Le Traité de canonio

Un seul liber Karastonis, celui de Thâbit ibn Kurrah, a été traduit en latin; mais il n'est pas le seul Kitâb el Karstûa qu'aient écrit des géomètres arabes; dans l'article que nous avons cité à plusieurs reprises, Steinschneider en énumère quatre, dont les index et les catalogues de bibliothèques lui ont révélé l'existence. Ces traités sont les suivants :

i° Un Kitâb el Karslûn dû aux t?*ois frères, aux Béni Moûça ;

2° Un Kitâb el Karslûn dû à Thâbit ibn Kurrah ;

3° Un Kitâb el Karstûn dû à un philosophe et médecin célèbre, de race arabe mais de religion chrétienne,

(1) Thurot, Recherches historiques sur le Principe d'Archimëde (Hevue Archéologique, nouvelle série, t. xix, 1869. p. 117).

(2) Le traité du pseudo-Arehimède pourrait également être un débris de ce llspt p07UÔV.

Kùstâ ibn Lûkâ, qui vécut de 864 à 923 et fut, par conséquent, contemporain de Thâbit ;

40 Un Kitâb el Karsiûn dû à Abu 'Ail al Hasan ibn ai Hasan ibn Alhaitam que son Optique, traduite en latin, a rendu célèbre sous le nom d'Alhazen, et qui mourut en io38.

Si l'on admet, avec M. Curize, que le Kitâb el Karstûn attribué aux Benî Moùça soit identique au Traité de la balance traduit par le Dr Woepcke, il reste encore deux traités de ce titre qui ne nous sont point connus.

On pourrait être tenté de croire que l'un de ces traités est représenté par le livre De canonio dont notre Bibliothèque Nationale possède un texte dans son Manuscrit 8680 A (fonds latin) et un autre texte, remanié, dans le Manuscrit 7378 A (fonds latin) ; dont enfin un important fragment se trouve si singulièrement soudé au texte de Jordanus dans le Manuscrit du xme siècle que la Bibliothèque Mazarine conserve sous le n° 3642, et que nous avons signalé au § 1 ; fragment reproduit dans la collection (1) donnée à la Sorbonne par Maître François Guillebon.

Mais un examen plus détaillé de ce traité conduit à penser que nous avons affaire non seulement à un traité d'origine grecque, mais encore à un traité qui aurait été directement traduit du grec en latin, sans passer par l'intermédiaire de l'arabe.

Les lettres employées dans les figures se présentent ainsi

rappelant, par leur ordre, l'alphabet grec auquel elles ont été empruntées ; mais l'y; a été représenté non point par Yh, comme dans les écrits qui ont passé du grec au latin par l'intermédiaire de l'arabe, mais par 1'?' ; ce détail

(1) Bibliothèque Nationale, Ms. 16 649 (fonds latin).

semble indiquer que le traducteur connaissait la prononciation de lVj déj à usitée chez les Grecs du moyen âge.

En outre, les mots grecs simplement transcrits, et non traduits, abondent dans ce petit écrit. Pour désigner un fléau de balance d'épaisseur non négligeable, le traducteur qui a fait passer de l'arabe en latin les quatre propositions étudiées au § 1 dit longitudo teres ; le traducteur de Thâbit dit perpendicularis cum crassitie (ou crossitie ou grossitie) ; Jordanus, qui écrit directement en latin, dit oblongum ou régula ; notre traité conserve le mot xavwv, qu'il latinise simplement en canonium. Une ligne parallèle à l'horizon est dite, dans tous les autres écrits que nous avons cités, parallela orizonti ; ici, elle est dite parallela epipedo orizoïdis, formule sous laquelle transparaît le nom grec du plan, -b kninedov. Non seulement nous trouvons dans le livre De canonio le mot parallelogrammum, mais un triangle, au lieu d'y être appelé triangidus, y est nommé trigonium, Tpiywov (1). Enfin, demonstratio y est parfois remplacé par apodixis {a.nôàziiiz).

Il est clair que l'écrit dont nous allons parler est la reproduction directe d'un texte grec ; son contenu, comparé à ce que Thâbit ibn Kurrah nous a appris de l'ouvrage de Charistion, nous montre que le traité De canonio est ou bien une réplique de cet ouvrage, ou mieux un écrit destiné à le compléter et à donner une élégante solution géométrique du calcul auquel Charistion avait été conduit.

L'objet du petit traité De canonio est la solution du problème auquel aboutissent les Causae Charistionis, telles que Thâbit nous les a conservées : Quel poids faut-il suspendre à l'extrémité du petit bras d'un fléau de romaine pour corriger l'excès de pesanteur du grand bras et pour pouvoir raisonner sur cet instrument comme si le fléau était une ligne sans poids \

(1 ) Et môme tetragoniun dans le texte du xur sièctc, n° ôGf-2, de la bibliothèque Mazarine.

L'auteur ne reprend point l'établissement de la loi du levier ; il ne se propose pas davantage de démontrer qu'une portion de cylindre grave, dirigé suivant le fléau, a même pesanteur qu'un corps de même poids suspendu au point qui marque le centre du cylindre ; ces propositions, il les regarde comme acquises. A l'égard de la seconde, il renvoie aux écrits de ses prédécesseurs : » Monstratum est in libris qui de his loquuntur quoniam nulla est différent! a, sive pondus db sit equaliter extensum super totam lineam db, sive suspendatur a puncto mediœ

sectionis * . A l'égard de la première, le texte du Ms 8680 A porte : « Sicut demonstratum est ab Euclide, et Archimede, et aliis, et hœc est radix circa quam versantur omnes ». Au Manuscrit 7378 A, cette indication a disparu, comme nous le verrons au Chapitre VII, 1.

Ainsi allégé de tous les préliminaires, le traité De canonio se réduit à quatre théorèmes.

Le premier de ces théorèmes est identique à celui qui termine le livre de Thâbit ; il a pour objet de dire suivant quelle règle on calculera le poids propre à compenser l'excès de pesanteur du grand bras de la romaine. Il suffit de comparer les deux énoncés pour constater qu'ils représentent deux traductions d'un même texte grec primitif. L'exemple numérique auquel la formule est appliquée est aussi le même dans les deux écrits. Très certainement,

nous avons affaire à l'une des propositions du livre de Charistion.

Le second théorème est une réciproque du premier ; l'énoncé et la démonstration étaient vraiment superfl is.

Au troisième théorème, l'auteur se propose de trouver un cylindre, de même diamètre et de même matière que le fléau, qui pèse exactement comme le poids compensateur ; voici par quelle construction élégante il trouve la hauteur de ce cylindre :

Soit ab (fig. 17) le fléau ; soient g le point de suspension, ga le petit bras, gb le grand bras. A partir du point g, prenons sur le grand bras gb une longueur gd égale au petit bras ga ; par le point d, élevons à ab une perpendiculaire de égale à bel ; joignons ae et prolongeons cette ligne jusqu'à ce qu'elle rencontre en s la perpendiculaire élevée à ab par l'extrémité b du grand bras; bz sera la longueur cherchée.

La démonstration de ce théorème se tire aisément de la formule (1) qui traduit, en notre langage actuel, le premier théorème du De canonio.

De cette construction, l'auteur tire la solution de ce problème : Connaissant le fléau et le poids qui doit compenser l'excès de pesanteur du grand bras sur le petit bras, déterminer la place du point de suspension.

La réponse à cette question forme le quatrième et dernier théorème de ce petit écrit, relique élégante de la méthode par laquelle les Alexandrins traitaient la Mécanique.