RÉSONANCE ÉLECTRIQUE

On peut utiliser ce fait pour comparer la période de deux excitateurs ou de deux résonateurs, pour trouver le rapport des périodes.

En effet, doublons les dimensions d'un excitateur ou d'un résonateur : sa période sera par là même doublée. Il n'y a même pas besoin pour le démontrer de s'appuyer sur la formule de Thomson, car c'est une conséquence de l'homogénéité des formules.

Si dans nos équations fondamentales on change x^y, z et t en \x^ \y, "/z, X^, sans changer les valeurs de X, Y, Z, L,M,N et A, les équations ne changeront pas. Mais changera?, y, z en Xa?, Xy, \z^ c'est multiplier par X les dimensions du résonateur et changer t en X^, c'est multiplier par X sa période propre.

Partant de là, si nous voulons trouver le rapport des périodes de deux excitateurs, nous construirons une série de résonateurs semblables, mais de dimensions différentes, et nous chercherons deux de ces résonateurs qui soient respectivement en accord avec les deux excitateurs considérés ; le rapport des périodes est égal au rapport de leurs dimensions linéaires.

54. Différence avec la résonance acoustique. — Lorsqu'on étudie la résonance en acoustique, on trouve un maximum très net dans l'intensité de la résonance. Si on construit une courbe dans laquelle les abscisses représentent les hauteurs des sons que l'on étudie avec un certain résonateur, et les ordonnées l'intensité de la résonance, on obtient une courbe telle que la première de la figure 14.

Dans le cas présent, au contraire, le maximum est très

mal marqué. On peut représenter l'intensité de la résonance par la plus grande distance des deux boules du micromètre à étincelles pour laquelle des étincelles se produisent: pour une certaine forme de l'excitateur et du résonateur, on rapprochera au moyen d'une vis les deux extrémités du

micromètre jusqu'à ce qu'on obtienne des étincelles, et c'est la distance à laquelle on sera ainsi conduit qu'on portera en ordonnée ; plus cette distance sera grande, plus l'intensité de la réso- FV~14 nance sera grande. On pour-

ra faire varier les dimensions du résonateur et porter en abscisse sa capacité ; les courbes que l'on obtient ainsi sont analogues à la deuxième courbe de la figure 14 ; le maximum n'y est pas nettement marqué.

55. Causes de cette différence. — Différentes explications ont été proposées pour rendre compte de cette différence.

I. — Explications de MM. Sarasin et de la Rive. — D'après MM. Sarasin et de la Rive, un excitateur produit non pas une vibration simple, mais une vibration complexe ; il y aurait là quelque chose d'analogue à une source de lumière, qui, au lieu de donner dans un spectre une raie fine, donnerait une bande estompée.

Un excitateur pourrait, à la vérité, produire différents harmoniques, du moins la théorie permet de le prévoir ; mais

cette théorie n'est pas assez bien établie pour que l'on puisse connaître la loi de ces vibrations harmoniques ; cette loi serait, en tous cas, moins simple que celle des harmoniques en acoustique, harmoniques qui sont nettement séparés.

II. — Une deuxième explication peut être proposée et paraît plus près de la vérité. Pour l'exposer, nous allons donner une théorie de la résonance, qui s'appliquera aussi bien à un phénomène électrique qu'à un phénomène d'optique ou d'acoustique.

56. Théorie générale de la résonance. — Supposons un appareil qui puisse être le siège de mouvements périodiques ; ces mouvements seront naturellement troublés quand interviendront des causes perturbatrices extérieures ; si celles-ci sont elles-mêmes périodiques et de période voisine de la période précédente, le corps considéré, partant du repos, pourra acquérir un mouvement intense : c'est ce qu'on appelle un phénomène de résonance.

Une quantité variera en fonction du temps : supposons que la loi périodique soit une loi pendulaire ; cette quantité, que nous désignerons par y, aura pour expression :

y = A cos ^t -{-B sin ^t et satisfera à l'équation :

Supposons maintenant une cause excitatrice : pour en tenir compte, il nous faudra donner un second membre à

106 PROPAGATION LE LONG d'uN FIL

l'équation précédente et l'écrire :

Nous allons supposer que f{t) est une fonction périodique avec amortissement, ce qui a lieu dans l'excitateur de Hertz et, en somme, dans presque tous les cas. Nous aurons, par exemple, pour /" {t) une fonction de la forme :

f{t) = Ae-«'cos Y^ + Be-««sin yt.

Cette expression est la partie réelle de :

(A— iB) e-'-^^'ï)'.

Nous allons poser :

A — eB = c

— X -\~ iy ^ e.

et nous allons intégrer l'équation :

Nous trouverons une intégrale imaginaire dont nous ne conserverons que la partie réelle.

L'intégrale générale de cette équation est de la forme :

Y = A. cos pt + B. sin Qi 4- -r^, — - e^'

Pour déterminer A et B, nous allons nous reporter aux conditions initiales : nous supposons qu'on part du repos.

Pour t = o, on devra donc avoir :

„ rfY

Ces deux conditions nous donnent :

Comme e a sa partie réelle négative, dans le calcul de l'amplitude de la vibration résultante on pourra négliger le dernier terme et considérer seulement les deux autres. Si A, et B, sont les parties réelles de A et de B, l'amplitude sera alors proportionnelle à :