RENÉ DESCARTES
Le 8 septembre lôSy, devant Breda, Constantin Huygens, père du grand géomètre Christian Huygens, écrivait (i) à Descartes :
« Peut-estre ne vous lairray point en repos, donec paria mecum feceris, et m'aurez favorisé d'un traicté de trois feuillets sur le subject des fondemens de la méchanique, et les 4 ou 5 engins qu'on y démonstre, libra, vectis, trochleon, etc. J'ai veu autrefois ce que Guido Ubaldo en a escrit, et, depuis, Galilseo, traduit par le P. Mersenne, mais l'un et l'autre à peu de satisfaction, m'imaginant que ces gens là ne font qu'envelopper de superfluités obscures une chose que je m'asseure que vous comprendrez en deux ou trois positions, n'y ayant rien, à mon sens, qui se tienne d'une si claire et nécessaire façon. «
A cette pressante demande de Constantin Huygens, Descartes répondait (2), le 5 octobre lôSy : « Pour ce que vous désirez des Méchaniques, il est vray que je ne fus jamais moins en humeur d'escrire que maintenant. » Toutefois, il joignait à sa lettre un petit traité intitulé : Explication des engins par Vayde desquels on peut, avec une petite force^ lever un fardeau fort pesant. En ce traité, la théorie de la poulie, du plan incliné, du coin, de la roue ou tour, de la vis, du levier est tirée tout entière d'un principe unique. Ce principe est le suivant : Le travail (Descartes dit la force) nécessaire pour élever des poids différents à des hauteurs différentes garde même
(1) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et P. Tannery, Paris, 1897 ; Correspondance, 1. 1 (avril 1622 à février 1638), p. 393.
(2) Id., ma., p. 435.
valeur lorsque le produit du poids par son ascension ne change pas.
Voici, du reste, en quels termes Descartes le formule :
« L'invention de tous ces engins n'est fondée que sur un seul principe qui est que la même force qui peut lever un poids, par exemple, de cent livres, à la hauteur de deux pieds, en peut aussj lever un de 200 livres à la hauteur d'un pied, ou un de 400 livres à la hauteur d'un demipied, et ainsy des autres, si tant est qu'elle luy soit appliquée.
w Et ce principe ne peut manquer d'estre receu, si on considère que l'efFect doit estre tousjours proportionné à l'action qui est nécessaire pour le produire ; de façon que s'il est nécessaire d'employer l'action par laquelle on peut lever un poids de 100 livres à la hauteur de deux pieds, pour en lever un à la hauteur d'un pied seulement, cestuy-cy doit peser 200 livres. Car c'est le mesme de lever 100 livres à la hauteur d'un pied, et derechef encore 100 à la hauteur d'un pied, que d'en lever deux cent (sic) à la hauteur d'un pied, et le mesme aussy que d'en lever cent à la hauteur de deux pieds.
" Or les engins qui servent à faire cette application d'une force qui agist par un grand espace à un poids qu'elle fait lever par un moindre, sont la poulie, le plan incliné, le coin, le tour ou la roue, la vis, le levier et quelques autres. Car si on ne veut pas les rapporter les uns aux autres, on peut en nombrer d'avantage ; et si on les y veut rapporter, on n'a pas besoin d'en mettre tant. »
Constantin Huygens reçut avec les marques de la plus vive admiration le petit traité de Statique que Descartes lui avait envoyé. « Je prie Dieu, disait-il (1), de vous inspirer à faire continuellement part au monde de vos escrits, puisqu'à vue d'œil ils sont destinés à le nettoyer
(1) Descartfts, Œuvres, publiées par Ch. Adam el Paul Tannery ; Correspondance, 1. 1 (avril 1622 à février 1658), [). 461.
d'un déluge universel d'erreur et d'ignorance. Au reste. Monsieur, je prévoy qu'en ne pouvant me taire de ce que je possède de si précieux de vostre main, on m'en fera chaudement l'amour de tous costés. »
Une occasion se présentait, qui allait amener Descartes à donner une sorte de seconde édition au traité dont Constantin Huygens avait eu la primeur. Un livre de Jean de Beaugrand, dont nous aurons à traiter au Chapitre XVI, avait vivement attiré l'attention des géomètres sur ce problème : Le poids d'un corps varie-t-il avec sa distance à la terre ?
Le i3 juillet i638, Descartes écrit à Mersenne(i) pour examiner « la question sçavoir si un corps pèse plus ou moins, estant proche du centre de la Terre qu'estant éloigné. « Dans cette lettre, il reprend sur nouveaux frais l'exposé du principe dont il a entretenu Huygens : « Et la preuve de cecy ne dépend que d'un seul principe qui est le fondement de toute la Statique, à sçavoir quil ne faut ny plus ny moins de force, pour lever un cors pesant à une certaine hauteur, que pour en lever un autre moins pesant à une hauteur et autant plus grande qu'il est moins pesant, ou pour en lever un plus pesant à une hauteur d'autant moindre. Comme, par exemple, que la force qui peut lever un poids de loo livres à la hauteur de deux pieds, en peut aussy lever un de 200 livres à la hauteur d'un pied, ou un de 5o à la hauteur de 4 pieds, et ainsy des autres, si tant est qu'elle leur soit appliquée.
y> Ce qu'on m'accordera facilement, si on considère que teffect doit tousjou7^s estre proportionné à l'action qui est nécessaire pour le produire, et ainsy que, s'il est nécessaire deinployer la force pour laquelle on peut lever un poids de 100 livres à la hauteur de deux pieds, pour en lever un à la hauteur d'un pied seulement, cela tesmoigne
(1) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, t. 11 (mars 1638 à décembre 1639), p. 222
que cestuy-cy pèse 200 livres. Car c'est le mesme de lever loo livres à la hauteur d'un pied, et derechef encore loo livres à la hauteur d'un pied, que d'en lever 200 à la hauteur d'un pied, et le mesme aussy que d'en lever 100 à la hauteur de deux pieds. r>
Ce principe rend immédiatement compte du rapport qui existe entre le poids apparent d'un grave glissant sur un plan incliné et son poids réel ; la méditation des raisonnements que Galilée, dans ses Méchaniques, a développés touchant le plan incliné ont, sans doute, inspiré à Des-
cartes son principe général; du moins, est-il permis de le supposer lorsque l'on rapproche les deux passages suivants :
Le premier, que nous avons déjà cité, se trouve dans le Traité Délia Scienza Meccanica. Reproduisons-le ici d'après la traduction du P. Mersenne (1), alors toute récente, et dont l'auteur avait sûrement fait tenir un exemplaire à Descartes :
« F (fig. 88) ne fera pas moins de chemin en descen-
(1) Les Méchaniques de Galilée mathématicien et ingénieur du Duc de Florence, avec plusieurs additions.... Traduites de l'Italien par L. P. M. M» A Paris, chez Henry Guenon, MDCXXXIV, p. 57.
dant perpendiculairement que le poids E en montant obliquement, c'est pourquoy il est nécessaire que F descende plus bas qu'il ne fait monter le poids E, dont l'exaucement (sic) se mesure par la ligne perpendiculaire BC; de manière que la ligne de la descente de F sera égalée à CA, quand il aura fait monter le poids de B à C. Car le poids ne résiste pas au mouvement parallèle à l'orizon, parceque ce mouvement ne l'éloigné point du centre de la terre. C'est pourquoy il importe grandement de considérer les lignes dans lesquelles se font les mouvements, et particulièrement lorsqu'ils se font par des forces inanimées, dont les momens et les résistances sont en leur souverain degré dans la ligne perpendiculaire à l'orizon ; mais elles se diminuent à proportion que la ligne se panche sur le plan horizontal. »
Le second passage se trouve dans la lettre que Descartes écrivait à Mersenne le 1 3 juillet i638 ; il fait suite à celui que nous rapportions il y a un instant :
« Et il suit évidemment de ceci que la pesanteur relative de chaque cors, ou ce qui est le mesme, la force qu'il faut employer pour le soutenir et empescher qu'il ne descende, lorsqu'il est en certaine position, se doit mesurer par le commencement du mouvement que devrait faire la puissance qui le soutient tant pour le hausser que pour le suivre s'il s'abaissait. En sorte que la proportion qui est entre la ligne droite que descriroit ce mouvement et celle qui marqueroit de combien ce cors s'approcheroit cependant du centre de la terre est la mesme qui est entre la pesanteur absolue et la relative. »
Entre ces deux passages, on n'aperçoit guère qu'une seule différence ; Galilée, qui a obtenu par d'autres considérations la théorie du plan incliné, fait de l'égalité entre le travail moteur et le travail résistant l'objet d'une sorte de corollaire ; Descartes y voit la cause même de l'équilibre entre un poids qui glisse sur un plan incliné et un poids qui pend verticalement. Lorsque, le i5 novembre
i638. Descartes écrit à Mersenne (i) : « Pour ce qu'a écrit Galilée touchant la balance et le levier, il explique fort bien quod ita fit, mais non pas cur ita fit, comme je fais par mon Principe » , il établit sans doute en son esprit la comparaison même que nous venons de faire. Visiblement, c'est en ce point que la pensée de Descartes se soude à celle de Galilée.
La soudure est assez apparente, l'influence de Galilée assez visible pour que l'on ne puisse sans stupeur lire ces lignes, que Descartes écrivait (2) à Mersenne le 1 1 octobre i638 :
« Et premièrement, touchant Galilée, je vous diray que je ne l'ay jamais vu, ny n'ay eu aucune communication avec luy, et que, par conséquent, je ne sçaurais en avoir emprunté aucune chose. Aussy ne vois-je rien en ses livres qui me fasse envie, ny presque que je voulusse avouer pour mien, r^
L'orgueil sans mesure qui aveuglait Descartes ne lui laissait reconnaître les titres d'aucun de ses prédécesseurs.
Nous verrons avec quelle insolence hautaine il avait repoussé une réclamation de priorité en faveur de Roberval.
Stevin a conclu la théorie des moufles en formulant cet adage : La puissance est à la résistance comme le chemin décrit par la résistance est au chemin décrit par la puissance. C'est aux moufles que Descartes fait la première application de son principe, aussi bien dans Y Explication des engins, adressée à Huygens, que dans la copie envoyée à Mersenne. Cependant, Descartes ne cite pas Stevin. Et ce n'est point qu'il ignore l'œuvre du grand géomètre de Bruges ; le 1 3 juillet i638, le jour même où il a envoyé sa Statique à Mersenne, Descartes lui écrit (3) : « Et je
(1) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; CorreS' pondance, t. Il (mars 1658 à décembre 1639), p. 433.
(2) Id., ibid., p. 388.
(3) Id., ibid., p. 247.
vous diray que, regardant par hazard ces jours passés en la Statique de Stevin, j'y ai trouvé le centre de gravité du conoïde parabolique. »
Ce corollaire, énoncé une seule fois par Stevin, Guide Ubaldo le répète à satiété, à propos de chaque sorte de moufle. Descartes ne cite pas Guido Ubaldo. Il connaît, cependant, ce que ce géomètre a dit des assemblages de poulies, car il écrit (i) à un mathématicien, qui est peutêtre Boswell : « Dans la vis, il me parait inepte de chercher à voir un levier ; si j'ai bonne mémoire, c'est la fiction dont use Guido Ubaldo. »
Mais s'il est un géomètre qui ait, longtemps avant Descartes, traité le problème du plan incliné exactement par la méthode que devait employer le grand philosophe français, c'est assurément ce mécanicien inconnu du xiii^ siècle que nous nommons le Précurseur de Léonard de Vinci. Au moment où Descartes compose sa Mécanique, la solution proposée par ce géomètre a été sept fois imprimée ; elle se trouve dans les cinq éditions successives des Quesiti et inventioni diverse de Nicolas Tartaglia, dans le recueil des Opère du même auteur, dans le Joi^dani opusculum de ponderosliate, éàiié^di'c C\ivi\\m Trojanus. Comment admettre que le philosophe n'ait feuilleté aucun de ces ouvrages ? Que le grand algébriste n'ait point jeté les yeux sur l'écrit où se trouvait la première résolution des équations du troisième degré ? Que le raisonnement, si clair et si profond, du mécanicien du moyen âge n'ait pas attiré son attention et n'ait pas exercé sur sa manière de traiter la Statique une profonde influence ? Cependant ni le nom de Jordanus, ni le nom de Tartaglia ne se rencontrent en ses traités de Mécanique. Stevin et Galilée, il est vrai, ne furent pas plus justes.
A supposer que Descartes ait ignoré tous les écrits où
(I) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery; Correspondance, t. IV, Additions, p. 696.
Tartaglia avait publié la doctrine de l'École de Jordanus, est-il possible d'admettre qu'il n'ait point connu le Cours mathématique d'Herigone ? En 1634, la commission chargée d'examiner les méthodes astronomiques de Morin met Herigone en rapport avec Etienne Pascal, Mydorge, de Beaugrand, trois géomètres qui ont avec Mersenne un continuel commerce ; c'est Clerselier qui, le 29 décembre i633, a, au nom du Roi, accordé privilège au Cours mathématique. Peut-on croire que ni Mersenne, ni Clerselier n'aient songé à faire tenir à Descartes un exemplaire de cet ouvrage ? Descartes a donc dû en avoir communication ; il a dû y trouver, formellement énoncé, appliqué au levier et au plan incliné, le principe qu'il allait prendre pour fondement de sa Statique ; et ce principe, Herigone lui-même le tenait de l'École de Jordanus.
L'influence de Galilée se laisse reconnaître dans la solution que Descartes a donnée du problème du plan incliné ; elle se marque mieux encore en ce qu'il dit du levier ; en ce cas, comme dans le cas du plan incliné, son exposé est, en quelque sorte, l'exposé de Galilée pris en ordre inverse.
Si Descartes avait traité la puissance et la résistance qui se tiennent en équilibre par l'intermédiaire d'un levier comme deux poids pendus à ce levier, la démonstration de la condition d'équilibre bien connue ne lui eût causé aucune peine ; dès longtemps, Jordanus de Nemore avait tiré cette démonstration du principe même auquel Descartes rattache toute sa Statique. Cette démonstration de Jordanus d'ailleurs, Descartes en a donné une sorte d'aperçu, dans une lettre adressée sans doute à Boswell (1). Mais ce n'est point ainsi que Descartes considère l'équilibre du levier, ni dans l'Explication des engins qu'il envoie à Constantin Huygens, ni dans la Statique qu'il adresse à
(1) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, t. IV, Additions, p. 694.
Mersenne. La résistance est toujours un poids pendu au levier, mais la puissance est sans cesse perpendiculaire au bras du levier ; ainsi en est-il lorsque l'effort du bras soulève un faix au moyen du levier ; c'est sous cette forme que Guido Ubaldo a traité du levier. Le problème alors se complique, et c'est pourquoi, dans Y Explication des engins adressée à Huygens, Descartes déclare (i) ceci : « J'ay différé à parler du levier jusques à la fin, à cause
Ji^. 69.
que c'est l'engin pour lever les fardeaux le plus difficile de tous à expliquer.
r> Considérons que, pendant que la force qui meut ce levier descrit tout le demi-cercle ABCDE (fig. 89) et agist suivant cette ligne ABCDE, bien que le poids descrive aussi le demi- cercle FGHIK, il ne se hausse pas toutefois de la longueur de cette ligne courbe FGHIK, mais seulement de la longueur de la ligne droite FOK. De façon que la proportion que doit avoir la force qui
(1) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, 1. 1, p. 443.
meut ce poids à sa pesanteur, ne doit pas estre mesurée par celle qui est entre les deux diamètres de ces cercles, ou entre leurs deux circonférences, mais plus tost par celle qui est entre la circonférence du plus grand et le diamètre du plus petit. »
Ce passage, où se marquent des vues si profondes sur le travail d'une force de direction variable, ne fait connaître qu'une sorte de rapport moyen entre la puissance et le poids à soulever. La puissance, en effet, qui maintient un poids donné en équilibre varie avec l'inclinaison du levier : « Considérons outre cela qu'il s'en faut beaucoup que cette force n'ait besoin d'estre si grande pour tourner ce levier lorsqu'il est vers A ou vers E que lorsqu'il est vers B ou vers D... ; dont la raison que le poids y monte moins, ainsi qu'il est aysé à voir... »
» Et pour mesurer exactement qu'elle doit estre cete force en chasque point de la ligne courbe ABCDE, il faut sçavoir qu'elle y agist tout de mesme que si elle trainoit de poidg sur un plan circulairement incliné, et que l'inclination de chacun des points de ce plan circulaire se doit mesurer par celle de la ligne droite qui touche le cercle en ce point. «
Dans tous ses écrits, Galilée avait admis comme évident qu'il revient au même, pour un poids, d'être astreint à se mouvoir sur une ligne inclinée ou sur un cercle tangent à cette ligne ; ce postulat lui avait permis de tirer la théorie du plan incliné de la notion de moment d'un poids. L'analyse qui avait conduit Roberval à justifier la loi du parallélogramme des forces reposait également sur ce postulat implicitement admis. Renversant la marche suivie par Galilée, Descartes tire la théorie de l'équilibre du levier de la loi du plan incliné, et il l'en tire en invoquant encore ce même postulat ; mais bien loin de le cacher, comme Roberval, sous le fatras compliqué d'une fausse rigueur, il s'efforce de le mettre en pleine lumière.
Lorsqu'on impose un déplacement à une machine par l'intermédiaire de laquelle deux poids se tiennent en équilibre, l'un d'eux monte et l'autre descend ; le travail effectué par le poids moteur est égal au travail subi par le poids résistant ; mais cette égalité n'a pas lieu quel que soit le déplacement, grand ou petit, que l'on impose au mécanisme ; elle n'est vraie, d'une manière générale, que pour un déplacement infiniment petit à partir de la position d'équilibre. Cette restriction essentielle, aucun des prédécesseurs de Descartes ne l'a nettement aperçue ; aucun, en tous cas, ne l'a explicitement énoncée.
Descartes la marque clairement. « La pesanteur relative do chaque cors, écrit-il à Mersenne, se doit mesurer par le commencement du mouvement que devrait faire la puissance qui le soutient, tant pour le hausser que pour le suivre s'il s'abaissait « ; et il ajoute (i) : « Notez que je dis commencer à descendre, non pas simplement descendre, à cause que ce n'est qu'au commencement de la descente à laquelle il faut prendre garde. « Un grave assujetti à se mouvoir sur une surface courbe qu'il touche en un point pourra donc être traité comme s'il glissait sur le plan tangent à cette surface en ce point : « En sorte que si, par exemple, ce poids F (fig. 90) n'estoit pas appuie au point D sur une superficie plate, comme est supposée ADC, mais sur une sphérique ou courbée en quelque autre façon, comme EDG, pourvu que la superficie plate qu'on imaginerait la toucher au point D fust la mesme que ADC ; il ne pèserait ny plus ny moins, au regard de la puissance H, qu'il fait estant appuie sur le plan AC. Car, bien que le mouvement que feroit ce poids, en montant ou descendant du point D vers E ou vers G sur la superficie courbe EDG fust tout autre que celui qu'il feroit sur la superficie plate ADC, toutefois, étant
(1) Descaries, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery; Corres- ■yndance, t. II (mars 1638 à décembre 1639), p. 233.
au point D sur EDG, il seroil déterminé à se mouvoir vers le mesme costé que s'il étoit sur ADG, à sçavoir vers A ou vers 0. Et il est évident que le changement qui arrive à ce mouvement, sitost qu'il a cessé de toucher le point D, ne peut rien changer en la pesanteur qu'il a, lorsqu'il le touche. »
Ce principe, les prédécesseurs de Descartes en ont fait usage ; Léonard de Vinci en a tiré la loi de la composition des forces ; grâce à lui, Galilée a pu ramener la théorie du plan incliné à la théorie du levier ; à l'aide du même artifice, Roberval a pu justifier les propositions
fig.90.
que Stevin n'avait point suffisamment démontrées ; mais aucun de ces auteurs n'avait formulé d'une manière explicite et générale le postulat qui supportait leurs démonstrations.
Descartes est donc le premier qui ait nettement aflSrmé le caractère infinitésimal du principe des déplacements virtuels.
Au moment même où il adressait à Huygens V Explication des engins par tayde desquels on peut avec une petite force lever un fardeau fort pesant^ Descartes publiait le Discours de la Méthode ; assurément, en composant sa Mécanique, il avait fort présentes à l'esprit les
règles qu'il posait en ce Discours ; en formulant le principe d'où il tirait toute la Statique, il entendait bien se conformer au premier des préceptes qu'il avait posés ; ce précepte lui enjoignait " de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie qu'il ne la connût évidemment être telle ;
c'est-à-dire de ne comprendre rien de plus en ses
jugements que ce qui se présenterait si clairement à son esprit qu'il n'eût aucune occasion de le mettre en doute ».
Cette clarté parfaite, cette évidence absolue, il les reconnaissait en son principe de Statique qui ne lui paraissait pas le céder en certitude aux vérités de l'Arithmétique : « La mesme quantité de force (1) qui sert à lever ce poids à la hauteur d'un pied ne suffit pas eadem numéro pour le lever à la hauteur de deux pieds, et il n'est pas plus clair que deux et deux font quatre, qu'il est clair qu'il y en faut employer le double. »
Ce principe, cependant, ne fut pas admis d'emblée par tous ceux qui en eurent connaissance ; quelques-uns, et non des moindres, tels que Mersenne ou Des Argues, y trouvèrent des obscurités.
Ces obscurités provenaient surtout d'un malentendu. Descartes parlait de la force nécessaire pour soulever un poids à une certaine hauteur ; plusieurs de ses lecteurs entendaient ce mot force dans le sens où nous le prenons aujourd'hui ; Descartes, au contraire, désignait par ce mot une grandeur que mesure le produit du poids par la longueur dont il s'élève ou s'abaisse ; en d'autres termes, il lui donnait la signification que nous attribuons aujourd'hui au mot travail ; il s'étonnait et, parfois, i s'irritait que cette confusion pût arrêter les géomètres et «ntraver leur adhésion à son principe.
Le i5 novembre i638, il écrit à Mersenne (2) : « Vous
(1) Descartes, Œuvres, publiées par (ïh. Adam ei Paul Tannery ; Correspondance, t. Il (mars 1638 à décembre 1639): Lettre à Mersenne du 12 septembre 1658, p. 3S2.
(2) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, t. 11 (mars 1638 à décembre 1639), p. 432.
avez enfin entendu le mot force au sens que je le prens, quand je dis qu'il faut autant de force, pour lever un poids de cent livres à la hauteur d'un pied qu'un de cinquante à la hauteur de deux pieds, c'est-à-dire qu'il y faut autant d'action ou autant d'effort. Je veux croire que je ne m'estois pas cj-devant assez expliqué, puis'que vous ne m'aviez pas entendu, mais j'estois si éloigné de penser à la puissance qu'on nomme la force d'un homme, lorsqu'on dit un tel a plus de force que tel, etc., que je ne pouvois aucunement me douter qu'on dûst prendre le mot de force en ce sens là. Et lorsqu'on dit qu'il faut employer moins de force à un effet qu'à un autre, ce n'est pas dire qu'il faille avoir moinsde puissance, car encore qu'on en aurait d'avantage, elle ne nuit point ; mais seulement qu'il y faut moins d'action. Et je ne considérais pas en cet écrit la puissance qu'on nomme la force d'un homme, mais seulement l'action qu'on nomme la force par laquelle un poids peut estre levé, soit que cette action vienne d'un homme, ou d'un ressort, ou d'un autre poids, etc. Or il n'y a point, ce me semble, d'autre moyen de connoistre à priori la quantité de cet effet, c'est à dire combien et quel poids peut estre levé avec telle ou telle machirie, que de mesurer la quantité de l'action qui cause cet effet, c'est à dire de la force qui doit y estre employée ; et je ne doute point que M. Des Argues ne l'accorde, s'il prend la peine de relire le peu que j'ay écrit sur ce sujet ; car comme je suis très assuré de la bonté de son esprit, je croy aussi ne devoir pas douter en cela de ma raison. «
L'impatience de n'être pas compris s'explique et s'excuse d'autant mieux chez Descaries que, dès le 1 2 septembre i638, il avait, dans une lettre à Mersenne (1), défini avec une entière précision le sens qu'il attribuait au mot force et nettement séparé ce sens des autres significations que l'on peut attribuer au même mot.
(1) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, t. Il (mars 1638 à décembre 1639), p. 552.
« Il faut sur tout considérer, disait-il, que j'ay parlé Je la force qui sert pour lever un poids à quelque hauteur, laquelle fo7^ce a toiisjours deux dimensions, et non de celle qui sert en chaque point j^our le soutenir, laquelle n'a jamais qu'une dimension, en sorte que ces deux forces diffèrent autant l'une de l'autre qu'wne superficie diffère d'une ligne. r>
Le travail, que Descartes nomme force, dépend de deux variables ou, comme dit Descartes, a deux dimensions : la grandeur que r.ous nommons aujourd'hui force, qui est de même espèce que le poids, et une longueur, projection sur la force du chemin parcouru par le mobile ; ces deux variables peuvent être prises comme coordonnées rectangulaires d'un point figuratif ; le travail accompli par une force constante sei'a représenté par le rectangle de ces deux coordonnées. Cette représentation graphique du travail, si communément employée aujourd'hui, ne demeure pas inaperçue de Descartes : « Je ne dis pas simplement que la force qui peut lever un poids de 50 livres à la hauteur de 4 pieds, en peut lever un de 200 livres à la hauteur d'un pied, mais je dis quelle le peut si tant est qu'elle luy soit appliquée. Or est il qu'il est impossible de l'y appliquer que par le moyen de quelque machine ou autre invention qui face que ce poids ne se hausse que d'un pied, pendant que cete force agira en toute la longueur de quatre pieds, et ainsy qui transforme le rectangle par lequel est représentée la force qu'il faut pour lever ce poids de 200 livres à la hauteur d'un pied, en un autre qui soit égal et semblable à celuy qui représente la force qu'il faut pour lever un poids de 5o livres à la hauteur de 4 pieds. » Et, au cours de cette lettre à Mersenne, Descartes fait constamment usage de cette représentation géométrique du travail.
Ce que Descartes nomme la force, ce que nous nommons aujourd'hui le travail, est donc essentiellement distinct du momento considéré par Galilée ; cette dernière grandeur, produit d'un poids par une vitesse, dépend de trois sortes
de grandeurs variables, le poids, l'espace parcouru par le mobile, le temps employé à le parcourir. « Que si j'avais voulu joindre la considération de la vitesse avec celle de l'espace (i),il m'eust été nécessaire d'attribuer trois dimensions à la force, au lieu que je lui en ay attribué seulement deux, affin de l'exclure. »
Cette exclusion de la vitesse dans la formation de la grandeur dont dépend toute la Statique, d'aucuns la reprochaient à Descartes, invoquant l'autorité de Galilée ; mais Descartes repoussait dédaigneusement ces critiques mal fondées ; car, à l'imitation de Stevin, et peut-être sous son inspiration, il avait acquis l'assurance que la vitesse d'un
Jiff.91.
mouvement n'est point proportionnelle à l'action motrice, et la conviction que cette antique loi péripatéticienne ne devait plus être prise pour fondement de la Statique. « Pour ceux qui disent (2) que je devais considérer la vitesse, comme Galilée, plustost que l'espace, pour rendre raison des machines, je croy, entre nous, que ce sont des gens qui n'en parlent que par fantaisie, sans entendre rien en cette matière. Et bien qu'il soit évident qu'il faut plus de force pour lever un cors fort viste,que pour le lever
(1) Lettre de Descartes à Mersenne, du \i septembre 163S (Œuvres de Descaries, publiées par Ch, Adam et Paul Tannery, t. Il, p. 35i). (-2) Ibid , p. 433.
fort lentement, c'est toutesfois une pure imagination de dire que la force doit être justement double pour doubler la vitesse, et il est fort aisé de prouver le contraire. »
Cette attaque de DescarLes au principe de la Dynamique péripatéticienne n'était pas, d'ailleurs, la première qu'il dirigeât à l'encontre de cet axiome ; peu de temps auparavant, il écrivait ces lignes ( i ) :
« La première chose dont on peut en cecy estre préoccupé, est que plusieurs ont coustume de confondre la considération de l'espace avec celle du tems ou de la vitesse, en sorte que, par exemple, au levier, ou ce qui est le mesme, en la balance ABCD (fig. 91), ayant supposé que le bras AB est double de BC, et que le poids en C est double du poids en A, et ainsy qu'ils sont en équilibre, au lieu de dire que ce qui est cause de cet équilibre est que, si le poids C soulevait ou bien estoit soulevé par le poids A, il ne passeroit que par la 7noitié d'autant d'espace que luy, ils disent qu'il iroit de moitié plus lentement, ce qui est une faute, d'autant plus nuisible qu'elle est plus mal aysée à reconnoistre ; car ce n'est point la différence do la vitesse qui fait que ces poids doivent estre l'un double de l'autre, mais la différence de V espace, comme il paroist de ce que pour lever, par exemple, le poids F avec la main jusques en G, il n'y faut point employer une force qui soit justement double de celle qu'on y aura employée le premier c »up, si on le veut lever deux fois plus viste, mais il y en faut employer une qui soit plus ou moins grande que le double, selon la diverse proportion que peut avoir ceste vitesse avec les causes qui lui résistent. "
Ces deux lettres n'ont assurément point suffi à convaincre ceux qui, dans l'entourage de Mersenne, tenaient pour la manière de voir de Galilée, c'est-à-dire, en der-
(t) Lettre de Descartes à Mersenne, du 12 septembre K^Ti^ [Œuvres de Descarlcs, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery, t. II, p. 352).
nière analyse, pour l'antique fondement des Minyavinà TrpoêXxîfjiara. Le 2 février 1643, dans une lettre (1) adressée au savant religieux, Descartes est obligé de revenir à la charge :
« Je viens à vostre seconde lettre que j'ay receue quasi aussy tost que l'autre ; et premièrement, pour ce qu'il vous plaist d'employer en vos escrits quelque chose de ce que j'ay escrit des Méchaniques, je m'en remets entière-
Va
ment à votre discrétion, et vous avez pouvoir d'en faire tout ainsy qu'il vous plairra ; plusieurs l'ont desja veu en ce païs, et mesme en ont eu copie.
f> Or la raison qui fait que je reprens ceux qui se servent de la vitesse pour expliquer la force du levier, et autres semblables, n'est pas que je nie que la mesme proportion de vitesse ne s'y rencontre tousjours ; mais pourceque cette vitesse ne comprend pas la raison pour laquelle la force augmente ou diminue, comme fait la quantité de l'espace, et qu'il y a plusieurs choses à consi-
(\) Descartes, Œuvres^ publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, t. m (janvier 1648 à juin 1643), p. 613.
dérer touchant la vitesse qui ne sont pas aysées à expliquer. Comme, pour ce que vous dites qu'une force qui pourra eslever un pois de A en F (âg. 92), en un moment, le pourra aussy eslever en un moment de A en G, si elle est doublée, je n'en voy nullement la raison. Et je croy que vous pourrez aysément expérimenter le contraire, si, ayant une balance en équilibre, vous mettez dedans le moindre poids qui la puisse faire trébuscher ; car alors elle trébuschera fort lentement ; au lieu que si vous y mettez le double de ce mesme poids, elle trébuschei'a bien plus de deux fois aussy viste. »
La force des adversaires de Descartes était évidemment tirée de cet argument :
Selon le grand philosophe, la puissance et la résistance, en une machine quelconque, sont entre elles comme les projections sur la verticale des deux chemins que l'agencement mécanique lie indissolublement l'un à l'autre ; mais ces deux chemins sont nécessairement décrits en même temps, en sorte que le rapport des composantes verticales de ces deux chemins est exactement le même que le rapport des composantes verticales des vitesses ; le rapport des deux poids qui se tiennent en équilibre peut indifféremment être égalé à l'inverse du premier rapport ou à l'inverse du second, comme Guido Ubaldo avait pris soin de le marquer en toutes circonstances. Dès lors, puisque la règle proposée par Descartes conduit certainement, dans tous les cas possibles, au même résultat que la règle formulée par Galilée, pourquoi abandonner la plus ancienne et la plus autorisée de ces règles ?
Descartes luttait avec persévérance contre cette opinion qui donnait, il est vrai, des propositions exactes de Statique, mais prétendait en rendre raison par de faux principes de Dynamique. En 1646 (?), nous le voyons encore écrire ( 1 ) à Boswell (?) : « Je ne nie pas la vérité
(1) Descaries, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, t. IV, Additions, p, 685.
matérielle de ce que l^s mécaniciens ont coutume de dire, à savoir que plus la vitesse de l'extrémité du long bras du levier est grande par rapport à la vitesse de l'autre extrémité, moins elle a besoin de force pour se mouvoir ; mais je nie que la vitesse ou la lenteur soit la cause de cet effet. »
Que l'on n'estime pas légère et de peu d'importance la modification apportée par Descartes à l'énoncé de Galilée ; grâce à cette modification, les lois de l'équilibre ne se tii'ent plus d'un postulat inexact ; elles ne reposent plus ni sur la Dynamique d'Aristote, qui est déjà condamnée, ni sur la Dynamique nouvelle, qui n'est point encore constituée ; la Statique devient une science autonome, qui découle tout entière d'un principe de certitude absolue et d'évidence immédiate. « Et si j'ai tesmoigné (i) tant soit peu d'adresse en quelque partie de ce petit escrit de Statique, je veux bien qu'on sache que c'est plus en cela seul qu'en tout le reste. Car il est impossible de rien dire de bon touchant la vitesse, sans avoir expliqué au vray ce que c'est que la pesanteur, et ensemble tout le système du monde. Or, à cause que je ne le voulais pas entreprendre, j'ai trouvé moyen d'omettre cette considération, et d'en séparer tellement les autres que je les pousse expliquer sans elle. »
Descartes avait lu la Statique de Stevin ; il ne pouvait ignorer l'importance de la règle selon laquelle se composent deux forces concourantes ; on est surpris qu'il n'ait point songé à tirer cette règle du principe sur lequel il a fondé sa Statique. On pourrait croiie que, s'il ne l'a pas fait, c'est qu'il regardait le problème comme résolu. Nous avons vu, en effet, que Roberval avait su démontrer, de la manière la plus heureuse, la loi de composition des forces concourantes, en invoquant précisément l'axiome
'1, Descailes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tanncry ; Cor'respondance, I. II, p. 3.5-2 : Lettre de Descartes à Mersenne du l'2 septembre
que Descartes allait formuler avec une entière j::énérali té. Attribuer le silence de Desoartes touchant la loi du parallélogramme des .forces à la crainte de s'approprier une solution déjà obtenue par un autre géomètre, ce serait lui prêter des sentiments de justice qu'il rossentnit rarement à l'égard de ses émules, qu'il n'éprouvait jamais envers Roberval.
Roberval avait élevé une réclamation de priorité au sujet du postulat qui portait toute la Statique de Descartes ; cette réclamation avait été, sans doute, formulée auprès de Mersenne qui l'avait fait connaître au philosophe ; celui-ci répondit (l) par une lettre dont il serait difficile de surpasser le ton de mépris et d'insolence : « Je viens de lire le Traitté de Mécanique du Sieur Roberval, où j'apprens qu'il est Professeur, ce que j'avois ignoré, et je pensois que vous m'aviez autrefois mandé qu'il estoit Président en quelque Province, et je ne m'estonne plus tant de son stile. Pour son Traitté, j'y pourrois trouver quantité de fautes, si je le voulois examiner à la rigueur. Mais je vous diray en gros qu'il a pris beaucoup de peine à expliquer une chose qui est bien aisée, et qu'il l'a rendue plus difficile par son explication, qu'elle n'est de sa nature ; outre que Stevin a demonstré avant luy les mesmes choses, d'une façon beaucoup plus facile et plus générale. Il est vray que je ne scay pas, ny de l'un ny de l'autre, s'ils ont esté exacts en leurs démonstrations, car je ne sçaurois avoir la patience de lire tout du long de tfls livres. En ce qu'il dit avoir mis dans un Corollaire le mesme que moy dans mon Escrit de Statique, aberrat toto Cœlo, car il fait une conclusion de ce dont je fais un principe, et il parle du temps, de la vitesse au lieu que je parle de l'espace, ce qui est une très grande erreur, ainsy que j'ay expliqué en mes précédentes. »
(1) Descaries, Œuvres, publiées par Ch. Adam ei Paul Tannery; Correspondance, t. Il, p. 590 : Lettre de Descartes à Mersenne du H octobre
En cette lettre abondent les jugements injustes ; il y paraît que Descartes avait à peine daigné jeter un coup d'œil sur la très belle démonstration de Roberval, car celui-ci a toujours considéré le chemin parcouru par les divers poids, et nullement le temps ni la vitesse. Elle nous apporte du moins un renseignement précieux ; Descartes n'avait point eu la patience de lire avec soin les ouvrages de Stevin et de Roberval ; nous ne nous étonnerons donc pas de le ti'ouver fort ignorant au sujet du problème de la composition des forces.
De cette ignorance, il nous reste une preuve bien manifeste.
Le 18 novembre 1640, Descartes écrit à Mersenne (1):
" Il est certain que le poids C (fig. 98) ne pèse, sur le plan AD, que la différence qui est entre la force qu'il faut à le soutenir sur ce plan, et celle qu'il faut pour le soutenir en l'air. Comme s'il pèse cent livres et qu'il n'en faille que quarante pour le soutenir sur AD, ce plan AD en porte soixante seulement. »
Ainsi en 1640, Descartes croit encore que les deux composantes d'un poids ont pour somme algébrique ce
(1) Descartes, Œuvres, publiées parCh. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, t. IJI (janvier 1640 à juin 1643), p. 243.
poids même ! L'orgueilleux philosophe aurait eu grand profit à lire avec plus de patience la Statique de Stevin et le Traité de Méchanique de Roberval ou, simplement, le Cours mathématique d'Herigone et les écrits de Mersenne.
La Statique de Descartes marque l'extrême aboutissant d'un long développement ; à la construction de cette doctrine ont concouru toutes les idées émises par les prédécesseurs du grand géomètre français ; mais en elle seulement, ces idées ont trouvé leur achèvement ; en elle, leurs désaccords apparents se sont fondus en une harmonieuse synthèse.
Complétant l'œuvre d'Aristote, de Léonard de Vinci et de Cardan, Galilée avait fondé la Statique entière sur un principe unique ; mais à ce principe fondamental, les esprits amis de la rigueur pouvaient, avec Stevin, opposer une grave objection : il n'était qu'un corollaire de la Dynamique péripatéticienne désormais condamnée.
A ces esprits, amis d'une certitude rigide et géométrique, la méthode de Stevin et de Roberval donnait une entière satisfaction, en constituant une Statique autonome, sauve de toute hypothèse empruntée à une Dynamique douteuse. Mais si nul géomètre n'était tenté de rejeter ou de laisser en suspens quelqu'un des postulats invoqués par le mécanicien de Bruges ou par le professeur du Collège de France, plusieurs pouvaient désirer qu'on les déduisît tous d'un axiome unique qui fût leur véritable raison d'être.
A tous ces besoins intellectuels, si divers, l'œuvre de Descartes donne satisfaction ; de la méthode de Galilée, elle garde l'ampleur et l'unité qui condensent toute la Statique en un principe unique ; de la méthode de Stevin, elle garde la rigueur, car son principe, qui semble d'une certitude et d'une évidence immédiates, n'emprunte rien aux doctrines dynamiques surannées.
La grandeur qui, dans la Statique de Descartes, joue
le rôle essentiel, le produit du poids d'un corps par la longueur dont ce corps s'est abaissé, a déjà été rencontrée par Stevin et par Galilée ; mais cotte rencontre a été fortuite et passagère ; ni le géomètre belge, ni le géomètre italien n'ont signalé l'importance de cette grandeur ; l'École de Jordanus, Roberval et Herigone ont fait jouer un rôle essentiel, en certaines de leurs démonstrations, au produit du poids par son abaissement vertical, sans proclamer cependant que toute la Statique pouvait être ramonée à la comparaison de semblables produits ; Descartes, le premier, a vu en ce produit le concept fondamental de la Mécanique ; par là il est, sinon le véritable créateur, du moins le plus influent promoteur de la notion de travail, autour de laquelle pivote toute notre science actuelle de l'équilibre et du mouvement.
Ses efforts pour préciser cette notion de travail et la distinguer de la notion que Mersenne et Desargues confondaient avec elle ont contribué, pour une large part, à définir exactement la notion de force, telle que nous l'entendons aujourd'hui ; car c'est celle-ci qui hantait l'esprit de ses contradicteurs.
Descartes a saisi et marqué nettement le caractère infinitésimal du principe des déplacements virtuels ; il a affirmé, ce que nul n'avait explicitement énoncé avant lui, l'obligation d'appliquer toujours ce principe à un déplacement infiniment petit issu de l'état d'équilibre ; il en a conclu l'équivalence de liaisons qui correspondent à un même chemin virtuel infinitésimal ; par là, il a donné à ce principe sa forme définitive.
On objectera peut-être que la Statique dont il a tracé le plan manque de généralité ; il n'y considère d'autre force que des poids. Ce défaut de généralité n'est qu'apparent ; pour raisonner sur une force quelconque, tous les géomètres du xvii^ siècle, Stevin, Galilée, Roberval, la remplacent par un fil tendu dans la direction où elle doit agir, qui passe sur une poulie et soutient un poids égal à
la force que l'on doit exercer ; par cet artifice, la Statique des poids comprend la Statique tout entière. En fait, au moyen de cet artifice, un géomètre pourra, sans le moindre effort, tirer, du principe énoncé par Descartes, le principe des déplacements virtuels sous la forme même que Jean Bernoulli communiquera en 1717a Varignon ; il est infiniment probable que ce procédé est celui-là même qui suggérera à Bernoulli sa découverte ; et lorsque Lagrange, dans sa Mécanique Analytique, le proposera comme un moyen propre à établir le principe des déplacements virtuels, il ne fera, sans doute, que reprendre la méthode de l'inventeur. En sorte que le principe formulé par Descartes renferme d'une manière implicite, mais toute prochaine, l'axiome duquel nous savons aujourd'hui déduire toutes les lois de la Statique.
La Statique de Descartes est donc le fruit mûr qu'a produit une longue végétation. Pour retrouver la graine d'où cette végétation est issue, il a fallu remonter bien haut le cours des temps ; il nous a fallu recueillir, à l'origine du xiii® siècle, les enseignements de l'Ecole de Jordanus. A partir de ce germe, engendré par la science occidentale en sa première jeunesse, nous pouvons suivre chacun des accroissements, chacune des transformations, par lesquelles la science de l'équilibre sVest graduellement développée. Et lorsqu'enfin elle parvient, en la Mécanique cartésienne, à donner son fruit mûr, nous pouvons marquer la provenance de chacune des enveloppes, de chacun des tissus qui composent ce fruit.
A la formation de cette Statique cartésienne, quelle a été l'exacte contribution de Descartes ? Il lui a donné, assurément, l'ordre et la clarté qui sont l'essence même de sa méthode, qui caractérisent si parfaitement son génie éminemment français. Mais, non content d'imposer une forme à la science de l'équilibre, le grand philosophe en a-t-il accru la matière ? Y a-t-il ajouté quelque vérité inconnue avant lui ? D'un tel apport, nous chercherions en
vain la trace. En la Statique de Descartes, il n'est aucune vérité que les hommes n'aient connue avant Descartes.
Aveuglé par son prodigieux orgueil, Descartes ne voit qu'erreurs dans les œuvres de ses prédécesseurs et de ses contemporains. 11 croit (i) que les difficultés rencontrées par ceux qu'inquiètent les problèmes d'équilibre « ne vienent pour la pluspart que de ce qu'on est desjà trop f>-çavant aux Méchaniques, c'est à dire, de ce qu'on est trop préoccupé des principes que prennent les autres touchant ces matières, lesquels n'estant pas du tout vrais, trompent d'autant plus qu'ils semblent plus l'estre «. Il laisse complaisamment Constantin Huygens lui affirmer (2) que « ses escrits sont destinés à nettoyer le monde d'un déluge universel d'erreur et d'ignorance «. Il est assurément convaincu qu'il connaît seul les vrais fondements de la Statique et qu'il les a bâtis de toutes pièces, sur un sol déblayé par sa critique de toutes les caduques bicoques que les autres géomètres y avaient élevées. A cette inconscience superbe, on se prend à appliquer cette pensée de Pascal (3) :
« Certains auteurs, parlant de leurs ouvrages, disent : Mon livre, mon commentaire, mon histoire, etc. Ils sentent leurs bourgeois qui ont pignon sur rue, et toujours un « chez moi » à la bouche. Ils feraient mieux de dire : Notre livre, notre commentaire, notre histoire, etc., vu que d'ordinaire il y a plus en cela du bien d'autrui que du leur. »
(1) Descartes, Œuvres, publiées par Ch. Adam et Paul Tannery ; Correspondance, t. II, p. 354 : Lettre à Mersenne du 12 septembre 1658.
(2) Id., ibid., 1. 1, p. 461 : Lettre de Constantin Huygens, du 23 novembre 1657.
(3) Pascal, Pensées, Édition Havet, Art. XXIV, n° 68.
