CAS D UN DIELECTRIQUE INDEFINI

Quant à e, il est égal à 1 dans le diélectrique ; dans le

conducteur, nous ne connaissons pas sa valeur; mais on peut

sans erreur sensible le prendre égal à 1, parce que e ne

dX figure que dans le terme As —: qui est toujours négligeable

par rapport aux autres : en effet, dans le conducteur, X, Y, Z sont nulles ; à la surface, w, v, lo sont très grandes et le terme

As -j- est négligeable par rapport au terme — AtzKu.

Ainsi nous pourrons donc dans tout l'espace supposer :

et écrire nos équations sous la forme :

.dL dZ dY ^ dt- dy~d^

, dX dM dN A -77 = —r- — -y- — A-izAu.

dt dz dy

40. Introduction du potentiel vecteur ^, tj, X,. — Nous allons poser :

Ij. dZ, dr\ dy dz

^ dz dx

dx dy

Remarquons que ces équations ne suffisent pas pour déterminer ^, 7), Ç, car elles se réduisent en somme à deux à cause de la relation :

dL dU. d^ dx dy dz '

qui exprime que la densité du magnétisme est nulle.

Différentions les deux membres de la première des équations par rapport à t et multiplions en même temps par A. Il vient :

, dL , / dK dS

dl \dy.dt dz.dt

En comparant à la première des équations fondamentales, on voit que :

dZ dX__fdK dh

dy dz \d}i.dt dz.dt

ce qu'on peut écrire :

On trouverait de même deux équations analogues et il résulte de là que l'expression :

est une différentielle totale exacte que nous désignerons par d^. On a alors :

dl ' dx Remplaçons dans les équations générales L, M, N par

INTRODUCTION DU POTENTIEL VECTEUR l, 7], t, 73 leurs valeurs. La première devient :

dt dz \dz dxj dy \dx dyj

Posons :

^ ~ dx^ "^ dif '^ dz^

et

L'équation précédente peut s'écrire

«^ dx

En remplaçant X par sa valeur, on obtient :

A2 — ^ -I- A ^'^ -:,, A? — — — 47rAM

c^^2 "' dt.dx dx ' '

On aurait de même deux équations analogues. On peut satisfaire d'une infinité de façons à ce système d'équations. En particulier, on peut définir cp en posant :

dt et l'équation précédente devient :

Cette équation ne contient plus que \ et u ; c'est elle qu'il nous faut intégrer.

Supposons d'abord que le premier terme n'existe pas et

7-4 ÉTUDE THÉORIQUE DES OSCILLATIONS HERTZIENNES que l'équation se réduise à :

L'intégrale de cette équation est un potentiel d'une matière attirante fictive de densité Ku. Considérons un point xyz et un autre x'y'z' où cette matière fictive ait la densité Aw : dans un élément de volume c/t' situé autour du point x'y'z' se trouve une quantité de matière fictive égale à :

Am'.c^t' et on aurait :

^, 7), X, seraient alors un facteur constant Après le potentiel vecteur de Maxwell.

Mais notre équation n'a pas la forme simple que nous avons supposée. Soit :

Alors on écrira :

Désignons parr la distance des deux points xyz^ oc'y'z\ et introduisons la fonction :

"" = f (^', y\ z\ t — rk)

A l'instant t, u est la valeur de la composante parallèle à ox du courant au point xyz ; ii est la valeur de cette composante au même moment au point x'y'z'\ quant à ?<", c'est la valeur du courant au point x'y'z', mais à une époque anté-

INTRODUCTION DU POTENTIEL VECTEUR \, t,, l, 75

rieure d'un temps rA au temps t ; cet intervalle rA est le temps que met la lumière à aller du point xyz au point x'y'z' . Nous allons démontrer que la fonction :

satisfait à notre équation.

En effet, considérons l'expression

elle satisfait à la relation :

Si nous voulions calculer ^^, nous serions arrêtés dans la différentiation sous le signe / par ce fait que l'expression comprise sous le signe / devient infinie quand le point x'y'z' se

rapproche indéfiniment de xyz, puisqu'alors r tend vers o, sans qu'il en soit de même de u".

Mais si nous formons :

nous pourrons différentier sous le signe /, car u' — u' devient

nul lorsque x'y'z' se rapproche de xyz, puisque cette différence est :

r{t-rA)-r{t),

76 ÉTUDE THÉORIQUE DES OSCILLA.TIONS HERTZIENNES qui tend vers o quand r diminue indéfiniment.

n'augmente donc plus indéfiniment et on a le droit

U Il

r d'écrire

Mais u' ne dépend pas de r ; donc on a

D'ailleurs, on a

' r ' r r dt'^ r dt^

En remplaçant A — par sa valeur dans l'équation précédente, elle devient :

D'autre part, de :

on tire :

d^l . Id'^u' dz ,o\

dr^-~^ rdï^ ' r' ^'''

La comparaison des équations (2) et (3) donne :

INTRODUCTION DU POTENTIEL VECTEUR ?, yj, 'Ç 11

Mais comme :

Aç^ = AtzAu,

on voit que :

d^l dl-

ce qui prouve que nous avons bien obtenu une solution du problème. Il nous resterait à démontrer que, en partant du repos, cette solution est unique. Nous ne le ferons pas : on trouvera la démonstration dans le tome II de la Théorie malhématique de la lumière.

Nous obtenons ainsi ^, y], Z, en fonction de u, v, lo, et par suite X, Y,Z, L,M,N également en fonction de u^v^io. Le problème serait donc entièrement résolu si l'on connaissait w, v, lo. Or dans la plupart des cas, par exemple dans le cas du résonateur de M. Blondlot, il est plus facile de se faire une idée approximative des variations de w, u, w que de celles des autres quantités.

41 Notations de Maxwell. — Maxwell pose :

d^ dG

dy dz