NOTATIONS
En divisant par An le ilux de force électrique qui traverse une surface fermée, on obtient ce qu'on appelle l'électricité libre contenue à l'intérieur de cette surface. On définit d'une fa(;on semblable l'électricité vraie, les magnétismes vrai et libre.
Désignons par m la densité du magnétisme vrai, 7n^ celle du magnétisme libre, et de même par e la densité de l'électricité varie et e^ celle de l'électricité libre. On a :
d.<j.]j . d.uSl , doN
At:),) = -j— -f- —^ — + — —
dx ' dji dz
cfL dj\ (m
' dx dy dz
d.Cs. , d.C\ , d.tL
dœ dy ' dz
d\ , d\ , dV.
155. Expression de la force éleotromotrice dans un circuit en mouvement. — Les premières équations de Hertz sont de la forme :
^1-^ -:rr =^~r — 1 — ' dl dy dz
Pour obtenir cette formule, nous avons écrit que la force électromotrice totale qui s'exerce dans un circuit fermé est égale à la variation du flux d'induction magnétique qui traverse une surface quelconque limitée à ce circuit, à un facteur constant près dépendant des unités choisies.
Supposons maintenant le circuit en mouvement; le flux de force qui traverse le circuit varie pour deux raisons :
1° parce que le champ est variable lui-même ; 2° parce que le circuit se déplace.
(\A,,-- ,B Revenons un moment au cas où le
y^ / circuit est immobile ; faisons passer
\^ ^^ par le circuit AB deux surfaces,
Pj^, ^9 AMB et APB {fig. 79). Soit au
temps t :
F le flux qui traverse .... AMB et
F' APB
en / 4~ ^''^j
F + f/F AMB
F' + c/F' APB.
La force électromotrice qui s'exerce dans le circuit peut s'écrire indifféremment :
dt ^ dt
ce qui exige que les deux dérivées soient égales, pour que la définition delà force électromotrice ait un sens. C'est ce qui arrive en effet : F — F' est le flux d'induction total qui traverse la surface fermée AMPB. Ce flux est égal au facteur A-k multiplié par la quantité de magnétisme vrai qui se trouve à l'intérieur de la surface. Les corps étant supposés immobiles, cette quantité de magnétisme restera constante, sauf dans des circonstances très particulières. On aura doncbien:
EXPRESSION DE LA FORCE ELECTROMOTRICE 319 (J"où
iH ~ dl
Supposons maintenant que le circuit soit en mouvement ; au temps t -f- dl^ les surfaces AMB et APB seront venues en A,M,B, et A,P,B, ; soient F -f- 5F et F' -f- V^' les flux d'induction qui les traversent alors. La force électromotrice a pour expression :
, oF , IV A -r- ou A ^r"
Il faut doue que Ton ait oF = 8F', ce qui a encore lieu, comme dans le cas précédent, si l'on suppose que les aimants qui peuvent figurer dans le système soient permanents et emportent avec eux leur magnétisme vrai. Mais cela n'a lieu que si les surfaces A<M,B^ et A,P^B, sont constituées par les points qui constituaient à l'instant t les surfaces AMB et APB.
11 faudra donc, dans cette étude, pour calculer la force électro-motrice dans un circuit, considérer les différentes positions d'une même surface limitée au circuit et non pas dans chaque cas une surface quelconque.
156. Établissement de la formule fondamentale de l'induction dans un circuit en mouvement. — La force électromotrice totale qui s'exerce dans un circuit est représentée par l'expression :
J{)idx + \dy -\-'L.dz).
Soient Aq et B^ les deux points où le circuit considéré
FiG. 80.
coupe le plan de la figure au temps t [fig. 80) ; AaM^Bo , la position au même temps d'une surface limitée à ce circuit ;
au temps t -f- dt., cette surface sera venue en A^M^B^.
Construisons une surface annulaire A^Bo-A^B,, de façon que l'ensemble des trois surfaces A^M^Bo, A<M^B^, A^B^ A^B,, limitent un volume. Désignons par OU la quantité de magnétisme vrai qui se trouve à l'intérieur de ce volume et soient au temps t -\- dt:
F -J- SF le flux d'induction magnétique à travers A^M^B,
¥ + d¥ AoMoBo
F' A,B,AoB„.
Ecrivons que le flux total d'induction qui traverse la surface fermée est égal à Ar.dW.. On aura :
F + SF — (F -f rfF) — F' = 47r01^
ÔF = rfF + F' -f 47:011 .
Evaluons F' ; pour cela considérons deux points P et P' du circuit dans sa première position, de coordonnées x^ t/, z eix-\- doc, y -\- dy, z + dz.
En t -\- dt, ces points sont venus enP^, etP',, la ligure PP'P^P'^ étant assimilable à un parallélogramme [fig. 81).
Si on désigne par ?,-r|,!;, les composantes de la vitesse du
Fig. 81.
ETABLISSEMENT DE LA FORMULE FONDAMENTALE 321 point 1*, les coordunnées de P,, sont :
y-\~'T^.dt { z -f l.dt.
Soient rfo la surface du petit parallélogramme et x, ,B. y les cosinus directeurs de sa normale; les aires des projections du parallélogramme sur les plans de coordonnées sont :
et Ion a :
a.«'<.> ji.f^c) v.(/(.)
xaU'\ = iT//^ — t.dy]dl.
'!.(/(.) = i^^.dx — \.dz)dt.
y.f/(.) = \^-dy — ■t\.dx)dl.
Le ilux d'indmtion F' peut donc s'écrire :
¥' =j\x.ixL -f [i.aM 4- ya.N)^,., =p:.^.h.dt'y,dz —Idlj)
A la place du terme hr^dz on peut mettre sous le signe
> le terme l\\X.dœ qui s'en déduit par permutation ; de même
à la place de LX,dy on peut mettre ^.r^.dx, de sorte que F' peut s'écrire :
F' Wk.a.(^/.(/.';(Mr — N-0
ou bien en posant :
X, = 'ji^K - N-r.) Y, = aN;— U) /, = ,j.[Lr^ — M;)
F' =/*X,f/.'-- -f ^i^fy + 'L^dz)di.
LES OSCILLAI n.i.NS ELECTKlMLKS. 21
Remarquons maintenant que la quantité de magnétisme vrai qui se trouve à l'intérieur de la surface fermée a forcément traversé cette surface pendant le temps o?<, caries deux surfaces A^MoB,, et A^MjB, étaient primitivement appliquées l'une sur l'autre et ne comprenaient, par suite, entre elles aucune quantité de magnétisme.
Or la quantité de magnétisme vrai ou permanent qui a pénétré à travers A,M,B( est nulle, puisque cette surface se déplace avec les molécules elles-mêmes qui la constituent et que le magnétisme permanent est entraîné par les corps en mouvement.
D'ailleurs, la surface annulaire A^Bj, A,B, est intinimeut petite par rapport aux deux autres et la quantité de magnétisme vrai qui l'a traversée est sensiblement nulle.
11 reste donc seulement le magnétisme qui a traversé AoMqB^. Supposons pour simplifier le calcul que cette surface A^M^B^ soit un élément de surface d'étendue c?oj, normal à ox. On voit que l'on aura :
47t. M = k-K.m.dM.\.dL
Si la surface AyM^B^ se réduit à un seul élément cIm^ la force électromotrice totale se réduit à :
J{\dx + ^dij -f- '/Az) = do.{^^ - J-^')-
D'autre part, elle doit être, comme nous ravt)ns vu, égale à :
dl
De même, quand la surface AylNI^B^, se réduira à un elê-
ETABLISSEMENT DE LA FORMULE FONDAMENTALE 323 ment, il viendra :
d'où :
dt V di/ d.z )
11 ne nous reste plus à calculer, pour avoir tous les termes de Téquation (I), que dY . Or :
F = ixL.rfoj, d'où
. d¥ . - diu.L) f// dt
L'équation (1) peut maintenant s'écrire :
. (dZ dY\ , , d.(u.L) . ., (dZ, dX\ , , ,, , Vr/y (/c/ rf/ ' \dy dz ) ^
ou bien, en supprimant le facteur c/to commun aux deux membres :
Nous obtiendrions de même deux autres équations analogues.
Rendons-nuus compte de la signification de chacun des termes du second membre :
A -^77- représente la iorce electromotrice d induction due
à la variation du champ magnétique;
A ( -7-* — -7-' b celle due au déplacement du circuit. \dy dz J 1
La signification du troisième terme est plus diflicile à interpréter : il nous a été fourni seulement par le calcul.
157. Comparaison avec les équations de Maxwell. — Pour obtenir les équations correspondant à celles que nous venons d'écrire, Maxwell exprime comme Hertz que la force électromotrice est égale à la variation du flux d'induction magnétique.
Mais l'induction magnétique n'est pas la même chose dans les deux théories. Maxwell désigne par a, p, y les composantes de la force magnétique, par A, B, C celles d'un vecteur, qu'il appelle la magnétisation, et par a, b, c celles de l'induction magnétique, qu'il définit au moyen des relations :
a = y. -{- IttA.
/> = [i-f-47rB.
C = Y -{-4ttC.
Pour les corps dénués de force coercitive. A, B, C sont proportionnelles à a, fJ, y, et l'on aura :
a = <x -\- A-nK.'x = a (1 -|- ^^K) = l^-^-
On voit que a, 0, r sont identiques aux composantes de l'induction magnétique telles que les considère Hertz quand il n'y a pas de magnétisme permanent.
Mais, pour les corps qui contiennent du magnétisme permanent, il n'en est plus de même. Maxwell suppose, en elfet,
COMPARAISON AVEC LES EQUATIONS DE MAXWELL 325 qu'on a toujours :
da j^ rib . (le
dx dy~^ dz
Tandis que, dans la tlu'orie de Hertz, on a en dt'sii;iiant par m la deiisih' du mag-uf-tisnie permanent:
r/.aL (Lu^\ d.j.N , dx dy dz '
équation qui ne se ramène à la précédente que s'il n y a pas de magnétisme permanent.
Dans la théorie de Hertz, le flux d'induction magnétique à travers une surface A^M^Bq limitée au circuit dilîère du flux traversant une autre surface A^RoBo de la quantité :
tandis que ces deux flux sont les mêmes avec les définitions de Maxwell.
Il résulte de là que, pour évaluer la force électromotrice dans le circuit, on peut prendre dans chaque cas, dans la théorie de Maxwell, une surface quelconque limitée à ce circuit, tandis que dans la théorie de Hertz il faut prendre une même surface dans ses difl'érentes positions.
En somme, en remplaçant dans les équations de Hertz Z^, Y, et m par leurs valeurs, on voit qu'elles prennent la forme :
d'I. d\ . f/.aL .
dy ~ dz ~~ ' di ' '
-^ • u.f I.Y, — M^O — % • a(N:— Lî:) I dy '. ' d ' ' J
Celles de Maxwell sont plus simples. La première est :
dy
dX . da . . [ d
Il y a accord entre les formules de Hertz et celles de Maxwell seulement quand le système ne contient pas de magnétisme permanent.
