Calcul de l'énergie initiale et de l'énergie

transformée en chaleur. — Nous avons vu que les résultats expérimentaux de M. Bjerknes étaient bien dans le sens prévu par la théorie. L'accord a-t-il lieu entre les valeurs numériques des quantités observées. Nous allons chercher à calculer grossièrement ces valeurs numériques.

Soit un résonateur quelconque ; nous nous proposons de chercher l'énergie totale qu'il possède au début des oscillations, puis la chaleur de Joule dépensée pendant une oscillation complète.

Nous pourrons ensuite comparer le décrément logarithmique trouvé expérimentalement avec celui qui se déduirait des résultats du calcul.

1° Calcul de Vénergie initiale. — Soit i l'intensité du courant au temps t. On peut écrire (paragraphe 104 et suivants) :

. "ks lit

Z = a. Sin — • COS r-r

l Al

. Tzs . Tzi

e =: — aA COS — . sm t-^l Al

Dans ces relations, s représente la longueur de l'axe du lil du résonateur, l la longueur totale de ce fil, c'est-à-dire la demi-longueur d'onde, d'après la théorie.

eds représente la charge électrique de l'élément <7s du fil du résonateur.

A l'instant t = o, e est nul, tandis que i est différent de 0 ; par suite, l'énergie électrostatique est nulle, l'énergie électrodynamique étant dilîérente de 0.

A l'instant / = — -> e est au contraire différent de o et i est

nul, et l'énergie électrostatique est différente de o, l'énergie électrodynamique étant nulle.

CALCUL DE l'Énergie initiale 269

Aux époques intermédiaires, Ténergie est partie sous l'une des formes, partie sous l'autre forme, sa valeur totale étant constante puisqu'on ne tient pas compte de la perle d'énergie qui se produit pendant la première oscillation.

Pour calculer l'énergie initiale, il suffit donc de s'occuper de l'énergie électrodynamique, c'est-à-dire de :

ou ICI

f{¥u + Gv + \hv).dT

^„ désignant l'intensité du courant au temps t ^ o.

2° Calcul de la chaleur de Joule produite pendant une oscil lation. — Cette quantité de chaleur est :

W-'.dl.

ds R s'obtient en multipliant — par l'inverse de la section du

fil parcourue par le courant.

Nous avons vu (paragraphe 166) que les oscillations ne pénètrent pas dans le fil au-delà d'une certaine profondeur et que leur amplitude à une profondeur z au-dessous de la surface est proportionnelle à :

Tout se passe donc comme si le courant était uniformément réparti dans l'espace compris entre deux cylindres concentriques dont la différence des rayons e serait donnée

par :

Or :

yidz = / ert''".dz = -, £ est donc déterminé par :

ou :

La section du volume parcouru par le courant est alors

; • '^^Po

et on a :

On aura donc :

D'ailleurs

iKi-\dt '-= / / -L P.di.ds.

fi.dt = I T

et on a pour la chaleur de Joule produite pendant une oscillation :

^ f llds.

SupyX