SV''=SD"4-V'D'S
ou, en désignant par A la distance vraie des centres des deux astres, à l'époque OH-/,
en supposant / positif.
Remplaçant, dans cette relation, m -h ni' par sa valeur
tanga déduite de l'équation (i), on trouve
tang^'a ^ '
Cette équation, développée et ordonnée par rapport à /, devient
(a) /'/'-HaL/rsin^a-hL^sin'a — A'sin'a = o.
Cette équation en t étant résolue, nous donne
, « . —L sin'a rt sina v/a^ — L^ cos'a
Il est évident que la valeur positive de / sera postérieure à la conjonction, et que la valeur négative lui sera antérieure.
L'équation (3) permet donc de trouver l'époque 6 -h/, qui correspond à une distance vraie A des deux astres; elle nous montre que la valeur minimum de A, c'est-à-dire la plus courte
yGoogk
distance des centres de Vénus et du Soleily correspond à la valeur
A = L cosa.
Si Ton veut connaître les valeurs de / qui correspondent aux contacts extérieurs^ il suffira évidemment de faire, dans Téquation (3),
d étant le demi-diamètre de Vénus et d' celui du Soleil. Pour les coniacts intérieurs, on fera
On trouve donc ainsi, pour époques des quatre phases principales du phénomène,
i**" contact extérieur :
//\ T û —Lsin'jx — sina\/(^H-f/')- — L^'cos^a
Entrée. {
i"^ contact intérieur ;
... ^ û --Lsin^a— 8inav/(é/^—<^)^— L'cos^g BffiUeu du passage :
a* contact intérieur :
/ \ T û . — Lsin^a-hsinav/(^'— d')*— L'cos'a \7) *8=^-< ^ î
2' contact extérieur :
(8) T — I — Lsin'a-f-sinav/(^^-|-//)" — L'cos'a
Les quantités L, m, /, m\ si on les prend dans les Tables,
Sortie.
doivent être corrigées de Yaberration, puisque Ton doit avoir ces quantités telles qu'on les observe; si on les prend dans la Connaissance des Temps, on les y trouve affectées de Taberration.
Les formules que nous venons de trouver ne seraient qu'approchées si Ton croyait ne pas pouvoir considérer /, m et m' comme constants dans l'intervalle de six ou sept heures que peut durer le phénomène du passage de Vénus.
Dans ce cas, on pourrait corriger de la manière suivante les époques T, , T, , T3 et T^ .
Si l'on a commis une erreur sur T^ par exemple, les lieux géocentriques
O, longitude du Soleil, \ longitude de la planète, L, latitude de la planète,
calculés pour cette époque T^, ne satisferont pas à la relation
On calculera alors les lieux géocentriques des deux astres pour des instants voisins de T, et, pour chacun de ces instants, on vérifiera la relation ( 4 ) ; si Ton trouve deux époques
1,-^h et T, -hA',
telles que les lieux géocentriques qui y correspondent donnent
pour T.+A, (0.->.r-HM<(^' + ^)% et pour T,-hA', (O, - ^J' + MX^/'-h ^)^
on aura, par une simple interpolation, la valeur
comprise entre T, 4- A et T, h- /i', et pour laquelle les lieux géocentriques calculés satisferont bien à la relation (4). On agirait de même pour les époques T, , T3 et T^.
yGoogk
( 18) Deuxième méthode.
On peut arriver à la détermination de Tépoque des phases, pour un observateur situé au centre de la Terre, par des considéralioQS un peu différentes de celles que nous venons d'indiquer , et en employant les coordonnées équaton'ales au lieu des coordonnées écliptiques. Ces considérations sont basées sur les travaux de Lagrangb concernant cette question.
Soient, pour une époque 6, temps moyen de Paris, voisine de répoque de la conjonction en ascension droite, ou même, si Ton veut, correspondant à cette conjonction :
a Tascension droite vraie de Vénus ;
â sa déclinaison vraie, supposée nord ;
A l'ascension droite vraie du Soleil ;
D sa déclinaison vraie, supposée aussi nord ;
et enfin A la distance vraie des centres des deux astres.
Soient Ifig. 4):
V la position du centre de Vénus; S celle du Soleil ; QQTéquateur;
dbyGoogk
P le pôle nord de Téquateur ;
et, enfin, PYt^, PS^ les cercles de déclinaison des deux astres.
En joignant VS, distance vraie des centres des deux astres, que nous désignons par A, nous formons le triangle sphérique PSV, dans lequel nous représentons par M et par (i8o — M') les angles dont les sommets sont les centres du Soleil et de Vénus.
En appliquant à ce triangle les formules de Delâmbre, nous avons
(9) sinjAsini(M + M') = sini(a - A) cosi(^ h- D)
(10) sin|AcosHM-f-M') = cosi(a-A)sini(^~D)
(11) cosiAsini{M'— M)= sinj(a~ A) sini(D-h ^)
(12) cosiAcosi(M'-M) = cos|(a — A)cosi(^-D)
Au moment des contacts extérieurs ou intérieurs des deux astres, (a — A), (^--D)etA sont très-petits; on peut donc, pour ces instants, faire
sin^A = iAsinr; sin|(a — A) = i(a — Ajsini"; sini(M-^M') = sinM; co8i(M-f-M') = cosM;
COS|(a — A) = I.
Les formules (9) et (10] deviennent alors
(i3) AsinM=: (a — A) C03i(D h- ^) ,
(14) AcosM=(^ — D).
Ces deux équations permettent donc de déterminer A et M, quand on connaît a, A, B et D.
Si nous représentons par n la vitesse relative de Fénm sur la trajectoire apparente, envisagée dans la première méthode.
yGoogk
n étant toujours considéré positivement, et par N Tangle que fait la direction de cette vitesse avec le cercle horaire YSv (fig, 4), correspondant à la position de Vénus, à Tépoque ô, en comptant cet angle positivement du nord vers l'est, et négativement du nord vers Touest, nous aurons évidemment :
/zsinN pour vitesse relative de Vénus sur le parallèle; et 71 cosN pour vitesse relative de Vénus sur le cercle horaire.
Mais, en représentant par 7" — - la variation de la différence d'ascension droite de Vénus et du Soleil dans l'unité de temps, nous aurons
pour vitesse relative de Vénus sur le parallèle, et
pour vitesse relative de Vénus sur le cercle horaire. On peut donc écrire
(i5) /isinN=: 4i^^rzA)cosi(D + ^),
(,6) ;,C0SN=^i^g^^
En calculant ^^T — ■ et 7* — > au moyen des valeurs
(Xt (It
de a, A, $ et D, calculées pour des époques avoisinant ô, les équations (i5) et (16) permettront d'avoir n et N. Si nous appelons T, = -H r, l'époque d'un contact, du premier contact extérieur par exemple, la distance des deux astres projetée sur le parallèle sera évidemment
AsinM -f-/îsinN x r,,
yGoogk
et, projetée sur le cercle horaire, elle sera
AcosM -f- /icosN X t^ ;
on aura donc au moment du premier contact extérieur, et en désignant toujours par «f' et ^ les demi-diamètres du Soieil et de Vénus,
(AsinM -f- /îsinN X /,)' -h (AcosM -4- /îCOsN X /,)' = (rf' -+- rf)'.
Développant les carrés du premier membre et ordonnant Féquation, par rapport à ;, nous obtenons
En résolvant cette équation, on trouve pour les deux contacts extérieurs
^ /w xTx ^'-^^ I A»sin'(M-/?) /.=--cos(M-N)--^^i ^^TT^Sf-^
/ = COS(M — N) 4/1 T-77^^ j^5— !.
* n ^ ' ^ \ (,d'-i-dy
Pour obtenir les relations analogues, concernant les contacts intérieurs, il suffit de remplacer, dans ces deux relations, (d* -h d) ^T (d' — d); alors si nous posons
, , . , Asin(M-N)
(17) ^in^= ^.^^ S
nous trouvons enfin, pour les époques des quatre contacts, 1^ contact extérieur :
(i8) T. = 6-^cos(M-N)-^-'^co8^^;
i"* contact intérieur :
(19) T, = - ^ cos(M ~ N) - ^^ C0S4* ;
2* contact intérieur :
{20) T, = 0- -cos(M-N)-h ll:rjfcos^;
2* contact extérieur :
(11) T< = cos(M — N)h i- C08>p.
Si Ton voulait avoir Tinstant où le centre de Vénus est sur le bord du Soleil, il suffirait de faire, dans ces formules, d= OyOn aurait alors
1^ contact central :
(18 bis) t; = - ^ cos(M ~,N) - "L^.
Pour avoir l'instant T„ du milieu du phénomène, il faut chercher la valeur de t qui rend minimum Texpression
A* -+- f' /l' -H 2A//Î cos(M - N),
représentant le carré de la distance des centres des deux astres ; on trouve ainsi Féquation de condition
tn-h Acos(M — N) = o; d'où
/ = cos(M— N),
qui, d'après l'équation (i4)> et dans le cas où représente l'époque delà conjonction en ascension droite, époque où M = 180", serait
/ = cosN;
on trouve, d'après cela,
(22) T^ = 0~-cosN.
yGoogk
Pour obtenir la distance minimum, que nous désignerons par p, il suflBt de mettre la valeur t = cos(M--N) dans la relation donnant le carré de la distance, on a ainsi
c'est-à-dire
qui devient
cos^M-N),
p = Asin(M — N), p= (^--D)sinN,
si est répoque môme de la conjonction en ascension droite.
Toute Tanalyse que nous venons de donner est indépendante de Fépoque 6, voisine de la conjonction. Si l'on supposait cette époque correspondant à Tune des phases, au deuxième contact extérieur, par exemple, il faudrait faire A = r/' -+- </, et alors on aurait ij/ = M — N; et Tune des valeurs t^ s'évanouirait.
Si nous appelons S l'angle que fait le grand cercle SV (fig. 5),
des centres des deux astres avec le cercle de déclinaison passant par le Soleil, au moment d'un des contacts, S étant toujours
dbyGoogk
compté dans le môme sens que N, on aura^ en considérant la projection de SV sur le cercle horaire, et en égalant cette projection à celle déjà considérée,
(d' ± d) COSS = ACOSM -+- /îCOSN X t,
en désignant, d'une manière générale, par t Tune des quatre quantités r, , /,, t^ ou z^. La projection sur le parallèle, passant par le centre du Soleil, donnera
(d'dnd) sinS = A sinM -f- /i sinN x /,
d'où l'on déduira, relativement à chaque contact,
AcosM H- n cosN x t
cosS = sinS
ÀsinM + /ïsinN x t
d'dzd
En multipliant la première de ces deux relations par cosN, et la seconde par sinN, et faisant la somme, on trouve
(d' ± d) cos(S - N) = Acos(M - N) -+- /!/, et en remplaçant nt par sa valeur
— ^' cos(M - N) q= (d' ± d) COS^p,
on a d'où et
COS(S— N) ~ if:COS>p,
s — N = i8o — ^^ pour Ventrée, S--N = ^^ou — ^ pour la sortie,
ou enfin
( 24 ) S = 1 80 -f- N — ip pour Ventrée,
et
( 25 ) S = N -f- ^p pour la sortie,
^|/ correspondant évidemment à chaque sorte de contact.
Une simple figure fait voir, mieux que les signes, quelle valeur prendre pour N, S et >p.
Nous allons donner un exemple numérique de ce calcul et déterminer les heures, temps moyen de Paris, correspondant aux instants des contacts extérieurs du passage du centre de Vénus sur les bords du Soleil, et des contacts intérieurs.
Nous extrayons d'abord du Nautical Almanac (1874) les éléments suivants relatifs au passage de Vénus :
Gonjonclion de Vénus en ascension droite,
le 8 décembre i7''o8'"28%8
Ascension droite © et de 9 i7**o3"* 3i*, 4a
Déclinaison de Q a2*'35' 7'',5 S
Déclinaison du © 22° 49' 22" S
Mouvement horaire de 9 en ascens. droite. . i' 33", 9
» 9 ^^ déclinaison .... 47"» 7 N
Demi-diamètre de 9 32", i
De ces éléments on déduit, en prenant pour point de départ l'époque de la conjonction,
^~D -~i4'i4",5; ^-hD
yGoogk
La^. 6, dans laquelle QQ' est l'équateur, P le pôle nord, S le centre du Soleil et VV la trajectoire de Vénus , nous indique déjà la grandeur de N à peu près; la flèche (i) indique le mou-
Fig. 6.
vement propre du Soleil, et la flèche (a) le mouvement apparent de Vénus, dont la vitesse positive est n.
Les formules (i3) et (i4) nous donnent
et
i4'ir,5, logA =
Les formules (i5) et
i6) donnent
-^n cosi(D
tangN —
dr
cosN
yGoogk
d'où
log cos| (D -+- ^) = 1,9649714
Q log ^^^^ ^^ = 2,2041200 log = 1 ,7958800
log tangN = 0,5817199 C» log cosN = 0,6961344
d'où N := 75° 19' 10" log/î = 2,3920144
Nous déduisons log - = o , 5396977
Au moyen de la formule (17 ) nous allons calculer 4» pour chacune des phases ; celte formule devient :
Contact extérieur. Contact central,
. , Asln/i . ,, Asin/i
logA= 2,9317121 logA-= 2,9317121
logsinN = 7,9855855 logsinN = 1 ,9855855
CMog(r/'-f- d) = 4,9964093 C*logr/^= 3,0104612
logsinip = 7,9137069 logsinip'= 7,9277588 ,];=: — 55^ 3' 53" f =— 57°5i'38*
Contact intérieur.
. ,- — AsinN
logA = 2,9317121
logsinN = 7,9855855
Cnog(d'—d) = 3,0249820
logsin^^''= 1,9422796 ^'':^-6i'>6'35''
yGoogk
Pour avoir les instants des contacts nous allons appliquer les formules (i8j, (i8 ^w) et (19), et chercher
-COSN, COSAp, — cos^* et cos^^^
On a d'abord
d'où
On a ensuite
log- = 0,5396977
logcosN=: 7,4o38656
log-cosN= 1,9435633
-cosN = 0,87814.
eiog 71 =3,6079856 CMog/2 = 3,6079856
\og[d'-^d) = 3,0035907 log^' = 2,9895388
logcos^I^ = 1 , 7578900 logcos^I^' = 1 , 7258267
log — ^cos>|/=B 0,3694663 log-co8^' = o,32335ii
d'où
— it—cosip = 2,34i33 — cos>p' = 2,io55
Somme 3,21947 Somme 2,98364
Différence i , 463i9 Différence. ... i , 22736
CMog/ï = 3,6079856
log(rf'— d) = 2,9750180
log cos^l/''^ 7,6840674
log cosy — 0,2670710
yGoogk
d*où
î jr cos^!;'' = 1 ,84960
Somme %,'j'rj'j^
Différence 0,97146
Réduisant les corrections de ô en heures , minutes et secondes, on a :
Corrections pour Ventrée, Corrections pour la sortie,
— 3,21947 = S^'iS^io»,! ■+- 1, 46319 = i'^27"»47%5
En faisant subir ces corrections à Theure ô — i7^8'"28%8, nous trouvons :
Entrée,
1**^ contact extérieur i3**55™ 19*
» central 14.9.27
» intérieur 14.24. 49
Sortie.
tT contact intérieur 18"* 6"46
» central 18.22. 7
» extérieur 18. 36. 16
Nous avons aussi pour les angles de position :
Entrée.
!•' contact extérieur. . S = 180^+75*^ 19' 10"— (- 55°3'53'') = 3io°23'3'' ou N 49" 37' vers TE; » central.... S = i8o°-h75°i9'io''-(— 57"5i'38'')
= 3i3°io'48'' ou N46°49'ver TE; » intérieur. . S = i8o«-h 75°i9'io"- (~6i«'6'35'')
= 3i6«25'45'' ou N43«34'versrE.
yGoogk
i**" contact intérieur. . .
» central . . . .
» extérieur. . .
Sortie,
S = 75<»i9'io"-r-{-6i»6'35'') = i4*»i2' ou Ni4**ia'versl'0;
S = 75<»i9'io''-+- {- 57'»5i'38'') = 17*^27' ou Ni7**27' vers rO;
S = 75'»i9'io'-+- (— 53«3'53') = 20° 1 5' ou N ao** 1 5' vers l'O .
