslrissimus illustrissimo atque antiquissimo stemmale ortus Princeps, ac Dominus, Mauritius Princeps Auraicus, cornes Nassovige,... conscriplus a Simone Slevino, Brugensi, Lugodini Batavorum, ex officina Joannis Palii ; Anno MDCV.

Enfin, celle collection fut traduite en français sous le titre : Œuvres mathématiques de Simon Slevin de Bruges, ou sont insérées les Mémoires niathemaiiques e^quelles s'est exercé le Très-haut et ïres-illuslre Prince Maurice de Nassau, Prince d'Aurenge, Gouverneur des Provinces des Païs-bas unis, General par Mer et par Terre, etc. Le tout reveu, corrigé et augmenté par Albert Girard Samielois, Mathemaiicien. A Leyde, chez Bonaveniure et Abraham Elsevier, Imprimeurs ordinaires de l'Université. Anno MDCXXXIV. Qualriesme volume traitant de l'art pondéraire ou de la Slalique.

Une autre traduction française, due à J. Tuning, et publiée à Leyde en 1608, ne renfermait pas la Statique.

Pour plus de détails, voir, dans la Bibliotheca Belgica, la Bibliographie des œuvres de Simon Stevin par M. Ferdinand Vanderhaegen. Cet écrit nous a fourni également les renseignements biographiques que nous donnons dans le texte.

raisonnement, afin que l'on en distingue tous les membres, que l'on voie le jeu de chaque articulation.

Si la forme même de ses écrits nous montre en Stevin un fervent disciple d'Archimède, son propre aveu nous assure qu'il repoussait de toutes ses forces la méthode employée en Statique par Aristote et par Cardan.

Cet aveu transparaissait déjà, dès la première édition de sa Statique, dans l'avis au lecteur qui ouvrait le livre consacré à la pratique (i) ; il se manifeste pleinement dans un Appendice (2) rédigé par Stevin pour la seconde édition de sa Statique.

A l'aspect de la foule des erreurs qui ont cours en Statique, Stevin se sent le désir et le pouvoir d'infliger à cette armée d'ennemis de la vérité une défaite de Marathon (3) ; mais il préfère condenser en deux propositions l'essence même de toutes ces hérésies, et réfuter en deux Chapitres ces deux propositions.

Le premier de ces Chapitres (4) est dirigé -contre l'idée! fondamentale des Mriyci.viy.à rrpoêXiîf/ara : La cause de téqui- ■ libre du levier, dit le titre, ne réside point dans les arcs de cercle que décrivent ses extrémités . « Que des poids égaux, suspendus à des bras de levier égaux, se fassent équilibre, le sens commun suffit à nous l'enseigner. Mais que des poids inégaux, suspendus à des bras de levier inégaux, soient en équilibre lorsque ces poids sont inversement proportionnels aux bras qui les portent, la cause n'en est pas aussi évidente. Cette cause, les anciens ont pensé qu'elle résidait dans les arcs de cercle décrits par les extrémités du levier ; on peut voir cette opinion dans Les Mécaniques d' Aristote et dans les écrits de ses partiel) Simonis Slevini Mathematicorum Hypomnematum de Staiica, p. 81 ; Liber lerlius, de Staticae praxi ; ad Lectorern.

(2) Simon Stevin, 7&?cZ., p, 150;Appendix Statices, ubi inler alia errores quidam iTarivMV î^iwy.ârwv refellunlur.

(3) Simon Stevin, Ibid.^ p. ISO ; ad Lectorern.

(4) Simon Stevin, Ibid., p. 151 ; Capul 1 : Causam aequilibritatis situs non, esse in circulis ab extremitatibus radiorum descriptis. '

sans. Que cette opinion soit fausse, nous le prouverons de la manière suivante :

» Ce qui est immobile ne décrit pas de cercle ;

r> Deux poids en équilibre sont immobiles ;

» Donc deux poids en équilibre ne déonvent aucun cercle (i).

» Partant, il n'y a pas de cercle ; le cercle supprimé, la cause qui pouvait résider en lui disparaît ; la cause de l'équilibre du levier ne se cache donc pas dans les arcs de cercle. Insistons, afin de mettre hors de doute la mineure de notre syllogisme ; ce mouvement, cette description de cercles, que l'on considère ici, n'est nullement une propriété des poids qui se font équilibre ; il est un effet du hasard, il est causé par le vent ou par quelque impulsion étrangère ; et alors, ce ne sont pas seulement des poids en équilibre qui décrivent des cercles, mais aussi des poids àviTÔppoTra quelconques. La cause de l'équilibre ne réside donc point dans ces arcs de cercle... Il ne faut point s'étonner si ceux qui prenaient pour vérités de telles erreurs ne sont point arrivés à la véritable connaissance des causes, et que, n'ayant pu, en aucune manière, trouver la forme de la Statique, ils se soient écartés de la vérité dans les sens les plus divers, luttant avec une foule de propositions fausses. «

La condamnation est sévère ; elle est souverainement injuste ; de cette proposition, si hautainement réfutée par Sievin, un progrès continu a fait sortir la méthode entière des déplacements virtuels, et la fécondité, plus étonnante chaque jour, de cette méthode ne cesse de proclamer le génie de celui qui a composé les M/j^avi/.à TrpocXyjua-a. La méprise de Stevin est celle d'un esprit exclusivement

(l) Dans son français naïf, Albert Girard formule ainsi ce syllo>;isme : Ce qui demeure coy, estant suspendu, ne descrit aucune circonférence.

Deux pesanteurs pendues en équilibre sont coyes.

Deux pesanteurs pendues en équilibre donc ne descrivent aucune circonférence.

géométrique. Les yeux du géomètre, qui n'est que géomètre, exigent des torrents de lumière ; les seules vérités qu'ils aperçoivent sont celles qui, brillants papillons, ouvrent leurs ailes au grand soleil de l'évidence ; or les idées de l'avenir, demain insectes parfaits, mais aujourd'hui larves encore, vivent dans une demi-clarté ; aux yeux éblouis du géomètre, cette demi-clarté semble une nuit profonde où grouillent des monstres.

Plus justes sont les critiques adressées par Stevin (i) à la Dynamique, encore bien informe, qu'enseigne Cardan dans VOpus novwn ; bien aisément, le géomètre de Bruges montre l'impuissance de cette Dynamique à rendre compte des particularités qu'oifre la chute des graves dans l'air ou dans un milieu homogène ; comment rendrait-elle compte des mouvements des « machines, formées d'un agencement de bois et de fer, où certaines parties sont graissées d'huile ou de saindoux, où d'autres sont gonflées par l'humidité de l'air ou rongées par la rouille, où ces diverses circonstances, et beaucoup d'autres que je passe sous silence, viennent tantôt faciliter le mouvement, tantôt le gêner « ?

La Statique laissera donc de côté toute considération sur le mouvement des machines : « La Statique enseignera exclusivement (2) les circonstances dans lesquelles le poids moteur et le poids mû s'équivalent ou se font équilibre. Mais à tout mobile sont toujours liés d'une manière inhérente certains empêchements au mouvement ; c'est par la pensée seulement que l'on en peut faire abstraction ; et pour mettre le mobile en mouvement, il est également nécessaire de surmonter ces empêchements ; la détermination de la puissance qu'il faut mettre en œuvre pour ébranler et émouvoir un poids donné restera en dehors des enseigne- Ci) Simonis Stevini Mathematicorum Hypo^nnematum de Statica, p. 151 ; Caput 11 : Res molas impedimentis suis non esse proportionales.

{i) Simon Stevin, Ihid. , Liber tertius , de Staticse praxi , p. 81 ; ad Leclorem.

ments de la Statique. La méthode mathématique, en effet, est impuissante à déterminer et à expliquer ces excès de puissance motrice qu'exige le mouvement ; car les empêchements au mouvement n'ont, avec l'objet mû, aucune relation constante. «

La Statique peut-elle être construite hors de toute considération de ces obstacles au mouvement? Simon Stevin l'affirme ; il nie que ces obstacles, ces frottements puissent maintenir les corps en repos dans des conditions autres que celles qui sont fixées par la science de l'équilibre. « D'ailleurs, dit-il (1), la considération de l'équilibre suffit ici ; en effet, si, dans les deux plateaux d'une balance, vous placez des poids égaux, bien que le fléau ne soit pas exempt de certains obstacles au mouvement, il suffira toutefois du plus léger effort pour faire osciller la balance alternativement d'un côté et de l'autre ; et il est certain qu'il en sera de même dans tous les autres cas. »

Manifestement, l'affirmation est erronée. Les frottements de toute espèce, les diverses sortes d'empêchements au mouvement déterminent une foule d'équilibres que ne saurait prévoir une Statique où l'on ne tient aucun compte de ces obstacles. Il y a pour cette Statique, en tous ces impedimenta, des sources de démentis, des causes de désaccord avec la réalité. Le géomètre, cependant, les laissera hors de ses raisonnements, parce que les lois auxquelles ils obéissent ne présentent pas, à ses yeux, un degré suffisant de clarté. « Impedimentorum, inquam(2), potentia, cum catholica non sit, a Staticae prseceptis rejicienda, quia ejus ad potentiam moventem ratio unica et certa nuUa apparet. » Etrange méthode, pensera-t-on, qui sacrifie l'exactitude à la simplicité et à la clarté ; mais heureux illogisme, qui arrache l'esprit humain à l'inutile et désespérante contemplation d'un problème inabordable,

(1) Simonis Stevini Mathematicorum Eypomnemaium de Statica.

(2) Simon Stevin. iô/d.

hérissé de difficultés et de complications, pour le lancer à l'assaut d'un problème moins abrupt et plus accessible ; sûr de celui-ci, il pourra, dans un second effort, y appuyer sa marche en avant et se rendre enfin maître de l'entière vérité, imprenable tout d'abord. Si, dans l'étude de la chute des corps, Galilée n'avait pas négligé la résistance, si réelle et si efficace, du milieu, il n'eût pas créé la Dynamique. De même, la Statique n'eût pas reçu de Simon Stevin la féconde impulsion qu'elle lui doit, si ce géomètre eût voulu tenir compte des résistances et des frottements.

C'est donc, à la manière d'Archimède, une Statique indépendante de la science du mouvement que Stevin; composera ; cette Statique tirera ses déductions d'axiomes auxquels le sens commun conférera certitude et clarté.

En toute entreprise de ce genre, la difficulté est moins d'enchaîner dans un ordre logique rigoureux les diverses propositions, dont la suite formera la théorie que l'on veut exposer, que d'énumérer, sans omission ni répétition, tous les axiomes dont on doit réclamer l'acceptation. Au début de ses Éléments, Euclide a donné un inoubliable modèle d'une telle énumération ; formé à son École, Archimède a su merveilleusement démêler presque toutes les demandes qu'il convenait de formuler au début de ses traités mécaniques. 11 en a omis cependant, et non des moindres ; sa théorie du levier suppose, sans la demander explicitement, l'existence de certaines propriétés du centre de gravité. En l'accomplissement d'une semblable tâche, Simon Stevin fut, peut-être, moins heureux que ses illustres modèles ; sous la minutieuse complication de l'appareil logique selon lequel s'ordonnent ses déductions se glisse parfois u'n postulat, à demi caché, et d'une évidence moins immédiate que les axiomes formellement énoncés. Girard, déjà, en avait fait la remarque; au cours d'une de ses démonstrations (Livre I, Théorème II, Prop. VI), Stevin place incidemment cette phrase : « Il faut aussi remarquer

cette règle générale de Statique, que le centre de gravité d'un corps suspendu est en sa perpendicle de gravité. r> A la suite de cette déduction de Stevin, Albert Girard place une note où, entre autres critiques, se lit celle-ci : « On voit que Stevin ne prouve pas du tout sa démonstration, car il s'aide puis après d'une règle qu'il ne démonstre pas icy... Finalement, il devoit plus tost avoir mis la règle cy-dessus es pétitions. » .

Les Éléments de Statique ( i ) débutent par une série de définitions ; ils présentent ensuite une série de propositions; parmi celles-ci, les unes sont consacrées aux poids qui

tirent verticalement, les autres aux poids qui tirent obliquement ; les premières sont dominées par la théorie du levier, les secondes par la tiiéorie du plan incliné.

La théorie du levier est présentée sous une forme très ingénieuse.

Imaginons un cylindre droit, homogène, à génératrices horizontales, ABCD (fig. ySj ; supposons-le suspendu par son centre de figure M, qui est, en même temps, son centre de gravité ; ce cjdindre sera sûrement en équilibre.

Par une section droite EF, nous pouvons décomposer

(1) Simonis Stevini Mathematicorum Eypom7iematum de Statica^ Liber primus Stalicae, de Staticse elementis.

ce cylindre en deux cylindres partiels AECF et EFBD dont les volumes et, partant, les poids aient entre eux tel rapport qu'il nous plaira d'imaginer. A chacun de ces poids, nous pourrons ensuite substituer deux poids de forme quelconque mais égaux aux premiers, suspendus à la ligne non pesaiite, GH, qui sert d'axe au cylindre total, par les points K, L, centres de gravité des cylindres partiels.

Nous avons donc, en définitive, un levier horizontal en équilibre K, L qui porte en ses extrémités K, L des poids proportionnels à GI et IH, c'est-à-dire inversement proportionnels aux longueurs KM, ML des bras de levier.

Telle est la méthode fort élégante par laquelle Stevin parvient (i) à la loi d'équilibre du levier horizontal ; il en tire aisément ensuite la loi d'équilibre d'un levier oblique et diverses propositions touchant les centres de gravité.

Quelle est l'originalité de cette démonstration, c'est ce que nous examinerons plus tard. Pour le moment, nous poursuivrons l'analyse de la Statique composée par le grand géomètre de Bruges et nous porterons en premier lieu notre attention sur le problème du plan incliné.

De ce problème célèbre, Stevin obtient la solution par une méthode infiniment originale, que rien ne rappelle dans les méthodes diverses par lesquelles Galilée, Descartes et Torricelli ont résolu la même question.

« Jusqu'ici, dit-il (2), nous avons énuméré les diverses espèces de poids tirant verticalement ; désormais, nous allons décrire les propriétés des poids tirant obliquement ; de ces propriétés, nous prendrons pour fondement la vérité générale que renferme ce Théorème :

» Théorème XI, Proposition XIX. Soit un triangle dont le plan est perpendiculaire et la base parallèle à r horizon ; sur les deux autres côtés, sont placées deux

(1) Simonis Sievini Mathematicorum Hypomnemaium de Statica, pp. 12-15.

•^ (2) Simon Stevin, Ibid., Liber priinus, de Stalicae elenienlis, p. 34.

boules (1) qui s'équilibrent Vune Vautre (2) ; la pesanteur apparente (sacoma) de la houle de gauche est à la pesanteur apparente antagoniste (antisacoma) de la boule de droite comme la longueur du côté droit du triangle est à la longueur du côté gauche.

» Soit, ajoute Stevin, le triangle ABC (fig. 74), où le côté AB est double du côté BC ; les deux boules D et E étant de même grandeur et de même poids, il s'agit de prouver que la pesanteur apparente de la boule E est double de la

pesanteur apparente de la boule D. Dans ce but, adjoignons à ces boules douze autres boules qui leur soient identiques F, G, H, I, K, L, M, N, 0, P, Q, R ; relionsles les unes aux autres par des fils égaux, de telle manière que nous formions un collier sur lequel nos quatorze boules soient également espacées. Jetons ce collier sur notre

(1) Ajoutez : de même grandeur et de même poids.

(2) stevin veut dire par là : disposées de telle sorte que la descente de Vune oblige Vautre à monter. Pris au pied de la lettre, l'énoncé donné par Stevin serait en contradiction avec les développements qui le suivent.

triangle, de telle sorte que le côté AB porte quatre boules et le côté BC deux boules seulement.

" Si la pesanteur apparente de l'ensemble de quatre Doules D, R, Q, P n'était pas égale à la pesanteur apparente de l'ensemble des deux boules E, F, l'un de ces deux ensembles pèserait plus que l'autre ; supposons que l'ensemble le plus pesant soit celui des quatre boules D, R, Q, P. D'autre part, les quatre boules 0, N, M, L ont évidemment même pesanteur que les quatre boules G, H, I, K. Donc la partie du collier formée par les huit boules D, R, Q, P, 0, N, M, L serait plus lourde que la partie du collier formée par les six boules E, F, G, H, I, K. Or le plus lourd entraîne le plus léger ; les huit boules vont donc descendre et les six vont donc monter. Imaginons que D soit descendue jusqu'à prendre la place de 0, que E, F, G, H se soient substituées à P, Q, R, D, enfin que I, K se trouvent où étaient E, F. La couronne ou le collier de boules se retrouvera exactement dans la même situation qu'au début ; pour la même raison, les huit boules de gauche pèseront plus que les six boules de droite ; de nouveau, ces huit boules de gauche descendront, les six de droite monteront. Ainsi, ces boules prendront d'elles-mêmes un mouvement continu et éternel, ce qui est faux, w

La pesanteur apparente (sacoma) des quatre boules de gauche est donc égale à la pesanteur apparente antagoniste (antisacoma) des deux boules de droite ; et, comme le voulait l'énoncé, le sacoma de l'une des boules de gauche est la moitié de Y antisacoma de l'une des boules de droite.

Supposons qu'un corps M (fig. yS), reposant sur un plan incliné AB, soit tiré par un fil MN, tendu parallèlement à la ligne de plus grande pente du plan ; que ce fil passe ensuite sur une poulie N et que le bout qui pend verticalement porte un poids P. Quelle grandeur devra avoir ce poids P pour maintenir le corps M en équilibre ? Il devra évidemment être égal à la pesanteur apparente, au sacoma

du corps M ; en d'autres termes/^le poids^P sera au poids du corps M comme BC est à AC.

Ce résultat peut encore s'énoncer d'une autre manière; traçons un triangle abc dont les côtés ac, ah sont respectivement perpendiculaires à AC, AB, tandis que le troisième côté hc est parallèle à AB. Le poids P sera au poids M comme le côté ic est au côté ac. Cette construc-

tion, donnée par Stevin (1), est, on le voit, celle que nous ferions aujourd'hui pour exprimer que la tension du âl MN et le poids du corps M ont une résultante normale au plan AB.

Comment devra être déterminé le poids P (âg. 76) si le fil qui tire le mobile M est tendu suivant une ligne MN

(1) Simonis Stevini Maihematicorum Hypomnentatum de Siaiicay Liber primus Slaticae, de Staticae elementis, p. 35.

qui n'est plus parallèle au plan incliné AB ? Stevin conserve la règle précédente. Si l'on trace un triangle abc dont les côtés ac, ah sont le premier vertical et le second normal à AB, tandis que le troisième côté hc est parallèle à MN, le poids P sera au poids M comme le côté hc est au côté ac. La règle ainsi formulée est encore celle que

Jt£f. 76.

nous suivons aujourd'hui pour marquer que le poids du mobile et la tension du fil ont une résultante normale au plan incliné.

Mais, il faut bien le reconnaître, cette généralisation de la première règle est, dans l'œuvre de Stevin, une pure pétition de principes ; il ne nous semble pas que les considérations (i) qui en accompagnent l'énoncé puissent, en aucune façon, être prises pour un raisonnement.

(1) Simon Stevin, loc. cit., 6 Conseclarium, pp. 36 et 37.

Les règles que nous venons d'exposer équivalent, en somme, à des compositions de forces ; et, en effet, Stevin va en tirer la loi générale de la composition de deux forces concourantes, la loi célèbre du parallélogramme.

Il supposera que deux cordes soutiennent un corps pesant et il démontrera, tout d'abord, que les directions de ces deux cordes, situées dans un même plan vertical, vont concourir en un point qui est sur la verticale du centre de gravité du corps suspendu ; puis, il cherchera quelle est la tension de chacune de ces deux cordes ; il construira un parallélogramme dont les côtés soient parallèles aux deux cordes et dont la diagonale soit verticale ; il montrera alors que la tension de chaque corde est au poids total du corps comme la longueur du côté correspondant du parallélogramme est à la longueur de la diagonale ; ainsi se trouvera démontrée la règle, désormais célèbre, qui donne la résultante de deux forces concourantes ; de cette règle, diverses conséquences, classiques encore aujourd'hui, se tireront aisément.

Par quels intermédiaires Stevin a-t-il pu passer, des théorèmes sur le plan incliné dont nous avons rappelé l'énoncé, à la règle du parallélogramme des forces ? Ces intermédiaires, il ne nous est pas possible de les retracer ici; la méthode géométrique des anciens, dont Stevin fait un usage exclusif, progresse par une longue suite de propositions, enchaînées par de complexes artifices de construction ; cette lenteur et cette complication paraissent insupportables à nos esprits qui ont accoutumé de goûter la brièveté et la simplicité de l'analyse moderne.

Cette pénible déduction, Stevin ne l'a pas menée d'emblée de son point de départ à son point d'arrivée ; pour obtenir la règle du parallélogramme des forces, il a dû s'y reprendre à deux fois. Au moment où il publiait la première édition flamande de sa Statique, il était déjà

en possession de la première partie de l'énoncé (i) ; mais la seconde partie fut publiée pour la première fois dans un appendice sur l'équilibre des fils [Spartostatica) (2), inséré aux Hypomnemata mathematica.

D'ailleurs, la minutieuse complication de l'appareil logique mis en œuvre par Stevin ne fonctionne pas sans quelques heurts et sans quelques soubresauts ; nous en avons déjà signalé un ; il n'est point seul et le passage (3) de l'équilibre d'un corps sur un plan incliné à l'équilibre d'un corps qui a un point fixe nous semble bien scabreux.

Quoi qu'il en soit des objections que l'on peut adresser à plus d'un raisonnement de Stevin, les règles qu'il a énoncées sont exactes ; elles répondent à des questions qui, dès l'antiquité, avaient sollicité les efibrts des mécaniciens sans trouver de solution ; elles seront d'un continuel usage aux géomètres qui, dans l'avenir, traiteront de la Statique ; Stevin avait donc le droit de contempler avec orgueil le monument dont il était l'architecte.

Il était particulièrement fier d'avoir résolu le problème du plan incliné, qui formait comme la clé de voûte de toute sa Statique. En frontispice (4) de la première édition de son œuvre, figurait, au centre d'un écusson, la figure d'un triangle ceint d'un collier de quatorze perles ; cette figure et la devise flamande (5) « Wonder en is gheen Wonder r> qui la surmontait rappelaient au lecteur l'original artifice par lequel le géomètre de Bruges avait, si simplement, délié ce nœud gordien.

(1) Simonis Sievini Mathematicorum Hypomnematmn de Statica, Liber primus Sialicse, de Staticse elemenlis. 16 Theorema, 2S Propositio ; p. 46.

(2) Simon Stevin, Ibid.^ Additamentum Staticœ. Pars prima : De Spartostatica; 5 Consectarium, p. i61.

(3) Simon Stevin, Ihid., Liber primus Staticœ, de Staticae elementis ; 9 Consectarium, p. 39.

(4) Ce frontispice est reproduit dans : Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung , 2"= Auflage, fig, 21, p. 28; Leipzig, 1889.

(5) « La merveille n'est pas merveille. »

Cette démonstration tire toute sa force d'un principe, l'impossibilité du mouvement perpétuel. Ce principe, Stevin en fait usage sans en avoir au préalable demandé l'acceptation à son lecteur, sans l'avoir mis au nombre des postulats (i)par lesquels débute sa Statique; serait-il donc d'une telle évidence que cette précaution logique fût, pour lui, inutile ? Mais, parmi les postulats explicitement formulés par Stevin, le premier est celui-ci : Des poids égaux, suspendus à des bras de levier égaux, sont en équilibre. Or il est n'est point niable que l'impossibilité du mouvement perpétuel constitue une proposition beaucoup moins évidente que cette dernière, car celle-ci n'a jamais été mise en doute, tandis que toutes les époques ont connu des chercheurs de mouvement perpétuel, qui n'étaient point tous des fous.

Où donc Stevin a-t-il puisé cette confiance absolue dans l'axiome de l'impossibilité du mouvement perpétuel, sinon dans les raisonnements de Cardan, raisonnements que Cardan lui-même a empruntés à Léonard de Vinci ? Sans doute, Stevin ne mentionne qu'un seul ouvrage de Cardan, VOjJus novum de yroportionihus ; mais alors qu'il a lu attentivement et critiqué ce dernier ouvrage, comment ignorerait-il le De subtilitate, dont la vogue a été si grande ? Et s'il doit à la lecture du De subtilitate sa foi en l'impossibilité du mouvement perpétuel, cette foi n'est-elle pas un hommage indirect aux considérations que développe cet ouvrage touchant la puissance nécessaire pour maintenir une machine en mouvement ? Car sans ces considérations, que Stevin a très vivement blâmées, Léonard de Vinci et Cardan n'auraient pu justifier leurs attaques contre le mouvement perpétuel.

Ainsi, ceux mêmes qui prétendent édifier une Statique

(l)Simonis Stevini Mathemaiicorum Eypomnemalum de Statica, Liber primus Slaiicae, de Slaticœ eleraentis. Postulata, p. 18.

parfaitement autonome, pleinement indépendante de tout appel aux lois du mouvement, se voient parfois contraints de recourir, plus ou moins explicitement, aux principes de la Dynamique.

Parmi les appendices à sa primitive Statique que Stevin inséra dans ses Mathematica Hypomnemata, il en est un (i) qui traite de l'équilibre des poulies et des moufles {Trochleostatica). A propos de ces mécanismes, il formule cette brève observation (2) : « Remarquez aussi qu'en ce cas, on peut appliquer cet axiome de Statique :

» Ut spatium ageniis, ad spatium patientis ; » Sic poientia pcdientis ad potentiam agentis. »

C'est le seul passage où Stevin fasse allusion aux considérations si souvent développées par les auteurs qui, avant lui, se sont occupés de Statique. De cette allusion, toute considération du rapport entre la vitesse de la puissance et la vitesse de la résistance est soigneusement exclue ; Stevin est, en cela, conséquent avec les critiques si vives qu'il avait, adressées à l'énoncé péripatéticien du principe des vitesses virtuelles. Le chemin parcouru par la puissance et le chemin parcouru par la résistance sont seuls pris en considération, comme ils le seront systématiquement par Descartes, dont les recherches ont assurément subi l'influence de la Statique de Stevin, Cette influence indéniable donne une importance toute particulière au passage, si court, que nous venons de citer ; ce passage marque, en quelque sorte, un tournant dans la marche suivie par la science de l'équilibre.

La Dynamique péripatéticienne conduit de la manière

(1) Simonis Stevini Mathematicorum Hypomnematum de Statica, Additamenium Slalicse. Additamenti Slaticae pais secunda : De Trochleostatica; p. 169.

(2) Simon Stevin, loc. cit., p. 172.

la plus naturelle à déclnrer que- deux poids sont en équilibre lorsqu'ils sont inversement proportionnels aux vitesses virtuelles de leurs points d'application. Cet énoncé domine non seulement les My/'^avtxà T:pooAy;para attribués à Aristote, mais encore maint écrit de l'École d'Alexandrie, les Causes de Charistion, le commentaire qu'en a donné Thâbit ibn Kurrah.

Un principe d'origine très distincte, bien que fort semblable au précédent dans ses effets, consiste à poser l'équilibre entre deux poids lorsque Y ahaissemeyit virtuel de l'un est à l'élévation virtuelle de l'autre comme le poids du second est au poids du premier. Implicitement admis, ce principe fournit à Jordanus sa théorie du levier droit ; le Précurseur de Vinci en tire, avec une admirable sagacité, la théorie du levier coudé et la loi du plan incliné.

Dans les écrits des géomètres du xvi^ siècle, les deux principes, nés de pensées différentes, mais indistincts dans leurs applications, se trouvent constamment entremêlés. Léonard de Vinci, Cardan, les admettent tous deux et, bien souvent, on aurait quelque peine à décider si leurs raisonnements se réclament de l'un plutôt que de l'autre. Tartaglia, après avoir exposé la doctrine d'Aristote, emprunte la méthode inaugurée par Jordanus et son Ecole. Enfin, Guido Ubaldo se refuse à tirer ses déductions de l'un ou de l'autre principe ; il les transforme l'un et l'autre en corollaires, mais, à ce titre, il les regarde comme équivalents et a toujours soin de les énoncer l'un à la suite de l'autre.

Galilée, qu'une tradition erronée nous montre jetant bas la Dynamique péripatéticienne et inaugurant la Dynamique nouvelle, garde, presque en toutes circonstances, le principe des vitesses virtuelles tel que l'a formulé Aristote ; c'est seulement d'une manière incidente, en de rares occasions, qu'il lui donne la forme du principe des déplacements virtuels. Au contraire, le staticien Stevin,

par ses attaques contre le 'principe péripatéticien, par la courte remarque que nous avons citée, fraye la voie à Descartes. Celui-ci fera aboutir les tendances issues à l'Ecole de Jordanus ; il montrera comment le principe des déplacements virtuels sauve la méthode si féconde introduite en Statique par les péripatéticiens de la ruine où, sous ses coups et sous les attaques de Beeckman, s'effondre la Dynamique d'Aristote.

Il ne semble pas, d'ailleurs, que Stevin ait entrevu toute l'importance de la comparaison entre le chemin parcouru par la puissance et le chemin parcouru par la résistance. Dès longtemps, cette comparaison avait servi à condamner la prétention, attribuée à Archimède, de composer une machine si puissante que la force d'un homme suffirait à mettre en mouvement un poids aussi gros que la Terre ; fort justement, on observait que le chemin parcouru par cette résistance serait au chemin décrit par la main de l'homme comme la puissance de l'homme est à cet énorme poids ; en sorte qu'un mouvement, même très grand, de cette main ne donnerait à la Teri'e qu'un déplacement prodigieusement petit. Stevin rapporte cette objection, dont il ne pouvait contester le bien fondé, mais il ne paraît pas en avoir senti la gravité. « Bien que ce déplacement, dit-il (i), ne soit ni visible ni appréciable, cependant, la possibilité de produire une puissance infinie nous est démontrée et notre esprit la saisit ; si son action se poursuivait pendant de longs siècles, elle finirait par produire un mouvement visible... L'exclamation qu'Archimède lança autrefois, dans sa joie d'avoir découvert le charistion : « (?ô; p.ot tioù cttw, xaî yavwr/.v y/^v, donnez-moi » un point d'appui et, de ce point, je tirerai la terre ! r, ne doit pas être regardée comme l'énoncé d'une impossibilité ou d'une absurdité. »

(1) Simonis SIcviiii Mathematicorum Hypomnematum de Statica, Liber lerlius Slalicae, [de Slalicse Praxi ; 1» Proposiiio : Inflnilse potentiîe formas et accidentia exponere ; p. 107.

Le passage d'où nous extrayons cette citation prête, d'ailleurs, à plus d'une remarque intéressante.

Sur la foi de Jacques Besson, Stevin affirme (i) que le charistion dont l'invention arracha à Galilée cette exclamation enthousiaste, était une machine propre à haler les vaisseaux sur une cale. La construction de cette machine reposait sur l'emploi de vis sans fin multiples. Elle avait été imaginée en vue du halage d'une galère immense que Hiéron, tyran de Syracuse, avait fait construire à l'intention du roi d'Egypte, Ptolémée ; le nom de charistion était une allusion aux formes gracieuses du navire. A la vérité, on ne comprend guère que cette tonture élégante ait fait donner ce nom non pas à la galère, mais à l'instrument qui permettait de la tirer au sec. Nous avons dit, d'ailleurs, au Chapitre V, combien peu de crédit, selon nous, méritait toute cette légende.

Au charistion d'Archimède, Stevin préfère pour le même usage, une machine qu'il nomme pancration, à cause de sa grande puissance, et qui n'est autre que notre moderne guindeau.

Stevin parle de ce guindeau, de sa construction, de ses effets, dans des termes lels qu'il serait difficile au lecteur de ne lui en point attribuer l'invention ; cette invention, cependant, remonte au moins à Héron d'Alexandrie ; non seulement Héron décrit ce guindeau (2) au commencement de son livre sur V élévateur, mais encore Pappusen donne(3) la description d'après ce grand mécanicien ; il en attribue même l'invention à Archimède et c'est, selon lui, cette invention qui provoqua l'exclamation ambitieuse du grand géomètre de Syracuse. Or, il est certain que Stevin n'a pas connu l'ouvrage de Héron, car le manuscrit de la tra-

(1) Simon Slevin, loc. cit., p. 101.

(2) Héron d Alexandrie, Les Mécaniques ou l'Élévateur^ publiées pour la première fois sur la version arabe de Qostâ ibn LûkA et traduites en français par Carra de Vaux ; Paris, 1894, p. 39.

()) l'ap[)i Alexandrini CoUectiones quœ supersunt edidil F. Hultsch ; Berolini, 1878. Volumen III, p. 1060.

duction ambe de Qostâ ibn Lûkâ, récemment publiée par M. le baron Carra do Vaux, fut apporté par Golius (K'96- 1667) h la Bibliothèque de Leyde longtemps après la publication de la Statique de Stevin. Mais, en revatjche, le grand géomètre de Bruges a sûrement eu connaissance des Collections mathématiques de Pappus. Il cite cet auteur (1) en lui empruntant sa définition du centre de gravité, qui se trouve (2) dans le même livre (livre VIII) que la description du guindeau.

Stevin, nous le voyons, ne poussait pas jusqu'au scrupule le soin de nommer ses prédécesseurs et de mentionner les emprunts qu'il leur faisait. Il suivait en cela, d'ailleurs, les errements coutumiers à tous ses contemporains ; un auteur ne citait guère ses précurseurs ou ses émules que lorsqu'il s'agissait de les combattre. De telles habitudes rendent fort malaisée la tâche de l'historien ; lorsqu'il veut démêler les influences qui ont pu suggérer à un géomètre une idée nouvelle, l'historien, bien souvent, en est réduit aux conjectures.

Stevin a-t-il connu les doctrines professées en Statique par l'École de Jordanus ? Il me paraît difficile d'en douter. Comment admettre qu'il n'ait eu en mains ni le traité publié, sous le nom de Jordanus, par Peter Apian, ni quelqu'une des nombreuses éditions des Quesiti et Inveniioni diverse de Tartaglia ? Il a donc sûrement connu, par l'un ou l'autre de ces écrits, la notion de gravité secimdiim situm, notion à laquelle correspond si exactement celle qu'il désigne par le mot sacoma.

Stevin a-t-il connu le Mechanicorum liber de Guido Ubaldo ? Il a pu le connaître et en user au cours de ses recherches de Statique ; \q Mechanicorum liber fut imprimé en 1577 ; la traduction italienne donnée par Pigafitta

(1) Simonis Stcvini Mathematicorum -Rypomnemalum de Statica, Liber primus Stalica;, de Stalicae elementis, p. 0.

(2) Pappi Alexandrini Collectiones quœ supersuJîé ediilit F. Diiltsch; Voluraen III, p. 1032.

parut en 1 58 1 ; tandis que la première édition de la Statique de Stevin est de i586. Toujours est-il que l'un des graiuls titres de gloire de Stevin est d'avoir exactement résolu un problème que Guido Ubaldo avait simplement posé.

L'École de Jordanus, en effet, s'était contentée de considérer la gravitas secimduni situm, c'est à-dire la composante du poids suivant la trajectoire que peut prendre le mobile. Guido Ubaldo insista sur la nécessité de considérer aussi la composante du poids suivant la normale à cette trajectoire ; mais il ignora sûrement le moyen de déterminer ces doux composantes.

Stevin donna la règle selon laquelle le poids doit se résoudre en ces deux composantes rectangulaires, et la priorité de cette découverte ne lui saurait être contestée (i). Sans doute, Léonard de Vinci avait eu, un instant, une exacte connaissance de la règle selon laquelle un poids peut se décomposer suivant deux directions données ; mais cette règle, il l'avait rejetée presque aussitôt qu'aperçue, et personne ne semble l'avoir remarquée dans ses notes, ni livrée au public.

Si Stevin est parvenu à décomposer correctement un poids en deux forces rectangulaires, il le doit à la solution du problème du plan incliné. Malgré l'originale ingéniosité de la méthode par laquelle Stevin a su résoudre ce problème, on ne saurait oublier que l'Ecole de Jordanus l'avait non moins exactement résolu avant lui, ni douter qu'il ait connu les recherches de ses prédécesseurs.

(1) Nous avons dit, à la fin du Chapitre III, que Libri avait revendiqué pour Cardan l'invention de cette règle, et nous avons mis le lecteur en garde contre celte affirmation. Depuis l'impression du Chapitre III, nous avons pu contrôler l'assertion de Libri et reconnaître qu'au passage cité par celui-ci. Cardan avait parlé non de la règle de composition des forces, mais de la règle de composition des vitesses^ connue déjà de l'auteur des M/j/avutà TroooXy^uara. Chose curieuse, Cardan croit que celte règle n'est exacte que pour des vitesses rectangulaires. — Cet exemple montre le cas que l'on doit faire des renseignements fournis par Libri.

Au moment où Stevin publia la première édition de sa Statique, les Quesiti et Inventioni divej-se de Nicolo Tartaglia avaient eu cinq éditions, dont la plus récente datait déjà de trente-deux ans ; depuis vingt et une années, Curtius Trojanus avait fait imprimer le Jordani opuscuhim de ponderositate ; comment Stevin aurait-il ignoré la belle théorie du plan incliné donnée par le Précurseur de Léonard de Vinci ?

Il n'est donc pas douteux que l'œuvre admirable accomplie en Statique par le grand géomètre de Bruges n'ait, à plusieurs reprises, éprouvé la bienfaisante influence des idées émises, dès le xiif siècle, par Jordanus de Nemore et par les mécaniciens de son Ecole.

Il est encore une découverte en laquelle Stevin avait été devancé, peut-être à son insu.

Les géomètres de l'École d'Alexandrie s'étaient efforcés de tirer de la loi du levier la démonstration de la proposition suivante : Un cjdindre pesant, fixé au bras d'un levier de telle sorte que ses génératrices lui soient parallèles, équivaut à un poids égal suspendu à un fil dont le point d'attache se trouverait coïncider avec le centre du cylindre. Ce théorème jouait un rôle essentiel dans les quatre propositions attribuées à Euclide, dans le Libei' Chai^astonis publié par Thâbit ibn Kurrah, dans le De canonio ; il terminait les Elementa Jordani de ponderibus (i).

Retournant, en quelque sorte, la démonstration suivie jusqu'à lui, Stevin a admis l'exactitude^de cette proposition

(1) Ce principe n'a cessé de préoccuper les géomèlres de l'anliquiié el du moyen âge ; l'un d'eux a lenlé de la justifier directement, par une sorte de généralisation de la démonstration que les M/iVavtJtà TrpoêXvîwara ont donnée de la rè^'le du levier. Celle généraiisalion, tout imprégnée d'idées péripatéticiennes, re|)Ose sur une tentative pour définir ce qu'il convient d entendre par grandeur du mouvement d'un segment de ligne. Elle se trouve en un fragment du xiiF siècle, sans nom d'auteur, inséré à la suite du Liber Charastonis dans le Ms. 8680 A (latin) de la Bibliothèque Nationale (fol. 6 r. à fol. 7 r.).

et, fort élégamment, il en a tiré la preuve de la loi d'équilibre du levier. Galilée, daiîs la première journée des Discorsi, a exposé, postérieurement à Stevin, une déduction analogue.

Or, dès l'antiquité peut-être, dès le xiii^ siècle à coup sûr, on savait que la loi d'équilibre du levier pouvait se justifier de la sorte.

Une des nombreuses collections manuscrites ( 1 ) conservées à la Bibliothèque Nationale contient un fragment important dont l'élégante écriture gothique porte la marque du plus pur XIII*' siècle. On trouve, en ce fragment, une rédaction fort correcte du traité des poids spécifiques attribué à Archimède. Ce traité, nous l'avons dit, nous paraît apparenté au traité De ponde?^oso et levi attribué à Euclide et provenir, comme lui, de l'Ecole d'Alexandrie.

A la suite de ce traité sur les poids spécifiques se trouvent réunies quelques propositions disparates qui pourraient bien avoir la même provenance.

La première de ces propositions a pour objet d'établir fpar la géométrie l'égalité que l'algèbre moderne écrirait sous la forme

Aussitôt après cette proposition vient une démonstration originale et élégante de la règle du levier ; résumons-la en quelques lignes.

On admet en principe que, quelles que soient leurs formes, deux poids égaux se font équilibre s'ils pendent aux extrémités de bras de leviers égaux.

Aux deux points a, b, équidistants du point d'appui c (fig. 77) sont suspendus deux poids égaux ; l'un d'eux, f, pendu en (2, a une forme quelconque ; l'autre est un cylindre eg dont les génératrices sont horizontales ; le centre de ce cylindre est sur le fil vertical qui part du point b ;

(1) Bibliolhèque Nationale (fonds latin), Ms. 7377 B.

ce cylindre est assez long pour que son extrémité g dépasse la verticale du point d'appui.

Remontons ce cylindre jusqu'à ce qu'il devienne contigu au levier et fixons-le en ég' à ce levier ; selon le postulat d'où se doit tirer notre démonstration, le levier demeurera en équilibre.

Mais il est évident que, sans troubler cet équilibre, nous

c ^ et.

Jï^.77.

pouvons retrancher de notre cylindre la portion cg^ qui se trouve au delà de la verticale du point d'appui et une portion égale ch! en deçà de la même verticale ; en sorte que le cylindre eVi', fixé au levier, fait équilibre au poids /", pendu en a.

Le cylindre ëH , à son tour, peut, selon notre postulat, être remplacé par un cylindre égal e"K' pendu à un fil qui s'attache au fléau en q, milieu de <?7i'.

Si nous désignons par l le poids du cylindre éH ou du cylindre e"/i'', nous démontrerons sans peine que l'on a l'égalité

t cq

qui est la loi d'équilibre du levier.

Stevin a-t-il eu connaissance de cette démonstration ? Il ne nous est point possible de répondre à cette question. Quoi qu'il en soit, d'ailleurs, diverses conclusions nous paraissent hors de doute.

La première, c'est que Stevin a subi l'influence de ses prédécesseurs beaucoup plus souvent et beaucoup plus profondément que ses trop rares citations ne le laisseraient supposer.

La seconde, c'est que les germes semés en lui par les écrits d'autres géomètres ont pris, par ses méditations, un développement magnifique, souvent hors de proportion avec la graine dont son œuvre est issue ; en particulier, l'idée de résoudre une force en deux composantes, soupçonnée seulement par l'École de Jordanus et par Guido Ubaldo, a fourni à Stevin les théorèmes que nous admettons aujourd'hui et dont il a fait de nombreuses applications ; seul, Léonard de Vinci avait eu, avant Stevin, une vue aussi claire de la règle de composition des forces ; mais il avait lui-même méconnu sa découverte, et nul géomètre, semble-t-il, ne l'avait exhumée de ses notes.

La troisième conclusion, enfin, se peut formuler ainsi :

Malgré la complication et l'apparente rigueur de l'appareil logique que Stevin met en branle en chacune de ses démonstrations, il s'en faut de beaucoup que le géomètre de Bruges ait donné une preuve concluante de la règle selon laquelle il compose les forces concourantes ; après lui, cette règle attend encore qu'un géomètre l'établisse d'une manière entièrement convaincante; ce sera l'œuvre de Roberval.