La composition des forces

Léonard ne s'est point contenté de réfuter et de transformer ce que les principes de Jordanus et de Biaise de Parme renfermaient d'erroné ; ce qu'ils renfermaient de sain et de fécond, il s'en est emparé, mais en le prenant, il l'a développé et perfectionné. Telle la notion de gravité secundum situm ou, comme nous dirions aujourd'hui, de composante du poids suivant sa trajectoire ; cette notion, il la conçoit à son tour, mais il y joint cette pensée que ses prédécesseurs, sauf Aristote, n'avaient point signalée : La gravité secundum situm n'est qu'une des composantes du poids ; il lui faut associer une seconde composante, normale à la trajectoire.

Que, d'ailleurs, ces idées sur la décomposition du poids en deux forces rectangulaires lui soient suggérées par la lecture du Traité de Biaise de Parme, on n'en peut guère douter lorsque l'on compare ce traité au passage suivant (1) :

« De la descente du grave. Toute action naturelle est faite par la voie la plus courte ; c'est pourquoi la descente libre du grave est faite vers le centre du monde ; l'espace le plus court étant entre le mobile et la partie la plus basse de l'univers.

» Le grave uniforme qui descend obliquement divise son

(1) Les Manuscrits de Léonard de Vinci, publiés par Oh. Ravaisson- Mollien, Ms. G de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 7o, recto.

poids en deux aspects différents. On le prouve : Soit ab ( i ) mobile selon l'obliquité abc ; je dis que le poids du grave ab partage sa gravité en deux aspects, c'est-à-dire selon la ligne bc et selon la ligne nm ; pourquoi et combien le poids est plus grand pour l'un que pour l'autre aspect, et quelle obliquité est celle qui partage les deux poids par égale partie, sera dit dans le livre Des poids. »

De cette proposition, visiblement issue des principes de Jordanus, Léonard fait fréquemment usage en étudiant le vol des oiseaux, étude qui, plus que toute autre, paraît avoir conduit son génie à méditer sur les principes de la Mécanique. Mais le grand architecte qui était en lui en entrevoit de suite une autre application, non moins importante, à la résistance des matériaux ; cette proposition se relie, en effet, à ce problème : Un grave étant soutenu par deux appuis qui forment un angle droit, comment la pression exercée par ce grave se partage-t-elle entre ces deux appuis ? Cette question (2) s'offre à l'esprit de Léonard immédiatement après qu'il a écrit le passage cité tout à l'heure :

« Le grave qui ne pèse pas vers le centre du monde pèse toujours en deux ou plusieurs lieux. On le prouve : Soit le grave abcd (fig. 43) qui ne pèse pas par la ligne centrale be ; donc, il pèse aux deux supports ba et bd.

•» Tout grave pèse sous l'aspect où il est disposé à descendre. On le prouve avec la démonstration de ba qui pèse à d, et bd pèse à a, parce qu'en ces positions s'est préparée la disposition de leur descente.

» Conception. — Le grave qui pèse en deux endroits n'a pas son poids en un seul endroit (3). »

La question ainsi posée sollicite continuellement l'atten-

M) Voir la fig. '.», au Chapitre 11, où ce passage est déjà cité.

(-2) Les Manuscrits de Léonard de Vinci, publiés par Ch Ravnisson- Mollien, Ms. G de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 76, verso.

(3) C'est-à-dire : n'exerce pas, en chacun des deux cndroils, une pression égale à tout son poids.

lion de Léonard ; elle le conduit à imaginer diverses solutions du problème de la composition des forces ; nous avons vu, au Chapitre II, quelle est la solution, d'ailleurs erronée, à laquelle il semble s'être arrêté.

Mais si cette solution erronée paraît être celle qui a conquis l'acquiescement définitif de Léonard, ce n'est pas qu'elle se soit seule présentée à son esprit.

Déjà, à la fin du Chapitre II, nous avons cité une curieuse solution, malheureusement à peiné ébauchée, du problème du plan incliné et nous avons remarqué que cette solution paraissait impliquer des idées exactes sur la loi de la décomposition des forces ; certain membre de phrase, écrit par Léonard, y demeurerait incompréhensible si l'auteur n'admettait point l'exactitude de cette proposition : Le moment de la résultante de deux forces concourantes est égal à la somme des moments des composantes.

A cette remarque, nous avons joint cette réflexion : « Léonard était-il donc parvenu à la connaissance de cet important théorème ? Dans ceux de ses manuscrits qui ont été publiés, nous n'en avons révélé aucune trace autre que celle qui vient d'être relatée. »

Une revision des notes de Léonard, entreprise posté-

rieurement à l'impression de notre Chapitre II, a appelé notre attention sur quelques feuillets du manuscrit E de la Bibliothèque de l'Institut (1) ; l'inspection de ces feuillets confirme pleinement l'hypothèse que nous avions émise ; Léonard a connu et employé ce théorème :

Si Von considère deux forces concourantes et leur résultante, le moment de la résultante par rapport à un point pris sur l'une des deux composantes est égal au moment de Vautre composante par rapport au même point.

Dans les raisonnements de Léonard, les deux composantes sont les tensions de deux cordes, tensions dont la résultante est égale et directement opposée à un poids que supportent les deux cordes.

A maintes reprises, le grand artiste applique le théorème que nous avons énoncé à un poids N suspendu au milieu B d'une corde dont les extrémités A, C, sont sur une même horizontale (fig. 44). Du point A, il abaisse une perpendiculaire AF sur la corde CB ou sur son prolongement, et une autre perpendiculaire AD sur la verticale du point B. Il déclare que la tension de la corde CB et le poids N maintiendraient en équilibre un corps rigide formé des deux bras de levier potentiels AF, AD, si ce

(1) Les Manuscrits de Léonard de Vinci, publié? par Ch. Ravaisson Mollien, Ms. E de la Bibliothèque de l'Institut; Paris, 1883.

corps était simplement susceptible de tourner autour du point A. Comme d'ailleurs Léonard, nous l'avons vu au Chapitre II, sait exprimer la condition d'équilibre d'un tel corps circonvolubile , qui est l'égalité des moments du poids et de la tension par rapport au point A, il obtient de suite le théorème que nous avons énoncé ci- dessus.

Voici quelques passages (1) dont la netteté ne semble laisser place à aucun doute :

« Première : A est le pôle de la balance angulaire AD et AF ; et leurs appendices sont ON et FC.

» Seconde : Plus grossit l'angle de la corde qui, au milieu de sa longueur, soutient le poids N (fig. 45), d'autant plus diminue son levier potentiel et croît le contrelevier potentiel qui soutient le poids. » Et Léonard, ayant tracé la figure de telle sorte que AB soit le quadruple de AC, marque 1 le poids N et met sur la corde FD le chiffre 4, qui en indique la tension.

Il poursuit en ces termes, bien propres à nous marquer comment son génie a ramené l'étude de l'équilibre des forces concourantes à la loi d'équilibre du levier coudé, qui lui était déjà familière :

« Cette figure (fig. 46) représente la précédente ACB potentielle ; mais parce que la réelle pèse et la potentielle non, j'y ajoute le bras MN pour le contre-poids du bras 0. »

Lorsque, plus tard, Roberval redonnera une démonstration du même théorème, il la tirera, lui aussi, de la con-

(1) Ms. E, fol. 60, recto.

dition d'équilibre d'un levier coudé ; mais l'artifice dont il usera sera beaucoup moins simple, beaucoup moins directement accessible que le dispositif imaginé, en ce passage, par Léonard de Vinci.

Revenant à la fig. 44, Léonard ajoute : « AFD sont les soutiens réels du poids N, et les lignes AC et AB sont le levier et le contre-levier potentiel du poids N, et les appendices demi-réels CD et BF sont ceux dont l'un est joint au levier potentiel et l'autre au contre-levier potentiel AB. »

Jty-46.

» Jamais le contre-levier AB ne peut avoir de changement, par quelque changement que puisse avoir l'angle fait par la corde réelle AFD ; et jamais le levier AC ne peut avoir une longueur permanente par le changement du susdit angle AFD ; mais il se fera plus petit d'autant que l'angle AFD sera plus grand. »

Si les deux points A et D restent fixes, ainsi que le poids N, la tension de la corde 1)F sera inversement proportionnelle au levier potentiel AC : « Où le levier potentiel est en être (1), la force sera aussi en être. La force sera d'excellence d'autant plus grande que le levier potentiel sera de moindre quantité. »

La corde DFA ne peut jamais être rectiligne, car le levier potentiel AC étant nul, la tension de la corde DF serait infinie : « Jamais (2) la corde ou puissance quel-

l Ms. E, fol. 60, verso.

(2) Ms. E, fol. 60, verso.

conque, posée dans la situation degalité avec ses extrémités opposées, ne se pourra redresser, ayant quelque poids au milieu de sa longueur. » — « Jamais (1) le levier potentiel n'est consumé par aucune puissance. »

En aucun cas, Ja tension de chacune des cordes n'est, comme le supposerait le vulgaire, la moitié du poids supporté ; il faudrait, pour qu'il en fût ainsi, que les deux cordes fussent parallèles, ce qui ne peut être :

« Si le levier AD (fig. 47) était double (2) de son contre-levier AB, alors la corde DE sentirait la moitié

du poids F, et cela ne peut pas arriver si le levier AD n'est pas dans la position d'égalité [la position horizontale], chose qui ne peut être si les appendices qui concourent à la suspension du poids F ne sont pas équidistants entre eux. r>

Jusqu'ici, nous avons vu Léonard appliquer le théorème énoncé à un cas particulier ; la verticale, menée par le poids soutenu, était bissectrice de l'angle des deux cordes qui supportent ce poids. Mais il a également connu et employé cette proposition dans le cas général ; le passage que nous allons citer (3) en témoigne.

1 Ms. E, fol. 00, recto.

(2) Ms. K. fol. 61, verso ; cf. fol. 65, recto.

(3) Ms. E, fol. 63, recto.

Léonard trace deux figures en chacune desquelles deux cordes, faisant un certain angle, soutiennent un poids dont la verticale n'est nullement bissectrice de cet angle.

En l'une de ces figures (fi g. 48), le levier DR de la corde FE et le contre-levier SD du poids Q sont égaux entre eux ; aussi Léonard marque- 1- il du même chiffre 3 le poids Q

et la tension de la corde FE. En l'autre figure (fig. 49), le levier AB de la corde FG est triple du contre-levier BC du poids E, et Léonard, évaluant encore à 3 le poids E,

marque 1 sur la corde FG, afin d'en indiquer la tension. Cette seconde figure est accompagnée de ce commentaire : « Il est d'autant plus facile de tendre la corde faite angulaire par le poids qui se soutient au milieu d'elle, que la situation de ses extrémités opposées est moins oblique ; donc la corde BGF a moins de fatigue à reprendre la droite extension que la corde précédente DEF, et ceci se manifeste par le levier et le contre-levier de l'une et de l'autre obliquité. En effet, le levier AB sur le pôle B est triple de son contre-levier BC. Donc l'appendice AF demiréel, avec puissance d'un, peut contre 3 dans l'appendice

opposé semi-réel CE ; et, dans la précédente, 3 de puissance sont contre 3 de résistance. »

Ces diverses citations montrent avec la dernière évidence que Léonard a eu une connaissance très exacte du théorème énoncé tout à l'heure ; or ce théorème entraîne toutes les règles de composition des forces concourantes.

On peut, en particulier, par une démonstration très simple, en tirer ce corollaire : Par rapport à un point pris sur la direction de la résultante , les deux composantes ont des moments de signes contraires qui ont même valeur absolue. Léonard a-t-il aperçu ce corollaire £ La réponse

affirmative à cette question paraît seule capable d'expliquer un fragment (i) qui contient une figure très explicite (fig. 5o) et un commentaire malheureusement très obscur. Voici ce commentaire : « Si deux cordes d'obliquités ditférentes et contraires descendent d'un môme endroit et se joignent aux extrémités opposées de la poutre située en une obliquité quelconque, toujours le centre de gravité de la poutre se trouve clans la ligne entre-centrique, en même temps que le centre des suprêmes hauteurs des cordes qui la suspendent. »

La ligne entre-centrique dont parle Léonard est la verticale du point de suspension A ; quant aux suprêmes hauteurs dont il est ici question, et qui ne peuvent être que les lignes GF, GD, de la figure, pourquoi auraientelles été tirées, sinon parce qu'elles sont les leviers potentiels des deux cordes AB, AC ?

Les divers fragments que nous venons de citer et de commenter énoncent les idées les plus exactes sur la composition des forces concourantes. Pourquoi faut-il que Léonard, abandonnant ces idées dans le moment même qu'il s'en rendait maître, se soit immédiatement rallié à une règle toute différente de la précédente et tout à fait erronée l En la page même (2) où se trouve le fragment

(1) M s. E, fol. 67, verso.

(2) Ms. E, fol. 67, verso.

que nous venons d'analyser, Léonard écrit : « Pour les deux cordes qui concourent avec différentes obliquités à la suspension d'un même grave, la proportion entre les poids soutenus par elles sont telles que sera celle de leurs obliquités. On le prouve : Soient les deux cordes d'obliquités différentes AD et CD (fig. 5i) qui sont telles que l'une d'elles est double de l'autre, comme nous montrent les bras de la balance, BC étant double du bras BA, les obliquités d'appendices AD et CD descendant des extrémités de ces bras. Donc la corde CD sent la moitié du poids que sent la corde AD. » Le chiffre 3, marqué par

Léonard au-dessous du poids E. indique qu'il le regarde comme égal à la somme des tensions des deux cordes, acceptant ainsi une opinion erronée qu'il vient de condamner quelques pages auparavant.

A la page précédente (1), nous lisons :

« Le grave suspendu dans l'angle de la corde divise le poids pour les cordes en telle proportion qu'est la proportion des angles inclus entre lesdites cordes et la ligne centrale du poids. On le prouve : Soit l'angle de ladite corde BAC (fig. 52), dans lequel est suspendu le grave G

(1) Ms. E, fol. (56, verso.

à la corde AG. Soit donc cet angle coupé dans la position de légalité [la direction horizontale] par la ligne FB, puis tire la perpendiculaire DA, à l'angle A, qui soit en droite continuation avec la corde AG, et la proportion qu'a l'espace I)F avec l'espace DB, le poids que sent la corde BA l'aura avec le poids que sent la corde FA. »

Dans les feuillets suivants (1), Léonard use sans cesse de cette règle incorrecte que l'on retrouve en maints autres passages (2) de ses notes.

En l'intelligence de Léonard, les idées se précipitaient tumultueusement ; mais, parfois, il manquait au grand peintre la puissance de saisir et de fixer à jamais la vérité que ce torrent impétueux roulait pêle-mêle avec l'erreur. Aussi, bien souvent, la vérité qui lui était apparue un instant, émergeant à la surface des opinions incomplètes ou erronées, a-t-elle plongé de nouveau, attendant de l'avenir celui qui la ramènerait définitivement au rivage. Ainsi, de la notion de gravité secundum situm, conçue par Jordanus, le grand artiste de Vinci a su faire sortir l'idée de la résolution d'une force en ses composantes, et cette idée il a pu la contempler un moment dans la plénitude de son développement ; puis, elle s'est voilée de nouveau à ses regards, n'offrant plus à la vue du grand peintre qu'une loi erronée delà composition des forces.

L'étude du problème du plan incliné nous donnera de nouveau l'occasion de constater les hésitations et les fluctuations de la pensée de Léonard.

(I) Ms. E, fol. 68, recto et verso ; loi. 69, recto et verso; fol. 70, recto; toi. 71, recto.

(2j Voir, notamment, les passages cités au Chapitre 11 et Ms. M, fol. 36, verso.